“圓”來如此簡單

張勇

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：B 文章編號：1672-1578（2019）10-0136-01

在一些數學題中，看似與圓毫無關系，但是用常規的解題方法卻無法解決問題，而通過題中的某些條件構造輔助圓，運用圓的知識進行解答，往往就會使題目簡單化，從而使難題迎刃而解.本文結合一些實例，探析如何巧用輔助圓妙解幾何題.

1.“圓”來這樣求線段長度

求線段的長度是初中數學比較常見的問題.該問題的常規解法是通過做垂線構建直角三角形從而運用勾股定理或是巧用面積公式.但是在一些問題中，通過直接作出垂線，往往會使圖形更加復雜，從而不能成功解題.

例1：如圖所示，在四邊形ABCD中，AD∥BC，已知BC=CD=AC=23，AB=6.則BD=.

解析：通過題干中的條件BC=CD=AC，我們可以想到以C為圓心，BC為半徑作圓.根據圓的性質：直徑對應的圓周角為直角，可以延長BC交于⊙C于點E，連接DE，如圖所示，此時△BDE為直角三角形.Q AD∥BC，∴AB=DE=6，由勾股定理得BD=42.

點撥：根據題干中的線段相等，從而構建輔助圓，接著利用圓的性質進行解題.其中需要注意的是，雖然輔助圓能做出，但是要想解題，就要對圓的性質有一個深刻的理解。

2.“圓”來 這樣求角度

求角的度數問題一般都是以三角形為載體，該問題的常規解法是利用三角函數的知識去解答，但是由于初中數學只學習了一些特殊的三角函數值且以直角三角形為載體.當遇到一般的三角形，此時學生往往會無計可施。

例2：如圖所示，在△ABC中，其中AB=AC，BD是∠ABC的平分線，BD+AD=BC，則∠A=.

解析：由題意得，本題要求的是∠A，由于此題沒有告知任意一個角的大小，且△ABC也不是直角三角形，因此運用三角函數的知識是很難解答該題的.由題干中BD平分∠ABC，可得∠ABD=∠DBC.作△ABD的外接圓交BC于點E，如圖所示.根據圓的性質可得，AD=DE.因為四邊形ABED為圓內接四邊形，所以∠ABC=∠EDC=∠C，所以2∠C=∠DEB，DE=EC.因為BD+AD=BC=BE+EC且AD=DE=EC，所以BE=BD.因為∠DEB=∠BDE=2∠C，在△BDE中，∠DEB+∠BDE+∠DBE=180°，即4∠C+12∠C=180°，得∠C=40°.在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°，得∠A=100°.

點撥：此題是根據角平分線從而想到畫出三角形的外接圓，然后找出各角之間的關系進行解答的.因此，在求解角的度數時，要充分運用輔助圓，找出相等的角，最后通過運用三角形內角和為180°列出式子求解.此類題型的難點在于，如何畫出輔助圓.

3.“圓”來 這樣解決最值問題

求最值的問題在中考中是常見問題，其一般的思路就是設未知數，然后尋找關系列出函數表達式，即可解答出.雖然解題思路清晰，但是此類題型的難點就是在如何將條件整合起來，找出其之間的關系，

例3：如圖所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=23，動點P、Q分別在AB、AC上，∠CPQ=90°，則CQ的最小值為.

解析：經過審題后，感覺CQ就是獨立的，無法向已知條件上靠，唯一可以用的就是∠CPQ=90°，但是無法運用勾股定理，因為三條邊都是未知的.但是通過仔細審題，從條件∠CPQ=90°出發，可以想到圓的直徑所對的圓周角是直角，此時可以試一下，看畫出輔助圓對解題有無幫助.通過圖可以看出，要想CQ最小，AB與⊙O要相切.此時就可以根據OP⊥AB，OP=OC，可得∠APQ=30°，此時設PQ=OQ=OP=OC=r，3r=AC=cos30°.AB=3，解得，所以CQ的最小值為2.

點撥：根據題干中條件畫出輔助圓，借助圓的性質：圓心到切點之間的線段最短是解答本題關鍵，可見輔助圓對題目的綜合分析起了很大的作用.其中需要特別注意的是，當題中給出直角時不能單單只想到勾股定理，也要聯想到圓。

綜上所述，在解答幾何問題時，如若發現運用常規方法不能解決問題或是解決過程比較繁瑣，此時可以通過仔細審題，挖掘題干中與圓有聯系的條件，從而做出輔助圓進行分析解題.由于做出輔助圓的關鍵就是善于捕捉題干的細節之處，這對學生的要求比較高，因此學生要在以后的學習中勤總結。