收集“同類問題”，開展“專題復習”
——以兩道“形同質異”考題為例

☉江蘇省蘇州工業園區星匯學校 高雅嵐

近讀《中學數學（下）》，參考文獻［1］～［3］倡導中考專題復習（或微專題），讀來引發共鳴.筆者近年來在一些較難習題講評時多采取這種同類習題關聯組合出現講評的方法，效果很好.本文結合近期收集到的兩份九上期末試卷上的把關題，關聯在一起呈現這兩道“形同質異”考題，先給出思路突破，再跟進教學思考，供分享和研討.

一、兩道“形同質異”考題的思路突破

考題1：如圖1，在平面直角坐標系xOy中，經過點E（0，2）的直線y=kx+b與拋物線y=x2+1交于A、B兩點（A點在B點的左側），過點A、B分別作AC⊥x軸于點C，BD⊥x軸于點D.

（1）當CD=3時，求k、b的值.

（2）分別用S1、S2、S3表示△ACE、△ECD、△EDB的面積，問：是否存在實數t，使得S22=tS1S3都成立？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由.

思路突破：（1）由過點E（0，2）的直線，可知b=2，所以y=kx+2.

圖1

（2）依題意，S2=CD·OE=（x2-x1）·2=x2-x1.由（1）得CD=x2-x1=，則S22=（x2-x1）2=k2+4.

回顧反思：這道習題關鍵在于第（2）問，但第（1）問分析出的CD=x2-x1=，對于第（2）問的思路突破很有幫助.將面積公式轉化為兩根x1、x2的表達式進行演算、變形，是求解的關鍵.

考題2：如圖2，在平面直角坐標系xOy中，已知點M（0，1），點M關于x軸的對稱點為N，過點N作y軸的垂線l，動點R滿足到直線l的距離等于線段MR的長度.記點R的軌跡為Γ.

充分發揮農機合作組織的帶動和引導作用。一是建議各級政府和相關部門加大對農機合作組織和種植大戶的培育力度，提高農機合作組織的農機裝備水平；二是建議農機部門引導農機合作社積極投入主要農作物產前、產中、產后全程機械化生產作業服務，通過農機服務組織率先應用先進適用農機新機具、新技術，不斷擴大影響范圍，進一步擴大農機作業面積，以點帶面，加快主要農作物全程機械化發展，進一步提高全市農機化水平。

（1）設點R的坐標為（x，y），求y關于x的函數表達式，并指出Γ是什么圖形.

（2）我們把這里的點M稱為曲線Γ的焦點，直線l稱為曲線Γ的準線.

已知直線y=kx+b（k≠0）過曲線Γ的焦點，并與曲線Γ交于A、B兩點，分別過A、B兩點作曲線Γ的準線的垂線，垂足分別為P、Q.

①求∠PMQ的大小；

圖2

思路突破：（1）圖形Γ是一條拋物線，函數的解析式為y=x2.

圖3

接下來重點攻克y1y2的值.

回顧反思：解這道考題第（2）題第②問的關鍵是將“形”向“數”轉化，并通過含y1、y2及含x1、x2的式子運算，獲得問題進展.當然，問題結構中拋物線的準線與焦點性質對于最初轉化變形也是關鍵步驟.

二、關于“同類問題”的教學思考

1.重視收集整理“同類問題”開展專題復習

中考專題復習往往按知識點開展一輪復習，再按題型進行所謂的二輪復習，很多專題復習課時的選題之間關聯度不大，常常是一題接一題的題海戰術，優秀學生常常處于“空轉”狀態，復習課的品質難以提升.我們認為，教師重視收集整理“同類問題”并開展專題復習是一種可行的備課方式.具體來說，就上文兩道考題就可開展一節專題復習課，復習主題可定位為基于拋物線與直線相交的深入探究，側重于數形結合（以形助數、以數馭形）思想方法的復習與指導.一節課兩道習題就足夠，題量不宜太大，讓學生有充分的時間獨立思考，并且安排學生之間積極對話、充分展示，教師適時追問并成果擴大，特別是在回顧反思階段，要引導學生辨析問題的關鍵一步、難點所在，兩道考題之間的“同與不同”等.

2.引導學生辨析“形同質異”與“形異質同”

慢，也是這個道理.審題，就是要看清問題的條件是什么，求解目標和方向是什么，問題與此前練習過的哪些問題的結構相同或相近，問題的關鍵一步如何突破，要注意哪些易錯點，等等，這些都值得認真辨析.試想，有些學生看到考題1及圖1，首先“潛在假設”只是想到拋物線準線與焦點的性質，則方向就會走偏，浪費寶貴的解題時間.

3.函數圖像問題要注重精準構圖能力的培養

我們知道，處理幾何圖形問題時，對于一些特殊圖形，要特別注意構圖的準確性，因為一個不準的圖形往往會影響、干擾解題方向.如等邊三角形畫不準，圍繞等邊三角形開展的后續圖形的數量關系、位置關系的探究常常陷入僵局.在探究函數圖像相關問題時，也有類似的現象.如考題2揭示了拋物線的幾何性質：拋物線上任意一點到準線的距離和到焦點的距離相等，如果拋物線的準線與焦點找得不準，拋物線開口大小畫得不當，則會嚴重干擾解題方向.比如考題2的圖并不完整，解題過程中往往需要畫出圖形進行分析，教學過程中，常常發現有些學生將考題2的圖形畫成像考題1中圖1一樣的圖形，這樣會對探求直角形成很大的干擾，若畫成一個45°左右的銳角，怎么也難以想到探求直角的思路上.可見，平時在教學與訓練過程中，引導學生畫出一個相對精準的草圖是十分重要的.當然，一個精準的圖形背景是對問題結構的充分解讀和深刻揭示.

三、寫在后面

解題即研究，對于教師的解題研究，我們認為，應該包括解法探究（一題多解與多解歸一），并在解后反思環節想清辨明問題的深層結構、關鍵步驟、易錯點所在，等等.在此基礎上，還需要思考由這道題構思研發專題復習課有哪些注意事項，需要預設哪些鋪墊問題，可進行怎樣的變式改編，有哪些問題可以關聯、鏈接，帶領學生一起思考，提高學生快速識別問題結構的眼力.可見，教師在解題研究中要做的事還很多，出發點、用力點和落腳點都應該在教學研究的方向上.

專題復習課宜選擇兩種類型的問題進行關聯、鏈接與對比復習.如“形異質同”問題，有些問題看似不在同一個問題背景之中，但是求解策略、解題方法、關鍵步驟等都是相同或相近的，這類問題在訓練時要注意引導學生辨析、感悟、體會它們之間的一致性，發現深層結構的相似性，這樣能有效訓練學生的“眼力”，在限時獨立解題中能提高解題效率.還有一類是“形同質異”問題，像上文兩道考題這樣，從圖1、圖2來看差不多，但圖2是與拋物線的準線、焦點相關的性質，而圖1與準線、焦點是無關的，辨析清楚這些深層結構，有助于學生盡快明確解題方向，找準解題思路.根據教學經驗，不少學生在解題時常常對問題的題設（條件）還沒有看清辨明就匆忙下手，導致往前進展很久，才發現出發點就是錯的，我們常常說審題要