解后反思辨明結構，變式再練反饋學情
——以一道期末卷幾何綜合題為例

☉江蘇省如皋市搬經鎮初級中學 丁廣峰

研究解題是很多數學老師的興趣，特別是對各地中考或者優秀地區期末試卷的研究是教研熱點.近期我們在《中學數學（下）》關注到不少文章以一些地區的2018—2019學年度第一學期期末試卷考題為例，給出解題思路的突破，問題結構的回顧與反思，并有獨到的教學設計和立意的解讀，為深入開展解題教學研究提供了很好的視角.受到啟發，本文也以某市八上期末試卷上一道幾何綜合題為例，先解析思路，并跟進教學建議，供研討.

一、考題思路解析與回顧反思

考題：（某市八上期末試卷，最后一題）已知∠ABC=60°，AB=BC，D是BC邊上一點，延長AD到點E，使得AD=DE，連接CE，過點D作BC的垂線，交CE的垂直平分線于點F，連接BF.

（1）如圖1，當點D與點C重合時，證明：BF=2DF.

（2）如圖2，當點D不與B、C兩點重合時，（1）中的結論是否還成立？請說明理由.

圖1

圖2

圖3

思路解析：（1）這一問因為點D與點C重合，所以證法較多，下面概述三種證法.

證法1：容易得到△ABD是等邊三角形.AB=BD=AD，∠ADB=60°.由AD=DE，可得BD=DE，所以∠BED=∠ACB=30°. 由DF⊥BD于點F，得∠BDF=90°，則∠FDE=30°.由點F在DE的垂直平分線上，得DF=EF，故∠FED=∠FDE=30°.所以∠FED=∠BED.又由題意知點B、F在AE的同側，所以B、E、F三點共線，所以∠FBD=∠BED=30°，即在Rt△BDF中，BF=2DF.

證法2：如圖3，過點B作BN⊥AD交FD的延長線于點G，過點F作FM⊥DE于點M，可得∠GNC=∠FMC=90°.同樣先證得△ABD是等邊三角形，得到AB=BD=AD，ND=AD，AN=ND，∠ABG=∠DBG=∠ABC=30°.結合點F在DE的垂直平分線上，有DM=DE.由AD=DE，得ND=MD，進一步證得△NGD △MFD，則GD=FD.由DF⊥BD，得BG=BF且∠BDF=90°，則∠DBG=∠DBF=30°，即BF=2DF.

證法3：如圖4，延長FD至點G，使得DG=DF，連接BG、AG.

由于DF⊥BC于點D，∠BDF=90°，所以BC垂直平分FG，則BG=BF，∠DBF=∠DBG.又AD=ED，∠ADG=∠EDF，可證得△ADG △EDF，于是AG=EF.由于點F在CE的垂直平分線上，點D與點C重合，所以DF=EF，DF=AG.再結合已知AB=BC，可得出關鍵結論：△ABG △DBF，所以∠ABG=∠DBF，∠ABG=∠DBG=∠ABC=30°，則∠DBF=30°，從而BG=2DG，即BF=2DF.

圖4

圖5

（2）由（1）中“證法3”可以獲得證明思路，如圖5，延長FD至點G，使得DG=DF，連接BG、AG.由題意易得∠BDF=90°，BG=BF，∠DBF=∠DBG.又AD=ED，∠ADG=∠EDF，可證得△ADG △EDF，則AG=EF.結合點F在CE的垂直平分線上，所以FC=FE，AG=CF.又AB=BC，所以可得關鍵步驟△ABG △DBF，則∠ABG=∠CBF，∠ABG=∠DBG.結合∠ABC=60°，得∠GBD=30°，所以∠DBF=∠GBD=30°，即BG=2DF.

回顧反思：這道考題主要難點在第（2）問，雖然延續第（1）問“證法3”獲得一種證明，但這道考題的深層結構還有待深入探究，以下再提供一些研究角度.

思考1：點F的運動路徑是什么？

解析：結合（1）、（2）的證明可以發現，∠DBF=30°，可見點F在一條線段上運動，這條線段就是圖1中的BF.

思考2：問題還可以怎樣的方式呈現出來？

如圖6，等邊三角形ABC、BEF有公共頂點B，且BC平分∠EBF.設邊EF交BC于點D，連接AD并延長到N，使DN=AD，延長AC到M，使CM=AC.連接FC、FN、FM.

經過推證，我們可以得到與考題等價的一些結論，如點B、F、M在同一直線上，FC=FN（可以連接AE分別證△ADE△NDF，△ABE △CBF），CD為△AMN的中位線，等等.

圖6

二、關于幾何綜合題的教學思考

1.注重審題教學，明辨題設結論

幾何解題教學的關鍵是在審題階段對問題的條件與結論想清辨明，比如，題中有了哪些確定的條件？求解目標或方向是什么？以上面的考題為例，有哪些確定的條件或元素，都需要認真看清想明，條件中能解讀出一個等邊三角形ABC，而點D則是線段BC上一個動點，另外能確定的還有AE=2AD，點D、E的位置都是不確定的，但是它們又有一定的運動軌跡，如相應的E點在與BC平行位置上的一條線段上運動，而F點的運動路徑是一條線段，這些都需要在審題、解題進程中得到明確.

2.加強解后反思，看清問題結構

羅增儒教授在解題研究的諸多論述中都十分重視“回顧反思”環節，有時一個看似簡單的數學習題能寫出幾千字的回顧反思，并將原問題的深層結構、可能拓展等做到讓人嘆為觀止的地步，羅教授常常說：解題之后缺少必要的回顧反思常常是“入寶山而空返”.這也就是我們在上面解后回顧階段提出兩個“思考”的原因，特別是“思考2”，將問題的生成重新構思，從兩個共頂點的等邊三角形出發，生成考題結構，而考題則是在此基礎上刪減、隱藏一些非必要的線條，改頭換面，使得問題以另一種方式漸次呈現.這事實上也是很多幾何綜合原創命題的一種常用技術.教師也可以在平時的試題命制中進行嘗試，訓練自己的命題能力，對于教學設計中的例題改編、習題變式、作業設計也是非常有益的.

3.重視變式再練，有效反饋學情

根據課堂觀察，很多試卷講評課、專題復習課常常因為教學時間所限，缺少對本課內容的變式檢測與及時反饋學情.我們認為，備課打磨時，要充分考慮教學時間的分配，將變式再練習題的時間預設到教學進程中，對本課所講評的重點內容、主要方法、轉化策略在最后變式檢測環節進行訓練，知易行難，下面給出本文考題的一個變式問題，可以作為講評之后的跟進反饋.

變式問題：如圖7，已知等邊三角形ABC，點D在AC的延長線上，且CD=AC，點H是邊BC上一動點，點E在射線AH上，且EH=AH，連接BD、DE，過點H作HG⊥BC，交BD于點G，連接GC、GE.

（1）求證：BG=2GH；

（2）求證：GE=GC.

圖7

三、寫在后面

2011年頒布的義務教育階段課程標準中，對第三學段平面幾何教學內容做出明確的要求，可以發現平面幾何教學內容和要求是非常低的，弱化繁難幾何內容與證明技巧是國家要求.然而我們注意到不少地區以所謂不能弱化平面幾何教學的片面理解和個性化執行，在本地區的中考或期中（末）考試中隨意拔高平面幾何習題的難度，使得本地區師生不得不投入大量精力訓練一些繁難偏怪幾何習題，而平面幾何的學習成本并不一定會與繁難幾何習題證明能力的提升成正比，因為較難的平面幾何習題的解題能力確實與每個研習者個性適應性高度相關，讓“全樣本”學生都在地區平面幾何難題的引領下鉆研平面幾何習題，是值得商榷的命題導向，也是值得一些地區命題專家們反思的.