立足教學基本問題，研讀教材改編習題
——以人教版教材例、習題改編為例

☉江蘇省蘇州市吳江區笠澤實驗初級中學 莊佩玉

研讀教材是每位一線教師必修的專業基本功之一.教材研究也成為教學研究的基礎課題，不需要標新立異，只需要守常務本，深入解讀教材，踐行“用教材教”，這當然也是一個無止境的專業精進過程.近讀參考文獻［1］和［2］，頗受啟發，原來教材研究的視角也可以非常豐富和細致，比如，針對教材上的例、習題進行變式改編、生長拓展，以服務于課堂教學，為這些例、習題的教學功能增值提效.而這與近幾年筆者的一些實踐不謀而合，想起一些近期的教材例、習題的變式改編案例，現梳理出來，供分享與研討，以便豐富大家對教材研讀的視角和案例.

一、教材例、習題改編案例

案例1：（人教七下，第126頁，第2題）當a取什么值時，式子表示下列數？

（1）正數；（2）小于-2的數；（3）0.

教學組織：這道習題主要訓練列不等式、求不等式的解集，并通過第（3）問感受前面得到的解集與方程的解的關系.為了加強這道習題的教學功能，結合班級學情，我們進行如下的改編設問.

問題1：（1）當a=-1時，求式子的值；

（4）小敏的思考：“對于一個式子，都可以賦予它一定的含義.例如：100-5a可以表示‘用100元購買單價為a元的鋼筆5支還剩的錢數’或‘滿分100分的試卷中，每道題5分，小剛錯了a道，小剛得的分數’……”

改編意圖：三個小問分別是代入求值、解方程、解不等式，最后通過一個問題情境，啟發學生共同思考代數式能表示的一些生活意義.

案例2：（人教七下，第71頁，第11題）如圖1，圖中正方形（實線）四條邊上橫坐標、縱坐標都是整數的點有幾個？寫出它們的坐標.

教學組織：在平面直角坐標系中研究正方形問題是一類經典問題，這道習題只是關注了整點的探求，為了提升該題的教學價值，我們設計了如下題組.

問題2：如圖1，正方形的四個頂點都在坐標軸上.請解答以下問題：

（1）寫出正方形四個頂點的坐標；

（2）若點的橫坐標、縱坐標均為整數，我們稱這個點為“整點”，寫出第四象限正方形邊上“整點”的坐標；

（3）求正方形的邊長（提示：從面積的角度運用數的開方進行思考）.

改編意圖：前兩問主要訓練對坐標系中點的坐標的理解，最后一問與上一章數的開方綜合考查，因為學生在七年級下學期還沒有學習直角三角形三邊之間的平方關系（即勾股定理），所以引導學生從不同角度思考，也可求出邊長.待到將來學習勾股定理之后，就能更便捷地求出邊長了.

案例3：（人教八下，第99頁，第9題）點P（x，y）在第一象限，且x+y=8，點A的坐標為（6，0）.設△OPA的面積為S.用含x的式子表示S，寫出x的取值范圍，畫出函數S的圖像.

教學組織：這道習題在不少版本的教材上都有，而且是一些教輔資料上的高頻習題，但是，如果只滿足于一道題的解題教學，就不能使這個經典問題的教學效益最大化.以下我們就由這道習題出發，設計系列變式問題跟進，并提供教學建議.

圖1

問題3：平面直角坐標系xOy中，點P（x，y）在第一、四象限，且2x+y=10，點A的坐標為（4，0）.設△OPA的面積為S.

（1）求S關于x的函數關系式（需要寫出x的取值范圍）.

（2）小成的發現：△OPA的面積S不可能大于20！請判斷“小成的發現”是否正確（需要有必要的演算說明）.

（3）小南的舉例演算：當自變量x=1或x=9時，函數S的值都為16；自變量x=4.5或x=5.5時，函數S的值都為2.小南的猜想：當S=k（k為正實數）時，一定能解出兩個不同的自變量x的值.請判斷“小南的猜想”是否正確（需要有必要的演算說明）.

改編意圖：第（1）問對應原來的“習題2”.到第（2）問就需要分類討論，仔細審題，點P除了可以在第一象限，還可以在第四象限，所以△OPA的面積S的最大值是可以無窮大的.到了第（3）問也是類似的，需要考慮點P在不同象限的題干條件，否則又會出現類似“小南的猜想”這樣的不全面、不嚴謹.

二、教材例、習題改編的進一步思考

1.改編教材例、習題是踐行“用教材教”

華東師大鐘啟泉教授指出新、舊教學的分水嶺是“教教材”還是“用教材教”.我們認為，將教材上一些重要的例、習題進行恰當的變式改編，就是踐行“用教材教”的具體實踐.當前，不少“習題單式導學案”的一大問題就是忽略教材例、習題的選用與變式改編，只是引用一些教輔資料上盛行的中考試題或所謂名校?？荚囶}，這些試題雖然也與本課時訓練的內容有些關系，但往往因為試題的內容效度、難度都不當，不能較好地體現本課時的教學重點與難點，所以常常使得課堂教學偏離，影響教學品質.順便提及，著名特級教師李庾南老師倡導的“學材再建構”，也要求廣大教師從“照本宣科”走向“用教材教”.

2.通過問題情境化呈現促進傾聽理解

從上面提到的幾個案例來看，我們由教材上的例、習題改編成一些問題串，并且編寫了一些情境化問題背景，一方面，可以讓學生獲得一種“現場感”，另一方面，可以引導學生學會傾聽，培養傾聽理解能力.這是在大班額教學生態下非常重要的學習能力，因為根據教學觀察，不少學生在課堂上往往注意傾聽老師的講授，但是對同學的交流、展示表現出傾聽不專注的現象，似乎以為課堂上只要盯著老師所講內容就可以了.這是一種認識上的偏差，因為課堂中的對話分為多種，如師生對話、生生對話，如果對同學所表達的內容沒有傾聽理解到位，后續參與時就會成問題.正是基于以上理解，我們在案例1、案例3中都虛擬引出一個“學生思考”的情境，以便促進全體學生都參與課堂，把他們的思維卷入到問題探索中去.

3.改編問題串呈現時要由易到難排列

問題串教學、題組呈現的關鍵是由易到難、漸次展開，這樣有利于從問題呈現最初全體學生的思維都積極跟進，而不能像有些質量不高的教輔資料一樣，練習題排列的難易順序嚴重不當，常常是學生才練習了前三題就被卡住，鉆研十幾、二十多分鐘后還是放棄，再做后面的習題時，卻又非常簡單，這種現象在編排課堂教學例、習題的順序時要注意避免，因為課堂上教學時間非常寶貴，教師要基于學情充分預設、研判學生可能出現的障礙與難點，進一步再安排題組的各個小問出現的順序，有時還可根據習題的難度呈現預設一些鋪墊式問題，以便在學生思維受阻時能給出提示.具體來說，如在勾股定理新授課教學時，學生對勾股定理的一般化證明往往很難在較短時間內獲得思路貫通，這時就需要教師根據教學目標的設定、教學內容的組織，預設一些提示性問題或輔助式圖形（如勾股弦方圖）來啟發學生獲得思路進展.

三、寫在后面

有人說無力攀登高峰和走向遠方，那就守常務本，從小處出發，往深處走.筆者常常想，我們的數學教學與研究也應該是這個道理.對于廣大一線教師來說，很多宏大課題沒有機會去主持或參與，那就立足于自己的教學實踐，把每天都上的課、每天都改的作業、每天都可能會遇到的學生答疑解惑，做好、做精，抓住教學中的一些基本問題（像本文提出的改編教材例、習題），正常做、長期做、堅持做，自覺遠離網傳題、網紅題的干擾，從自身做起，定心定力切實為學生減輕過重的課業負擔.