導彈姿態控制系統彈性振動抑制問題研究*

宿常鵬，王雪梅，許 哲，李駿霄，王興龍

(1 火箭軍工程大學，西安 710025；2 火箭軍士官學校，山東青州 262500)

0 引言

導彈飛行過程中，彈體在各種載荷作用下不可避免地產生彈性振動。現行導彈的長細比一般較大，其彈性振動頻率與控制系統頻帶接近。因此，導彈姿態控制系統的設計必須要考慮彈性振動對其穩定性的影響，并對其加以抑制[1]。目前，彈性振動抑制方法主要有兩類：一是設計具有魯棒性的控制器；二是采用陷波濾波器對振動模態進行抑制[2]。工程中廣泛應用固定參數的陷波濾波器進行彈性振動抑制[3]，盡管其具有一定的陷波寬度，但由于彈性振動頻率變化范圍大而效果并不理想。因此，孟中杰、閆杰[4]提出了自適應陷波濾波器的方法。該方法通過在線辨識彈性振動頻率并據此調整陷波濾波器的參數，以實現彈性振動抑制。但是由于自適應陷波濾波器復雜度高、計算量大，彈上計算機難以應用[5]。

針對現有方法的不足，文中提出了時變陷波濾波器的方法。該方法簡單易行，充分利用地面試驗所得彈性模態數據進行陷波濾波器設計。理論計算和仿真實驗表明：該方法彈性振動抑制效果好，適于彈上計算機使用，可以滿足實時控制的需求。

1 姿態控制系統的模型

導彈是一個極為復雜的系統，需要對導彈的模型進行簡化。首先，由于導彈在實際干擾作用下將在理想運動附近產生小擾動運動，可以將導彈運動微分方程簡化為小擾動運動方程[6]。其次，忽略導彈俯仰、偏航、滾動3個通道的交鏈作用，將導彈姿態控制系統視為3個相互獨立的通道。

對線性化的小擾動運動方程取拉氏變換可以得到彈體的傳遞函數，由于導彈的軸對稱性，其俯仰和偏航通道的模型結構相同。把彈體俯仰(偏航)擾動運動作為受控對象，等效舵偏角Δδφ(Δδψ)作為控制輸入，俯仰角Δφ(Δψ)作為輸出量時，俯仰(偏航)通道剛性彈體的傳遞函數為：

(1)

式中：b1、b2、b3、c1、c2、c3為俯仰(偏航)通道剛性彈體的動力系數。

把彈體滾動擾動運動作為受控對象，等效舵偏角Δδγ作為控制輸入，滾動角Δγ作為輸出量時，滾動通道剛性彈體的傳遞函數為

(2)

式中：d1、d3為滾動通道剛性彈體的動力系數。

舵機伺服回路傳遞函數為:

(3)

由于導彈是時變系統，要保證系統在飛行過程中穩定，選取若干有代表性的時刻作為特征秒，在各個特征秒處認為系統是時不變系統，從而分析系統的穩定性。當攻角α=3°時，上述動力系數在部分特征秒處的計算結果見表1。

表1 動力系數計算結果

2 彈性振動分析

2.1 彈性振動模型

導彈彈體的彈性振動包括：縱向振動、橫向彎曲振動和扭轉振動。由于對穩定性影響最大的是橫向(俯仰方向和偏航方向)振動，故僅研究彈體的彈性振動對俯仰(偏航)通道穩定性的影響。

彈性彈體的數學模型可以看作是在剛性彈體模型的基礎上并聯若干條支路，其路數與彈性振動主振型階次相同[7]。由于高頻振動通常可以忽略，文中僅考慮到3階振型，故只需在剛性彈體的基礎上并聯3條支路。各階彈性振型的傳遞函數為:

(4)

式中：ωi為第i階主振型的固有頻率；εi為第i階主振型的阻尼；d3i為第i階主振型的控制力彈性氣動系數；wi為陀螺安裝處第i階主振型的斜率。

2.2 彈性振動抑制方法

為有效克服各種干擾，需要在設計中保證系統具備足夠的穩定裕度，一般幅值裕度不得小于6～10 dB，同時要合理選擇系統的帶寬[8]。一般來說，系統的剪切頻率低，離彈性振型的頻率遠，易于進行穩定性設計，但系統的姿態角偏差大，快速性差；系統的剪切頻率高，系統的快速性好，靜態誤差小，但不利于彈性彈體的穩定性設計。綜合考慮各種因素的影響，系統的剪切頻率選在2～10 rad/s范圍內。

由于彈體二階以上彈性振型的振動頻率遠大于系統的帶寬，對系統的穩定性影響很小，所以改進措施主要針對增加一階彈性振動頻率附近系統的穩定裕度展開。控制系統設計中最常用的方法是在控制回路中添加陷波濾波器[9]，即通過加入以一階彈性振動頻率為中心頻率的陷波濾波器，迅速衰減一階彈性振動頻率信號，從而消除彈體一階彈性振動的干擾，提高姿態控制系統的穩定裕度。

3 控制規律設計

3.1 陷波濾波器設計

由于模擬-數字濾波器轉換法簡單易行，文中采用該方法進行陷波濾波器的設計。陷波器設計的基本原理是陷波器的零點與系統高頻極點對消，其作用帶寬為陷波器極點與零點之間的距離[10]。假定濾波器增益為1，陷波濾波器的傳遞函數可表示為:

(5)

設計陷波濾波器時應使陷波濾波器的時間常數接近1/ω1(其中ω1為彈體一階彈性振動頻率)，阻尼接近彈性振動阻尼，由此確定傳遞函數的分子。確定陷波器傳遞函數的分母時要保證濾波器凹陷部分有足夠的寬度和深度，同時還要考慮不能在系統低頻相位上引起太大滯后。

考慮到彈體一階彈性振動頻率隨飛行時間的變化范圍為ω1=83～107 rad/s，故陷波濾波器的參數是時變的，即在各個特征秒處設計對應的陷波濾波器。以俯仰(偏航)通道為例，由表1可知，34 s時彈體靜不安定力矩系數b2最大，此時對應的一階彈性振動頻率ω1=93.0 rad/s，一階阻尼比ε1=0.069。設置陷波深度為-25 dB，得到34 s加入的陷波濾波器參數為ωi=93.0 rad/s，ζ1=0.069，ωj=63.2 rad/s，ζ2=1.0，對應的傳遞函數為：

(6)

其頻率特性曲線如圖1所示。

圖1 陷波濾波器頻率特性曲線

采用雙線性離散變換，得到數字陷波濾波器的系統函數為：

(7)

式中：A0=0.46；A1=-0.69；A2=0.46；B1=-1.06；B2=0.28。A0、A1、A2、B1、B2在其他特征秒處的取值見表2。

表2 時變陷波濾波器參數取值

3.2 校正網絡選擇

依據彈性彈體的數學模型，俯仰(偏航)通道加入時變陷波濾波器和校正網絡的原理如圖2。

圖2 控制原理圖

校正網絡的設計要綜合考慮系統的穩定裕度、彈性振動和靜態誤差等因素。由于引入陷波濾波器會使系統在低頻段產生相位滯后，為補償低頻的動態響應，通常在低頻段采用超前校正[11]，故俯仰(偏航)通道加入如下校正控制規律:

(8)

其頻率特性曲線如圖3所示。

按采樣周期T=0.01 s，通過雙線性離散變換，得到俯仰(偏航)通道數字校正網絡為:

(9)

式中：A′0=118.2;A′1=-239.1;A′2=121.7;B′1=-1.5;B′2=0.6。

圖3 校正網絡頻率特性曲線

滾動通道數字校正網絡為:

(10)

式中：E0=114.9；E1=-128.3；E2=-134.8；E3=108.4；F1=-1.4；F2=0.8；F3=-0.2。

3.3 靜態放大系數分配

為易于軟件實現，各通道的校正網絡采用變靜態放大系數、不變網絡結構的方法，則俯仰(偏航)通道靜態放大系數為：

(11)

滾動通道靜態放大系數為：

(12)

其中:

4 仿真實驗與分析

4.1 數學仿真實驗

考慮到系統參數變化和外界干擾的影響，將姿態控制系統中剛性彈體的傳遞函數設置為上限狀態、額定狀態和下限狀態，3種狀態的組合方式是從穩定裕度的大小來考慮的，上限組合使彈體傳遞函數幅頻特性比額定狀態上移、截止頻率右移，下限狀態使幅頻特性下移、截止頻率左移。3種狀態的組成分別為:

1)上限狀態：b2×0.9，b3×1.1，d3×1.1;

2)額定狀態：b2×1.0，b3×1.0，d3×1.0;

3)下限狀態：b2×1.1，b3×0.9，d3×0.9。

以34 s處為例，由表1可得俯仰(偏航)通道剛性彈體在3種狀態下的頻率特性曲線如圖4。

圖4 剛性彈體頻率特性曲線

類似地，對彈性振動振型傳遞函數的參數設置為阻尼比不變，頻率點下拉2 Hz、頻率點不拉偏和頻率點上拉2 Hz 3種狀態。由于僅研究彈體的彈性振動對俯仰(偏航)通道穩定性的影響，故彈性振動振型傳遞函數的3種狀態僅在俯仰(偏航)通道中討論。通過求加入時變陷波濾波器后姿態控制系統在各個特征秒處的開環傳遞函數，確定系統的穩定裕度，進而判斷系統穩定性。相關的符號說明為:

G為幅值裕度；ωcp為幅值裕度對應的剪切頻率；P為相角裕度；ωc為相角裕度對應的剪切頻率；Gtx,1為一階振型幅值裕度；Ptx,1為一階振型相角裕度。

滾動通道在3種狀態下的穩定裕度范圍如表3所示，可以看出:滾動通道在各種狀態下的剪切頻率為2.5～6.7 rad/s，幅值裕度大于16 dB，相角裕度大于48.0°，穩定品質良好。

表3 滾動通道穩定裕度范圍

俯仰(偏航)通道在3種狀態下的穩定裕度范圍見表4～表6，可以看出:俯仰(偏航)通道在各種狀態下的剪切頻率在2.2～6.9 rad/s，幅值裕度大于7 dB，相角裕度大于34.0°，一階振型幅值裕度大于6.6 dB，相角裕度大于34.4°，姿態控制系統穩定品質良好。

表4 額定狀態穩定裕度范圍

表5 下限狀態穩定裕度范圍

表6 上限狀態穩定裕度范圍

4.2 半實物仿真實驗

設置姿態控制系統半實物仿真的條件如下：仿真步長取0.01 s，導彈的射程為500 km，初始姿態角為φ0=89.5°、ψ0=-0.5°、γ0=1°。舵效上拉偏狀態為正10%，彈體力矩負10%；舵效下拉偏狀態為負10%，彈體力矩正10%；仿真狀態中加入空氣舵干擾3倍，一階阻尼比為0.069。

導彈在仿真過程中基本沿標準姿態角飛行，穩定過程中的姿態角速率小于5°/s，最大舵偏角小于20°，關機前的姿態角速率小于0.5°/s，滿足技術指標要求。半實物仿真實驗的部分狀態和結果見表7。

表7 半實物仿真狀態及實驗結果

5 結束語

文中提出了在導彈姿態控制系統中加入時變陷波濾波器的方法，以抑制彈體的彈性振動對系統穩定性的影響。以某型導彈為例完成了時變陷波濾波器的設計、校正網絡的選擇和靜態放大系數的分配。理論計算和仿真實驗表明，該方法有效抑制了彈體彈性振動的干擾，適于彈上計算機使用。