關(guān)于偽Smarandache函數(shù)m次補(bǔ)數(shù)的一類均值

孫 忱，李江華

(西安理工大學(xué)理學(xué)院，陜西西安710054)

(1)

Z(n)的前幾項(xiàng)數(shù)值分別為Z(1)=1，Z(2)=3，Z(3)=2，Z(4)=7，Z(5)=4，Z(6)=3，Z(7)=6，Z(8)=15，Z(9)=8，Z(10)=4，Z(11)=10，Z(12)=8，Z(13)=12，Z(14)=7，…。

偽Smarandache函數(shù)是David Gorski教授首次提出來的[1]。同時(shí)也研究了Z(n)的許多初等性質(zhì)，并得到了一系列有意義的結(jié)果，例如：

1) 如果p≥3為一個(gè)素?cái)?shù)，則Z(p)=p-1;

2) 如果n=2k，則Z(n)=2k+1-1;

3) 假設(shè)p是一個(gè)奇素?cái)?shù)，則Z(2p)=p，如果p=3(mod4)；Z(2p)=p-1，如果p≡1(mod4)；

4) 對(duì)任意奇素?cái)?shù)p,p|n且n≠p,有Z(n)≥p-1。

關(guān)于Z(n)的算數(shù)性質(zhì)，許多學(xué)者也進(jìn)行了研究，獲得了不少有意義的結(jié)果。例如，冀永強(qiáng)[2]解決了Z(n)的上下界問題：

(2)

Lou[3]用初等和解析的方法證明了下面的結(jié)論：

(3)

與此對(duì)應(yīng)，所謂的Smarandache函數(shù)S(n)=min{k:n|k!}。Le[4]證明了如果n是一個(gè)完美數(shù)，則有如下等式成立：

S(n)=Z(n)

(4)

1)n=4p, 其中p≡1(mod8);

2)n=2kp(k>2), 其中p≡1(mod8)且p|(2k-2-1)。

文獻(xiàn)[6]研究了偽Smarandache函數(shù)的一個(gè)混合均值問題，并給出了漸近公式：

(5)

這里P(n)是n的最大素因子,ai為可計(jì)算的常數(shù)。

事實(shí)上,Z(n)與P(n)之間有著非常密切的關(guān)系。所以對(duì)Z(n)函數(shù)與其最大素因子P(n)的研究非常必要。

本文受文獻(xiàn)[7]的啟發(fā)將利用初等和解析的方法研究Z(n)及其最大素因子在m次冪補(bǔ)數(shù)am(n)上的均值分布性質(zhì)，并給出兩個(gè)較強(qiáng)的漸近公式。式中ζ(m)表示Riemann zeta函數(shù)。

定理1對(duì)任意實(shí)數(shù)x>1，任意正整數(shù)m，有漸近公式：

(6)

定理2對(duì)任意實(shí)數(shù)x≥3，任意正整數(shù)m，有漸近公式：

(7)

1 幾個(gè)引理

為了完成定理的證明，我們需要以下引理。

引理1[7]對(duì)任意素?cái)?shù)p≥3和任意k∈N,有Z(pk)=pk-1。

引理2設(shè)k≥2是給定的整數(shù)，那么對(duì)任意充分大的正整數(shù)n，有:

證明:

(8)

因此，根據(jù)Z(n)的初等性質(zhì)有：

Z(am(n))=Z(Pm-1(n))=Pm-1(n)-1

(9)

Z(am(n))=Z(Pm-1(n))=Pm-1(n)-1

(10)

引理3設(shè)m≥2是給定的整數(shù)，那么對(duì)任意實(shí)數(shù)x≥3有估計(jì)式：

(11)

證明:

根據(jù)Z(n)的初等性質(zhì)，可得Z(n)≤2n-1。則有：

(12)

引理4設(shè)p為素?cái)?shù)，其中k為正整數(shù)，則有估計(jì)式：

(13)

證明:

參閱文獻(xiàn)[8]。

2 定理的證明

這節(jié)將完成兩個(gè)定理的證明。

對(duì)任意正整數(shù)n>1，由Z(n)的初等性質(zhì)和集合A的定義，則有：

(14)

故由上述引理1得：

(15)

對(duì)于集合B，我們根據(jù)Z(n)的定義和引理2的1)，有：

(16)

由Abel求和公式[9]有：

(17)

其中π(x)為x的素因子的個(gè)數(shù)。ai(i=2,3,…,r)是可計(jì)算的常數(shù)。

根據(jù)式(16)～(17)，我們有：

(18)

綜上所述，結(jié)合式(14)～(18)有：

(19)

故定理1成立，接下來我們證明定理2。

Z(am(n))-Pm-1(n)+1=0。 故：

(20)

再根據(jù)引理3，可得：

(21)

對(duì)于情形a)和b)中的n,顯然，在這兩種情況下有Z(am(n))-Pm-1(n)+1=0。故這兩個(gè)和式分別為0。而對(duì)于c)中的n，當(dāng)m≥3時(shí)，有:

Z(am(n))=Pm-2(n)-1

則有：

(22)

故結(jié)合式(20)～(22)及引理4，有：

(23)

于是完成了定理2的證明。