纖維質(zhì)多孔材料中纖維間接觸點(diǎn)數(shù)量的理論模型

白 赫， 錢曉明， 范金土,3， 錢 幺， 劉永勝， 王小波

(1. 天津工業(yè)大學(xué) 紡織科學(xué)與工程學(xué)院， 天津 300387； 2. 天津師范大學(xué) 物理與材料科學(xué)學(xué)院，天津 300387； 3. 香港理工大學(xué) 紡織及服裝學(xué)系， 香港 999077)

纖維質(zhì)多孔材料中纖維間接觸點(diǎn)的數(shù)量是分析該類材料性能的重要參數(shù)之一，其與產(chǎn)品的力學(xué)性能[1]、孔隙率和孔徑分布[2-3]、過濾性能[4-5]相關(guān)。最早應(yīng)用在研究多孔介質(zhì)內(nèi)部孔徑分布的理論是泊松多邊形法[6]，利用二維泊松分布構(gòu)建多邊形，并指出所構(gòu)造多邊形多為四邊形，再以多邊形內(nèi)切圓的半徑表示孔徑大小，研究結(jié)果表明孔徑分布與多邊形數(shù)量呈負(fù)指數(shù)關(guān)系，該結(jié)論也在文獻(xiàn)[7-8]中使用Monte-Carlo方法得到了驗(yàn)證。Komori和Sampson等[9-10]結(jié)合數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)理論，研究了纖維在三維空間隨機(jī)分布情況下，纖維間接觸點(diǎn)數(shù)量與纖維直徑、體積分?jǐn)?shù)的函數(shù)關(guān)系。但由于纖維質(zhì)多孔材料結(jié)構(gòu)具有微觀各向異性的特征，因此，應(yīng)考慮纖維取向?qū)Y(jié)構(gòu)的影響。

本文以泊松多邊形理論為基礎(chǔ)，建立了纖維質(zhì)多孔材料內(nèi)部纖維間接觸點(diǎn)數(shù)量與纖維空間分布的函數(shù)關(guān)系，分別研究纖維在二維和三維分布情況下，纖維數(shù)量對(duì)其接觸點(diǎn)數(shù)量的影響。使用Geo-Dict軟件模擬纖維結(jié)構(gòu)并與理論預(yù)測值和前人研究結(jié)果相比較；最后根據(jù)Sampson等的研究結(jié)果，提出了纖維接觸點(diǎn)數(shù)量與孔隙率的關(guān)系。

1 纖維間接觸點(diǎn)數(shù)量的理論模型

在研究纖維類多孔材料內(nèi)部纖維間接觸點(diǎn)數(shù)量的問題時(shí)，為簡化數(shù)學(xué)模型并在最大程度上體現(xiàn)物理過程，應(yīng)做如下研究假設(shè)：第一，所有纖維均為不可彎曲的圓柱體，直徑為D(μm)，長度為lf(μm)；第二，各纖維質(zhì)心在平面隨機(jī)分布；第三，當(dāng)纖維長度遠(yuǎn)大于其直徑時(shí)，忽略纖維各端點(diǎn)間的連接。

首先，建立笛卡爾坐標(biāo)系X、Y、Z表示纖維結(jié)構(gòu)，假設(shè)纖維M與Z軸夾角為θ，該纖維在X-Y平面的投影與X軸的夾角為φ，因此，多孔介質(zhì)中纖維取向角可用參量(θ,φ)表示，且0≤θ≤π, 0≤φ≤π，笛卡爾坐標(biāo)系如圖1所示。

圖1 纖維笛卡爾坐標(biāo)系Fig.1 Cartesian coordinate system and a fiber in system

在微小變化取向角θ～θ+dθ和φ～φ+dφ中，存在纖維的概率為Ω(θ,φ)sinθdθdφ，其中Ω(θ,φ)sinθ為纖維取向密度函數(shù)，且滿足歸一化條件[11]：

(1)

假設(shè)在多孔材料體積V中存在取向?yàn)?θ,φ)的纖維A和取向?yàn)?θ′,φ′)的纖維B，令纖維B的表面與纖維A表面接觸，固定纖維A并使纖維B沿其表面滑動(dòng)，再固定纖維B并使纖維A沿其表面滑動(dòng)，將移動(dòng)后形成的各端點(diǎn)依次連接后構(gòu)成高為2D，長為lf的空間平行六面體，如圖2所示。

圖2 纖維A與纖維B交替滑動(dòng)所構(gòu)成的平行六面體Fig.2 Parallel hexahedron formed by alternating sliding of fiber A and fiber B

則所構(gòu)成的平行六面體的體積Vfc為

(2)

式中，χ為纖維A與B間的夾角，也是所構(gòu)成菱形兩邊的夾角，(°)。該角度與纖維取向(θ,φ)的關(guān)系為

cosχ=cosθcosθ′+sinθsinθ′cos(φ-φ′)

(3)

顯然，當(dāng)取向?yàn)?θ′,φ′)纖維的質(zhì)心進(jìn)入?yún)^(qū)域Vfc中就必然和纖維A相接觸。設(shè)纖維多孔材料的體積為V，纖維A(θ,φ)與纖維B(θ′,φ′)的接觸概率為P1，即

(4)

當(dāng)2個(gè)纖維接觸時(shí)，其接觸部分長度為D/sinχ1，如圖3所示。

圖3 纖維交叉結(jié)構(gòu)Fig.3 Structure of fiber contact

由于纖維長度有限，故纖維間第2次可能接觸的實(shí)際長度范圍變?yōu)閘f-(D+D/sinχ1)，那么纖維A與其他任一纖維的第2次接觸概率為

(5)

由于纖維間接觸概率為獨(dú)立事件，因此,可推導(dǎo)出第i+1次纖維間接觸的概率為：

(6)

(7)

式中，M(θ,φ)為纖維取向角分布概率的均值。

設(shè)剩余N-1根纖維與纖維A(θ,φ)接觸點(diǎn)數(shù)量為n(θ,φ)，由于纖維間接觸點(diǎn)數(shù)量N>>1，故單根纖維接觸點(diǎn)數(shù)量的值可近似表示為

(8)

(9)

對(duì)式(6)求和可得到：

(10)

Φ(θ,φ)=〈sinχi〉=

(11)

根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)理論知，系數(shù)為bi的變量xi的混合平均值可表示為

〈bixi〉=〈bi〉〈xi〉

(12)

(13)

設(shè)n(θ,φ)足夠大，有n(θ,φ)+1→n(θ,φ)。聯(lián)立式(7)、(12)和(13)可得單根纖維接觸點(diǎn)數(shù)量為

(14)

式中，Vf=Vfc/V。對(duì)式(14)三維所有取向角積分可得到任意兩纖維間接觸點(diǎn)的平均值為

(15)

為使表示簡潔，令：

(16)

(17)

那么，在多孔材料體積V中所有纖維間接觸點(diǎn)的數(shù)量可表示為

(18)

2 纖維取向?qū)w維間接觸點(diǎn)數(shù)量影響

目前對(duì)纖維類多孔材料結(jié)構(gòu)研究的方法主要有斷層掃描技術(shù)[12]、冷場電鏡技術(shù)[13]以及數(shù)字圖像處理技術(shù)[14]，雖然這些技術(shù)能表征多孔材料內(nèi)部的虛擬結(jié)構(gòu)，但對(duì)纖維間的接觸規(guī)律的研究較少，本文研究使用Geo-Dict軟件構(gòu)建纖維類多孔介質(zhì)模型，通過設(shè)定纖維特殊取向，模擬并分析纖維間接觸點(diǎn)數(shù)量，同時(shí)與Wyk、Komori和Pellumb等的研究結(jié)果相比較。

Wyk[15]通過計(jì)算多孔材料內(nèi)纖維間的平均距離，得出三維隨機(jī)分布纖維間接觸點(diǎn)數(shù)量的理論值為

(19)

Komori等[9]在Wyk研究的基礎(chǔ)上，提出了纖維在三維(nk3-D)和二維(nk2-D)空間隨機(jī)分布的理論值分別為：

(20)

(21)

Pellumb根據(jù)多孔材料中電阻率的分布近似服從冪律函數(shù)[16]，得到纖維間接觸點(diǎn)的數(shù)量為

(22)

式中：S0為纖維間接觸面積，μm2；b為冪律指數(shù)，且根據(jù)實(shí)驗(yàn)擬合得出b=1.475。

2.1 纖維三維隨機(jī)分布

對(duì)于三維隨機(jī)分布的纖維結(jié)構(gòu)，取向分布參數(shù)θ和φ的取值對(duì)分布無影響，此時(shí)纖維分布的密度函數(shù)[17]為：

Ω(θ,φ)=Ω(θ′,φ′)=

(23)

sinχ(0,0;θ′,φ′)=[1-cos2θ′]1/2=sinθ′

(24)

將式(23)和(24)分別代入式(7)和(13)得到

(25)

(26)

將式(25)和(26)代入式(17)中有

(27)

將式(25)～(27)代入式(14)中可得到任一纖維接觸點(diǎn)的平均值

(28)

利用式(18)可計(jì)算出在體積V中纖維間接觸點(diǎn)的總數(shù)為

(29)

利用Geo-Dict軟件建立1 500 μm×1 500 μm×1 500 μm的計(jì)算域，并生成2種直徑和長度相同的纖維(D=10 μm,lf=500 μm)，分別以深灰和淺灰色表示，纖維在空間的隨機(jī)分布如圖4所示。在模擬過程中，通過設(shè)置不同的纖維數(shù)量構(gòu)造多孔材料內(nèi)部結(jié)構(gòu)，使用軟件中Mat-dict模塊分析結(jié)構(gòu)特征，并將理論與模擬值做出比較，結(jié)果如圖5所示。

圖4 三維隨機(jī)分布纖維結(jié)構(gòu)模擬Fig.4 Three-dimensional random distributionfiber structure simulation

圖5 纖維數(shù)量與纖維間接觸點(diǎn)數(shù)量的關(guān)系Fig.5 Relationship between number of fibers and fiber to fiber contact

從圖5可以看出，當(dāng)纖維長徑比不變時(shí)，纖維間接觸點(diǎn)數(shù)量隨纖維數(shù)量增加而增加，呈近似線性關(guān)系。當(dāng)纖維數(shù)量低于800根時(shí)，Komori和Pellumb理論值與本文研究結(jié)果相近，當(dāng)纖維數(shù)量增加后，各模型間的差異性明顯，但是可以明顯看出，Wyk模型的理論值均高于其他模型。隨著纖維數(shù)量增加，當(dāng)纖維數(shù)量大于1 000根時(shí)，本文研究的模擬值開始高于理論值，其主要原因是使用Geo-Dict軟件建模過程中，隨著纖維數(shù)量的增加，在計(jì)算域內(nèi)會(huì)形成不可避免的纖維間重疊，從而增加了纖維間接觸的數(shù)量。整體來看，模擬結(jié)果與理論值符合程度較高。

2.2 纖維二維隨機(jī)分布

當(dāng)纖維在二維平面隨機(jī)分布時(shí)，θ=π/2，0≤φ≤π，纖維取向密度函數(shù)可利用狄拉克函數(shù)變換得到：

(30)

同樣，由于纖維隨機(jī)排列，因此，取向角值的選取是任意的，可計(jì)算出：

(31)

(32)

(33)

(34)

將式(32)、(33)代入式(17)中可得：

(35)

那么，在體積V中所有纖維間接觸點(diǎn)的數(shù)量可表示為

(36)

同樣使用Geo-Dict軟件建模，令2種纖維在X-Y平面隨機(jī)分布，并以深灰和淺灰色區(qū)分2種纖維，模擬結(jié)構(gòu)如圖6所示，圖7示出纖維數(shù)量與纖維間接觸點(diǎn)數(shù)量關(guān)系。

圖6 X-Y平面隨機(jī)分布纖維結(jié)構(gòu)模擬Fig.6 Simulation of randomly distributed fiber structure in X-Y plane

圖7 纖維數(shù)量與纖維間接觸點(diǎn)數(shù)量關(guān)系(X-Y平面)Fig.7 Relationship between with number of fibers and fiber to fiber contact(X-Y plane)

從圖7可以看出，當(dāng)纖維數(shù)量低于1 000根時(shí)，理論值和模擬值近似，但隨著纖維數(shù)量增多，纖維在空間中的重合概率增加，導(dǎo)致本文模擬值偏高。而Komori的理論值均高于本文研究結(jié)果，其主要原因是在計(jì)算纖維接觸的概率時(shí)，前者沒有考慮纖維間接觸后不能再次接觸的問題，從而造成纖維可能會(huì)在相同位置形成接觸，而這種接觸在客觀環(huán)境下是無法產(chǎn)生的，因此，Komori的理論值要高于本文模擬結(jié)果。

3 纖維間接觸點(diǎn)數(shù)量與孔隙率的關(guān)系

對(duì)纖維質(zhì)多孔材料的幾何模型的研究主要以統(tǒng)計(jì)學(xué)理論為基礎(chǔ)[18-19]，認(rèn)為多孔材料內(nèi)部纖維分布規(guī)律為泊松過程，Sampson[20]指出，在邊長為x，高為2D的空間中纖維的數(shù)量與孔隙率的關(guān)系為

(37)

式中，ε為孔隙率。因Sampson研究的為單層纖維結(jié)構(gòu)，而實(shí)際工業(yè)生產(chǎn)中纖維質(zhì)多孔材料以多層為主，借鑒Kuwabara在研究流場分布與纖維排列問題上采用的Cell模型[21]，將Sampson的研究域作為代表性單元，則實(shí)際計(jì)算域體積V中應(yīng)包含纖維的數(shù)量為

(38)

式中，k=H/2D，H為材料厚度，μm。聯(lián)立式(8)和(14)可得到

(39)

將式(39)代入式(15)中可得

(40)

根據(jù)Kallmes等[22]的研究結(jié)果，二維平面隨機(jī)分布纖維接觸點(diǎn)數(shù)量與孔隙率的關(guān)系為

(41)

使用Geo-Dict軟件建立1 500 μm×1 500 μm×1 500 μm 的計(jì)算域，設(shè)置纖維長度為500 μm，直徑從5 μm遞增至25 μm，將不同孔隙率下所得軟件模擬數(shù)值與所研究的理論值和Kallmes模型比較，結(jié)果如圖8所示。

圖8 不同孔隙率纖維直徑與纖維間接觸點(diǎn)數(shù)量關(guān)系Fig.8 Relationship between with fiber diameter and fiber to fiber contact in different porosity

從圖8可以看出：當(dāng)孔隙率固定時(shí)，纖維直徑與纖維間接觸點(diǎn)數(shù)量呈近似反比關(guān)系，且隨著孔隙率的增加，纖維間接觸點(diǎn)數(shù)量明顯減少，當(dāng)纖維直徑超過40 μm后，接觸點(diǎn)數(shù)量近似相同；當(dāng)纖維直徑不變時(shí)，纖維間接觸點(diǎn)數(shù)量隨孔隙率的增加而減小。通過比較Kallmes和本文的理論發(fā)現(xiàn)，雖然二者間存在偏差，但當(dāng)孔隙率不變時(shí)，隨著纖維直徑增加，二者變化趨勢相同，而Geo-Dict軟件的模擬結(jié)果更加符合本文所提出的理論模型。

4 結(jié) 論

對(duì)纖維質(zhì)多孔材料的微觀結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行研究，建立了纖維間接觸點(diǎn)數(shù)量的理論模型，提出了有限接觸長度區(qū)域，分別推導(dǎo)出纖維在三維和二維分布情況下纖維間接觸點(diǎn)數(shù)量的理論模型；使用Geo-Dict軟件建立纖維模型，將三維和二維隨機(jī)分布纖維質(zhì)多孔材料內(nèi)部纖維間接觸點(diǎn)數(shù)量的理論值和其他學(xué)者的研究結(jié)果相比較，得出纖維數(shù)量與纖維間接觸點(diǎn)數(shù)量呈線性正比關(guān)系；根據(jù)Sampson等的研究結(jié)論，建立孔隙率與纖維間接觸點(diǎn)數(shù)量的關(guān)系，當(dāng)纖維在二維平面隨機(jī)分布情況下，纖維直徑與纖維間接觸點(diǎn)數(shù)量呈反比關(guān)系，且隨著孔隙率增加接觸點(diǎn)數(shù)量減少明顯。