一元微積分古詩趣讀

李尚志

金庸武俠小說《射雕英雄傳》中的《九陰真經》分成上、下兩篇，上篇講的是指導思想（idea），下篇講的是具體招數（technique）。雖然打架靠technique，但是在idea指揮下才能對technique應用自如，應付戰場上的千變萬化。沒有idea的指揮，梅超風練出的technique就只是歪門邪道。這就好比詩歌，詩歌不是工筆畫而是寫意畫，不能像數學語言那樣嚴格地講述定理和公式，但是卻可以講述指揮這些定理和公式的idea，幫助我們領會到這些定理和公式的真諦。以下四首詩通過浪漫的比喻和生動的形象介紹了一元微積分四個專題的主要思想。

微分

凌波能信步，

苦海豈無邊。

函數千千萬萬，

一次最簡單。

函數千千萬萬，千變萬化，太復雜，難以研究，猶如無邊苦海。怎么逃出這個苦海？將難以研究的函數轉化為最簡單的一次函數來研究，這就是微分。

金庸武俠小說段譽學了“凌波微步”的逃命功夫，雖能凌波而不沉入苦海，畢竟還需要小心翼翼地“微步”，生怕步伐太急太重墮入水中。我們改成信步，可以隨意進退。有什么絕招可以如此瀟灑？絕招就是“一次最簡單”，將函數y=f （x）在每一點c附近用與之最接近的一次函數dy=y-f（c）=k（x-c）=kdx近似代替，就是函數圖象曲線在點（c，f（c））的切線方程，切線斜率k=f （c）就是導數，dy=f （c）dx就是微分。微分就是用一次函數代替函數，一次項系數就是導數。

Taylor展開

漫天休問價，

就地可還錢。

我有乘除加減，

翱翔天地間。

研究一般的函數太困難，猶如面對“漫天要價”，難以對付。將它變成一次函數來研究，這是“就地還錢”。在很多情況下，一次函數又過分簡單，精確度不夠，這時可以再“漲一點價”。例如，研究變化速度，一次就夠了。研究加速度，研究彎曲程度，研究極大極小值，一次不夠，就用二次函數。我們不會算三角函數、指數函數、對數函數這些“超越函數”，只會算加減乘除。將超越函數變成一次、二次多項式，就可以通過加減乘除算出來。精確度如果還不夠，就用三次、四次以至更高次數的多項式。通過提高多項式的次數來提高精確度，達到滿意的程度。這就是Taylor展開。無限地提高次數，用無窮級數可以達到完全精確。這就是Taylor級數。憑借通過加減乘除算多項式這樣簡單的本事，就能在“超越函數”這個“天”與“一次函數”這個“地”之間自由翱翔，游刃有余。

定積分

一帆難遇風順，

一路高低不平，

平平淡淡分秒，

編織百味人生。

粗看起來，這首詩不是講數學，而是講人生。人生難得一帆風順，總是高低不平。人生由分分秒秒組成。每分每秒太短暫，來不及有驚天動地的業績，往往很平淡，但積累起來卻可以編織成豐富多彩的人生。

勻速運動的路程等于速度乘時間。但是，宇宙間的運動難得有真正勻速的，運動總是有快有慢，速度有大有小，不能直接將速度乘時間。很短一瞬間內速度來不及變化，可以近似地看成勻速運動，將速度乘時間來計算路程。運動的時間段可分成一個個短暫瞬間，將每個短暫瞬間的速度乘時間得到短暫路程的近似值，將這些短暫路程相加就得到總路程的近似值。分成的短暫瞬間越短，誤差越小。無限細分，短路程之和就無限接近于總路程的精確值。這就是定積分。

分分秒秒的平淡生活編織成精彩紛呈不平淡的人生。各個短暫瞬間近似勻速的運動路程組成整個變速運動。

原函數

量天何必苦登高，

借問銀河落九霄。

直下凡塵幾萬里，

幾多里處宴蟠桃？

已知速度求路程，是求定積分，很難，好比登天去量天的高度一樣難。

為什么一定要自己從下往上量天的高度呢？可以反過來從天上到地下度量。李白詩云“疑是銀河落九天”。讓銀河度量一下從九霄到凡塵的路程，不就是天的高度了嗎？銀河說從天到地九萬里，就知道從地到天九萬里。銀河說從天宮往凡間走二里路處舉行蟠桃宴，從凡間趕往天上差二里路到天宮處有蟠桃吃。

由速度v（t） 求路程s（t）太難。反過來由路程s（t）求速度v（t）是求導數，比較容易。求一個函數F（t） 使它的導數是已知的速度 v（t），這個函數F（t）是否就是路程呢？ 不一定。F（t）不一定是路程，但一定是位置。最末時刻b的位置F（b）與最初時刻a的位置F（a）之差F（b）-F（a）就是路程s（t），就是所求的定積分：

F（b）-F（a） =∫ab v（t） dt

定積分不僅是由速度v（t） 求路程，也可以是函數v（t）曲線與x軸之間所圍面積S。

F（t） 就是 v（t） 的原函數。上述通過原函數求定積分的方法就是微積分基本定理，就是牛頓-萊布尼茲公式。

既然叫微積分基本定理，它當然就是微積分中最重要的定理。最重要的定理的想法其實非常簡單：由下到上太困難，變成由上而下，將困難的事情變簡單。