用類比引導學生自然、合理地思考
——以人教版八年級下冊“19.2.2一次函數（第1課時）”教學設計為例

☉湖北省武漢市光谷第三初級中學 李景財

☉湖北省武漢市光谷實驗中學 周澤軍

筆者以2017年全國初中數學青年教師優質課評比中的一節課人教版八年級下冊“19.2.2一次函數（第1課時）”的教學設計為例，談談“用類比引導學生自然、合理地思考”這個話題.本課是一節概念課，類比思想貫穿課堂始終.回顧正比例函數的研究內容，類比推測一次函數的學習內容；溫習正比例函數的定義及形成過程，類比預設、生成一次函數的學習步驟及定義；在反思提升環節，通過揭示類比思想，讓學生整體感受本課的學習方式；在課外延伸環節，引導學生用類比的思想探究下節課的學習內容，延伸課外學習.

一、教學過程設計及說明

1.創設情境，感受學習函數的必要性

環節1：情境導學.

問題1：觀看視頻——烏鴉喝水.

思考：假設故事中的瓶子為圓柱形，每個石子的體積相同，瓶子里原有水深5cm，放1粒石子水位上升0.3cm，那么放x粒石子后，水瓶里的水深ycm怎樣表示呢？

設計意圖：烏鴉喝水的視頻激發了學生的學習興趣與求知欲，營造了輕松的學習氛圍，同時感知數學源于實際生活，初步體會了建立函數模型的思想，感受到學習新知的必要性，引出課題.

2.回顧相關知識，類比推測學習內容

問題2：大家回憶一下正比例函數，你能總結出正比例函數研究了哪幾個方面的內容嗎？

生：正比例函數的定義、正比例函數的圖像、正比例函數的增減性、正比例函數的應用.

問題3：類比正比例函數的學習內容，你能推測一下一次函數要研究哪些內容嗎？

生：一次函數的定義、一次函數的圖像、一次函數的增減性、一次函數的應用.

設計意圖：通過回顧正比例函數研究的內容、線索，類比得出一次函數研究的內容、線索，讓學生對本節有一個整體的認識，使學生了解函數研究的基本內容、思路與方法，積累了函數學習的經驗，增強學習的預見性與主動性.

3.溫習定義步驟，提煉定義方式

問題4：正比例函數的概念是如何形成的呢？

師：請同學們看課本第86頁的思考至第87頁練習以上的部分，歸納正比例函數的概念是如何形成的.

生：從課本上我們不難看出，正比例函數定義的形成歷經了下面三步：實際問題→抽取出解析式→從解析式的形式特征上定義.

設計意圖：通過復習課本，提煉出正比例函數定義的形成需要經歷的三個步驟，為探究一次函數的定義提供了方法，積累了經驗.

評析：以上情境導學環節，通過觀看視頻使學生感受函數學習的必要，激發了學生的學習欲望；通過問題1～4，讓學生回顧了正比例函數學習的知識結構，溫習了正比例函數定義形成的方法，類比得出本節課的學習內容和方法，從而樹立了學習的信心，為自主學習、探究學習做好了心理準備.

4.遷移定義方式，類比生成新概念

環節2：活動研學.

活動1：感悟概念.

問題5：下列問題中，兩變量間是函數關系嗎？若是，請寫出函數關系式.

①有人發現，在20℃～25℃時蟋蟀每分鐘鳴叫次數C與溫度t（℃）有關，即C的值約是t的7倍與35的差；

②一種計算成年人標準體重G（單位：kg）的方法是，以厘米為單位量出身高值h，再減常數105，所得差是G的值；

③某城市市內電話的月收費額y（單位：元）包括月租費22元和撥打電話xmin的計時費（按0.1元/min收取）；

④某登山隊大本營所在地的氣溫為5℃，海拔每升高1km，氣溫下降6℃，登山隊員由大本營向上登高xkm時，他們所在的位置的氣溫是y℃，試寫出y與x之間的關系式.

活動2：形成概念.

問題6：請大家類比正比例函數概念的形成過程，思考該怎樣學習一次函數的概念.

問題7：觀察以上出現的函數解析式，通過類比正比例函數y=kx（k≠0）的定義方式，你能寫出一次函數的一般表達式嗎？

問題8：關注一次函數的一般表達式的特征，你能提出哪些問題？

生問1：從自變量的次數來看有何特征？

生答1：自變量x的次數都是1.

生問2：從解析式右邊的書寫形式與項數來看有何特征？

生答2：解析式右邊都是關于自變量x的一次二項式.

生問3：等式右邊的kx與b分別是什么項？

生答3：kx是一次項，k是一次項系數，b是常數項．

生問4：y是關于自變量x的幾次函數？

生答4：y是關于自變量x的一次函數．

生問5：解析式中的字母k、b有什么限定嗎？

生答5：k為常數，k≠0，k、b為常數.

生問6：能類比正比例函數的概念，歸納出一次函數的概念嗎？

生答6：一般地，形如y=kx+b（k、b為常數，k≠0）的函數叫一次函數．（師板書）

設計意圖：通過一組實際問題，寫出了幾個函數解析式；通過問題6～7，組織學生自問自答，搭建基于學生經驗的自主學習，引導學生觀察、歸納、比較各式的特征，發現一類不同于正比例函數的函數，培養提出問題、分析問題的能力，訓練數學建模與數學抽象思維能力；通過形式類比，讓學生在對比、分析、思考、遷移過程中，經歷一次函數概念的構建過程.

評析：在初中數學教學中，學生對于概念本質的理解是學習的一個難點，采用類比教學是化解該難點的一種有效途徑與方法.本課對概念的定義形式采用類比的方法，先從形式上類比構建一次函數的定義式，再通過生生的互問互答，破解對概念的疑問，加深對概念的理解.

5.類比相近知識，厘清知識關系

活動3：理解概念.

問題9：對比y=kx+b（k≠0）與y=kx（k≠0），回答下列問題：

①一次函數y=kx+b（k≠0）中的b可以為0嗎？當b=0時，y=kx+b（k≠0）變成了什么函數？

②一次函數與正比例函數有何關系？

③請在（1）和（2）兩個區域內填上一次函數與正比例函數.

設計意圖：讓學生對比兩種函數概念，引發學生的思維沖突，自主尋找得出一次函數與正比例函數的關系.

圖2

6.類比設計變量，突破教學難點

環節3：檢測評學.

活動4：應用概念.

我活用——故事的延續……

問題10：在前面烏鴉喝水的故事中，假設瓶子為圓柱形，每粒石子的體積相同，瓶里原有水深5cm，放1粒石子水位上升0.3cm，瓶高10cm，烏鴉嘴長2cm，投入的石子的粒數為a，請分組寫出下列變量關于a的關系式.

①水面的高度x；②水面上升的高度y；③水面與瓶口的距離Z.

活動要求：①小組合作討論；②第1～3組寫x與a的關系式，第4～6組與y與a的關系式，第7～8組寫Z與a的關系式.

問題11：在上面出現的幾種情況中，每種情況最少投入多少粒石子，烏鴉正好可以喝到水？

追問1：借助三個函數關系式求得的同體積石子的粒數一樣嗎？

追問2：通過一致的結果我們可以得到什么啟示呢？

設計意圖：問題10采用了思維方式的類比，設不同的函數，列出三個不同的一次函數，使“運用一次函數解決實際問題”的難點得以突破；通過追問“至少投入多少粒石子，烏鴉正好可以喝到水”，把函數與方程聯系起來，讓學生感知函數中的變量與方程中的未知數是可以互相轉化的；通過不同的解析式，發現求得的結果相同，讓學生認識到一次函數是刻畫現實世界變化規律的一個重要數學模型，感悟函數的思想，提升對函數本質的感悟，使學生的思維上升到一個新高度.

評析：數學思維的呈現形式常常是隱蔽的，難以從教材中獲取.教師應在教學中有目的、有意識地進行思維方法的滲透．通過類比思維，設不同的變量，建立不同的函數，暴露利用三個不同函數解決同一問題的思維，使思維得到不同層次的訓練，不同的學生得到不同的發展.

7.提煉類比思想，感悟學習方式

環節4：反思提升.

問題12：本節課中，你學到了什么？

小組合作，將本節課學到的內容整理成知識結構圖，畫在草稿紙上，然后上臺展示、分享.之后，教師出示自己設計的知識結構圖，供學生借鑒.

圖3

設計意圖：讓學生通過合作交流的方式養成回憶、總結、歸納的好習慣，便于學生及時將新知識納入已有的知識系統，加深對概念的理解與思維的升華.通過課堂小結揭示了貫穿知識導圖的暗線——類比思想，讓學生再次感悟類比學習的方式.

8.運用類比思想，創新作業設計

環節5：課外延伸.

（1）課本第90～91頁練習第2、3題.

（2）探究：類比正比例函數的學習內容，列舉一到兩個一次函數的實例，給出它們的解析式并畫出函數圖像，探究函數的性質，下節課以小組為單位展示你們探究的成果.

設計意圖：授人以魚不如授人以漁.通過基礎題訓練，鞏固、理解概念，使學生學會運用類比思想，設計探究性問題，讓學生通過類比方法，探究一次函數的圖像與性質，培養學生自主學習的意識與能力，使學生會學.

二、課例反思

本課以類比教學為主要學習方法，從正比例函數的知識結構類比出一次函數的知識結構，明確學習內容與方向；從正比例函數的定義方式類比出一次函數的定義方式，明確定義的方法；從正比例函數解析式的形式類比一次函數解析式的形式，明確定義式的結構；在課堂小結中提煉類比思想，完善知識結構；在課外延伸中運用類比思想，創新作業設計，指導課外學習，整節課利用類比引導學生自然、合理地思考與探究.

1.類比教學有利于激發學生的求知欲

波利亞說：“類比是獲得發現的偉大源泉.”在教學過程中，借助類比的思想方法，從已有知識出發，聯系新知識，此時學生的自信心大增，喚起了學生自主探究新知、發現新知的欲望；探究中學生又感受到發現數學奧秘的樂趣與成功感，較大地激發了學生的學習情感，可謂情生智、智激情、情智相生，由此可知“類比教學是激發學生求知欲的一劑良方”.

2.類比教學有利于促進學生自主探究

波利亞曾說：“新課題的解決是通過與已知課題類比實現的.”新課程標準倡導自主探究、自主構建的學習方式.類比教學立足最近發展區，通過舊知，在類比中同化新知，并納入認知結構，在潛移默化中融入自主探究的學習方式.本課通過正比例函數的知識內容、定義方式類比出一次函數的學習內容、定義方式，為學生營造自主探究的學習場域，讓學生經歷了新知發現和自主構建的過程，感悟了研究問題的基本方法，所以說類比是引導學生實現自主合作探究的有效途徑.

3.類比教學有利于形成有意義的學習

知識結構化是達成有意義學習的主要方式，采用知識結構類比教學更有利于有意義的學習.本課中以正比例函數的知識結構類比出一次函數的知識結構，使學生明確了一次函數的學習內容與方法，同時揭示了函數學習的結構，為今后學習二次函數、反比例函數明確方向并提供經驗.類比教學有利于知識的整體構建，適用于單元結構教學.

4.類比教學有利于學生核心素養的培養

類比是數學研究與數學發現中常用的邏輯思維方法.課堂上，若能讓學生在問題的探究過程中用類比方法去感悟和理解教學內容，學生既能掌握知識本身，又能積累數學活動經驗，更有利于培養學生的邏輯推理素養與系統結構抽象素養.本節課中，知識結構的類比，培養學生的預判、猜想等合情推理能力、抽象思維能力；方法的類比，培養遷移、歸納的能力；思維方式的類比，暴露了思維的痕跡，積累了數學活動經驗，所以說類比教學有利于核心素養的培養.

“類比是一個偉大的引路人.”用類比引導學生自然、合理地思考，激發了學生的潛能，促進了學生自主合作探究的學習，構建了富有生命與思維的課堂，這應是教師們所追求的課堂.