例說“拼圖法”在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

☉山東省濟(jì)南市萊蕪區(qū)雪野鎮(zhèn)中心中學(xué) 朱玉平

圖1

圖2

圖3

圖4

一、求代數(shù)式的值

例1已知一個長方形的長與寬的和為7，面積為10，求該長方形的長與寬的差的平方.

本題若按常規(guī)方法，可設(shè)長方形的長為a，寬為b.根據(jù)題意，得a+b=7，ab=10.而長與寬的差的平方為（a-b）2.要求（a-b）2的值，可將（a-b）2變形為含有a+b和ab的式子.即（a-b）2=a2+b2-2ab=（a2+b2+2ab）-4ab=（a+b）2-4ab=72-4×10=49-40=9.

除了上述解法，也可運(yùn)用拼圖法巧解.將四個大小一樣的長方形按照圖5所示的方式拼在一起，正好拼成一個大正方形，這個大正方形的邊長正好是長方形的長與寬的和，它的中間是一個小正方形，其邊長正好是長方形的長與寬的差.要求長方形的長與寬的差的平方，只要求出小正方形的面積即可.觀察圖5可以發(fā)現(xiàn)，大正方形的面積減去4個長方形的面積即為小正方形的面積.即S小正方形=S大正方形-4S長方形=72-4×10=49-40=9.所以長方形的長與寬的差的平方為9.這種解法顯然是對常規(guī)解法的創(chuàng)新，展現(xiàn)了用“拼圖法”解決數(shù)學(xué)問題的魅力.

牛刀小試：已知一個長方形的長與寬的差為2，面積為35，求該長方形的長與寬的和的平方.

圖5

圖6

二、求兩角的和

例2三個大小一樣的正方形按照圖6所示的方式拼在一起，你能求出∠1+∠2的大小嗎？

本題實(shí)際上是求直角邊長分別為1個單位、2個單位的直角三角形中最小銳角與直角邊長分別為1個單位、3個單位的直角三角形中最小銳角之和.顯然tan∠1=，tan∠2=.如果利用兩角和的正切公式，不難得到=1.而∠1+∠2＜180°，則∠1+∠2=45°.由于初中階段我們沒有學(xué)過兩角和的正切公式，需要另辟蹊徑.既然要求的是兩角之和，我們可以將∠1、∠2按圖7所示的方式拼在一起，則∠BAD=∠1+∠2，接下來只需求出∠BAD的大小即可.一時半會仍然找不到求∠BAD的辦法.觀察圖7我們發(fā)現(xiàn)，如果連接BD，那么△BAD剛好構(gòu)成一個等腰直角三角形.證明過程如下.由勾股定理易知AD2=12+22=5，BD2=12+22=5，AB2=12+32=10.則AD=BD，AD2+BD2=AB2，由勾股定理的逆定理知△BAD是直角三角形.則△BAD是等腰直角三角形.則∠BAD=45°，即∠1+∠2=45°.當(dāng)然在證明△BAD是等腰直角三角形時，也可通過三角形全等證明，即先證△BCD △DEA，則∠BDC=∠1，BD=AD.則∠ADB=∠BDC+∠ADE=∠1+∠ADE=90°.則△BAD是等腰直角三角形.

牛刀小試：如圖8，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，AC=3cm，BC=4cm，DE=3cm，EF=2cm.求sin（∠E-∠B）的值.

圖7

圖8

三、證明幾何命題

圖9

圖10

圖11

上述證法是將鈍角所對的相等的邊AC與DF拼在一起，也可以將銳角所對的相等的邊AB與DE拼在一起.如圖11，將AB與DE拼在一起，使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，點(diǎn)B與點(diǎn)E重合，且使∠C與∠F分別在AB（或DE）的兩側(cè).連接CF.證明過程留給讀者完成.

事實(shí)上，滿足“兩邊及其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩個三角形”，當(dāng)其中一邊的對角是鈍角時，這兩個三角形全等，當(dāng)其中一邊的對角是直角時，這兩個三角形也全等.證明之時，既可將斜邊拼在一起，也可將直角邊拼在一起.

牛刀小試：如圖12，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，AB=DE，AB＞BC，DE＞EF，且AC-BC=DF-EF.那么Rt△ABC和Rt△DEF全等嗎？請說明理由.

圖12

“拼圖法”在解決初中數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用還有很多.再如，如圖13，分別以△ABC的三邊為邊在△ABC外部作正方形ACDE、正方形ABMN、正方形BCPQ.如果這三個正方形的面積分別為370、74和116，試求△ABC的面積.由于△ABC的三邊都為無理數(shù)（），直接求解比較困難.我們可以觀察三個正方形的面積特征：74=52+72，116=42+102，370=92+172，由這些特殊的數(shù)正好可以拼合成圖14，這樣可以便捷求出△ABC的面積.

圖13

圖14

從以上幾例不難看出，運(yùn)用“拼圖法”解決數(shù)學(xué)問題，確實(shí)可以起到化難為易、化繁為簡、事半功倍之效，展現(xiàn)了用“拼圖法”解決數(shù)學(xué)問題的魅力.希望大家認(rèn)真領(lǐng)會“拼圖法”，并在解決數(shù)學(xué)問題時嘗試應(yīng)用“拼圖法”，讓“拼圖法”成為我們解決數(shù)學(xué)問題的一項(xiàng)技能.W