建模教學：剖析關鍵詞，建構關系式
——基于一個引入問題建模教學的感悟

☉江蘇省如皋市實驗初中 周軍蓮

數學建模是“根據實際問題建立數學模型，對數學模型進行求解，然后根據結果解決實際問題”，它是初中生需要著力發展的核心素養之一，因而建模教學也應成為數學教學的重要內容.那么，建模教學的著力點在哪兒呢？筆者認為，應以問題情境的深入剖析為抓手.而深入剖析的最根本方法就是“摳字眼”，即深入分析例題中的關鍵詞，明晰其含義并抽象出相關數學模型，形成問題解決的常用策略.這個模型建構的過程，對學生數學建模素養的發展是十分有效的，值得推廣.本文擬結合一道教材新課引入題的教學歷程，談談筆者對數學建模教學的感悟，供大家參考.

一、引入題分析

1.引入題呈現

問題：一輛勻速行駛的汽車在11：20時距離A地50km，要在12：00之前駛過A地，車速應滿足什么條件？

2.引入題分析

（1）教學背景.

在人教版教材中，本題是“9.1.1不等式及其解集”的引入問題.在本節課之前的一個單元，教材安排的是二元一次方程組，重點探索了二元一次方程組的解法及其應用，其間，學生先后獲得了方程（組）的恒等變形、規整簡化、變形求值等知識.這些知識的獲得，不僅為本節課的學習提供了知識鋪墊，還為探索不等式及其相關知識積累了寶貴的經驗，這些無疑為學生順利從引入問題中建構出新的數學模型——不等式，并探索其解、解集鋪平了道路.

（2）解題方法.

（3）教學預期.

對于這個引入問題，教材預設的流程是基于問題情境先建構出（2）中的兩個不等式.然后，結合不等式②對x進行特殊取值，引出不等式的解.教材通過對多個滿足不等式的x的值的討論，逐步確定使不等式成立的x的范圍，從而明確不等式的解集.整個教學過程中，兩個不等式的建構是重點，也是難點.教學時，需要教師引導學生重點分析題目中的關鍵詞，在文本含義明晰的過程中努力從文本中抽象出代數式，并把“12：00之前駛過”轉化為用“＜”或“＞”表示的數學模型——不等式，從而為下一步探究其解及解集掃清障礙.

二、教學歷程及簡析

1.教學簡錄

教師首先投影問題，讓學生自己嘗試找出解決問題的思路.大約3分鐘后，不少學生舉手示意已經找到思路，教師立即組織學生全班交流.

師：題目中給出了哪些量？

生1：路程50km，時間40分鐘.

師：你是怎么得到40分鐘的？

生2：11：20到12：00恰好是40分鐘.

師：對，時間為40分鐘.那么，現在知道了路程和時間，還差什么？

生3：速度.

師：探索“車速應滿足的條件”，這恰好是題目提出的要求.你們準備怎么辦？

生4：設車速為xkm/h，然后想辦法列式表示題目中的關系.

師：好的，你給出的這個速度單位與題目中給出的單位一致嗎？

生5：不一致.

師：該怎么辦？

生（齊）：轉化唄！

師：轉化結果是多少？

師：好的，在設出未知數，并順利進行單位轉化后，接下來就應該根據題中的語句抽象出關系式了.本題應該抓住哪句話探索關系式呢？

生7：12：00前駛過A地.

師：這句話什么意思？

師：你得到的式子是什么？

師：對于“12：00前駛過A地”，還可以怎么理解？

師：如何列式表示？

……

2.過程簡析

教師引導學生從已知量入手，分析題中已經給定的數量，知道其中的50km是路程，而11：20到12：00之間的40分鐘是汽車的行駛時間.接下來，便是對速度展開探索，教師用“你們準備怎么辦”引導學生發現可以通過設未知數，建構含未知數的關系式來解決問題.在學生將速度和時間中的單位進行統一后，教師引導學生對“12：00前駛過A地”進行深入分析.由于探索的是“車速應具備的條件”，學生抓住路程和時間從兩個角度分別對這句話進行分析，得出了“h行駛的路程超過50km”和“行駛50km所用的時間不足h”的結論，進而依托這兩個結論抽象出不等式①和②.整個教學過程，教師引導學生從給定的文本出發，引導學生逐字逐詞分析，努力在已知與未知之間搭建問題解決的路徑，為下一步探索鋪平道路，實現了很好的教學效果.

三、教學感悟

1.逐字分析，鋪平數學模型建構路

讀懂題目是建構數學模型的基礎.因而，建模教學應從培養學生逐字逐詞逐句分析題目的能力出發，使學生在對題目深入解讀的基礎上找到可以抽象數學模型的路徑，從而實現模型建構能力、分析問題能力的同步提升.因此，課堂教學中，我們應注重對學生讀題能力的培養，通過逐字逐句的分析示范，打通文本符號與數學模型之間的通道，從而不斷提升學生數學建模的能力.在本文中的例題教學中，教師就是在引導學生對例題逐字逐詞分析中找到相應的關系式的.這樣的逐字分析能力正是在本學段前期學習一元一次方程和二元一次方程組時獲得的，如果學生不具備這樣的分析能力，兩種不等式的得出就較為困難，而經歷了本題的探索后，學生對行程問題中的不等關系又有進一步的認識，其從實際情境中建構不等式的能力又將得到一定程度的提升.

2.及時抽象，推動解讀成果數學化

很多數學問題中都蘊含著豐富的生活情境.生活情境與數學知識之間的聯系雖然緊密，但如果不進行及時、有效的抽象，問題的探索永遠停留在實際情境中，我們是無法用所學的知識和方法加以解決的.因而，在建模教學中，教師要注重引導學生及時把發現的關系式用代數式、方程、不等式、函數等表示出來，形成真正的教學化模型.只有這種基于詳實分析之上的即時抽象，才能讓學生的抽象思維形成真正的成果，從而走在正確的解決問題之路上.還是說說本節課上的兩個不等式吧，無論是不等式①，還是不等式②，都是源于學生所得出的對文本“12：00前駛過A地”進行解讀的結果.教師追問“可以怎樣列式”，恰到好處引著學生去抽象不等式，這必將推動學生獲得的文本分析成果的數學化.

3.致敬經典，強化教材例題實踐化

數學建模教學，例題選擇是十分重要的.例題可以來自于教師的自主設計，也可以取材于現成的教學資料，而教材是教師進行教學的重要工具，其給出的例題堪稱道道經典.因而，用好教材例題無疑給建模教學省去不少麻煩.在日常教學過程中，教師一定要注意教材例題價值的深度挖掘.通過深度解讀，在真正理解例題的基礎上，教師才能找出那些有利于學生發展的教材例題，使之成為數學建模素養的教學點，形成促進師生教學相長的起點.回到本文，筆者所選的例題就來自于教材，是教材編排課時教學的唯一例題，筆者在教學過程中不僅用了教材中的這道例題，而且將教材例題的預設流程進行了較好的教學應用，使之成為全課教學情境引入、探索新知、鞏固應用的唯一問題，貫穿于教學始終.這種對教材經典例題的尊重是教師解讀教材的成果，很好地詮釋了“用教材教”的內涵.