一類具有脈沖擾動和飽和治愈率的媒介傳染病模型研究

董紅森，張素霞

(西安理工大學理學院，陜西西安710054)

一直以來，人們面臨著各種傳染病的威脅，這些傳染病一般都是通過細菌、病毒、真菌等引起的，直接感染動物或者人，被感染的動物或人在人與人、動物與動物或人與動物之間相互傳播。媒介傳染病是通過某種生物載體進行傳播的疾病，如以蚊子作為傳染媒介，常見的傳染病有登革熱、瘧疾和西尼羅河熱等。在這些疾病的傳播過程中，被感染的蚊子通過叮咬健康的宿主而將病毒傳染給人群，同時健康的蚊子在叮咬被感染的宿主時獲得病毒，如此交替循環從而引起此類媒介傳染病的傳播和蔓延。

傳染病動力學模型是研究疾病傳播規律的一種有效的方法。針對傳染病的特點利用數學模型對其傳播過程和傳播機理進行研究，以尋求合理高效的疾病管理方法和控制措施。在對媒介傳染病研究的過程中，一些學者通過建立不同形式的數學模型來描述疾病發生、發展及控制特點，取得了豐富的研究成果[1-4]。為了研究實施脈沖擾動對管理和控制疾病的影響，脈沖微分方程模型近來被廣泛利用，以更準確地描述疾病傳播和控制的客觀情況[1,4-6]。隨著現代醫學的發展，醫療技術和醫療水平有了長足的進步，人們對疾病的治療和管理水平也隨之得到顯著提高，其治療程度也被刻畫到傳染病動力學模型中[7-9]。本文將考慮對媒介實施脈沖控制并對宿主進行飽和治療的SIR-SI媒介傳染病模型，分析脈沖控制周期和強度以及飽和治愈率對模型動力學性態的影響。

1 模型建立

將宿主(人群)劃分為三個倉室：易感者類、染病者類和恢復者類，設SH(t)、IH(t)和RH(t)分別表示在t時刻宿主中易感者、染病者和恢復者的數量。將媒介(蚊子)劃分為兩個倉室：易感者類和染病者類，SM(t)和IM(t)分別表示t時刻媒介中易感蚊子和染病蚊子的數量，從而建立媒介傳染病模型：

(1)

由于蚊子相對于人的生存時間較短，這里不考慮蚊子的因病死亡，并假設模型中的參數都是非負的。

2 無病周期解的存在性與穩定性

當宿主和媒介中無病毒存在，考慮式(1)的無病子空間：

Xs={(SH,IH,RH,SM,IM):SH≥0,IH=0,RH=0,SM≥0,IM=0}

則有：

(2)

由于只對媒介實施脈沖控制，即式(2)中關于易感宿主的微分方程無脈沖擾動，則當t→，

(3)

計算易得該脈沖方程在時間段(nT,(n+1)T]內的周期解為：

由式(3)中第二個等式得：

即

并將變換代入式(1)，由線性近似可得脈沖微分方程組：

其中：

Q(t)=

為方便計算，令

其中：

其中ΦF-V(t)為x′(t)=(F-V)x(t)的基解矩陣。由于|μH|、|μM|都小于1，則譜半徑r(P1eUT)<1。

定義閾值：R0=r(P2ΦF-V(T))，R0表示一個感染者單位時間內傳染人數，或者表示一只感染蚊子單位時間內傳染蚊子的數量[12]。

3 疾病的持久性

定理2如果R0>1，疾病一致持久，即存在正整數η>0,使得：

(4)

考慮如下系統：

(5)

由比較定理[11]，存在t2>t1，ε2>0，對任意的t>t2有：

(6)

考慮系統：

(7)

式中u=(u1,u2)。式(7)的解可表示為u(t,nT,u(nT+))=ΦF-V(t-nT)u(nT+)，則u((n+1)T+)=PΦF-V(t-nT)u(nT+)。當R0>1時，隨著t→，u1→且u2→，則，

以下討論兩種可能情況：

情況一t足夠大時，Ii(t)>η，i=H,M；

情況二t足夠大時，Ii(t)值在η處波動，i=H,M。

從而得：

IH(t)≥IH(t1)e-(α1+μH+r+dH)(t-t1)≥

ηe-(α1+μH+r+dH)(t-t1)≥ηe-(α1+μH+r+dH)(n2-n1+1)T

對IM有：

IM(nT+)=(1-p)IM(nT),t=nT,n∈N

可得：

IM(t)≥η(1-p)n2-n1e-μM(t-t1)≥

η(1-p)n2-n1e-μM(n2-n1+1)T

令η1=min{ηe-(α1+μH+r+dH)(n2-n1+1)T,

η(1-p)n2-n1e-μM(n2-n1+1)T}，因為n2-n1>0，所以η1>0有界，于是當t∈[t1,t2]時，Ii(t)≥η1>0，i=H,M。當t>t2時，同樣存在非零的正整數η2，如此下去可得到序列{ηj}，j=1,2,…,k,…，其中：

ηk=min{ηe-(α1+μH+r+dH)(nk+1-nk+1)T,

η(1-p)nk+1-nke-μM(nk+1-nk+1)T}

4 數值模擬

為了進一步研究模型的動力學性態，在一定的參數取值下，主要以脈沖強度p和脈沖周期T為控制參數對系統的數值解、時間序列圖和分支圖分別進行數值模擬。

4.1 脈沖控制周期T的影響

模型中參數取值分別為：ΛM=1 300、ΛH=2.1、βM=0.16、βH=0.88、μM=0.029、μH=0.005、c=0.3、dH=0.08、r=0.005。式(1)的初始值分別取為：SH=100、IH=0、RH=500、SM=300、IM=10。在α1=6，α2=3以及α1=7，α2=4兩種不同飽和治愈率情況下，研究脈沖控制周期T對系統動力學性態的影響。圖1和圖2展示了當脈沖強度p=0.85且脈沖控制周期T在一定范圍內取值時，式(1)中各變量的變化情況。

在上述參數取值下，對比圖1和圖2可以看出，兩種不同飽和治愈率下模型出現不同的性態，并且兩種情況下系統都具有豐富的動力學行為。以圖2(b)為例，當p=0.85，α1=7，α2=4時，出現帶有周期窗口的混沌帶→倍周期分岔→周期吸引子→混沌→含有周期窗口的混沌帶→周期解分支。當參數T的取值在[40, 40.9]之間時，系統進入一個帶有周期窗口的混沌區域，特別是參數T的取值大于40.178時，混沌突然消失，出現一個周期窗口。參數T的取值增加到40.9時，因為系統周期解失去穩定性，系統進入到混沌狀態，當參數T的取值增加到43時，混沌突然消失，系統再次進入平衡狀態。同時由圖2(a)可以看到，隨著參數T取值的增加，易感人群的最大量是非單調變化的。圖3和圖4進一步給出了染病媒介和染病宿主的變化情況。由圖3(a)可以看出，當T=40.5時，IM隨時間呈現出3T周期變化，對應的圖3(b)呈現3T周期吸引子的分岔行為。同樣，由圖4 (a)可以看出，當T=40.5時，染病者IH隨時間也呈現周期變化，圖4(b)為對應的周期吸引子分岔行為。

圖1 當脈沖強度p=0.85，α1=6，α2=3，以脈沖周期為分支參數時式(1)中變量的分支圖Fig.1 Bifurcation diagrams of system (1) with respect to bifurcation parameter T when p=0.85, α1=6 and α2=3

圖2 當脈沖強度p=0.85，α1=7，α2=4，以脈沖周期為分支參數時式(1)中變量的分支圖Fig.2 Bifurcation diagrams of system (1) with respect to bifurcation parameter T when p=0.85, α1=7 and α2=4

圖3 脈沖周期T=40.5，式(1)中染病媒介IM的時間序列圖以及相應的解軌線Fig.3 When T=40.5, a numerical solution of system (1) about vectors as time tending to infinity and the corresponding trajectory

圖4 脈沖周期T=40.5，式(1)中染病宿主IH的時間序列圖以及相應的解軌線Fig.4 When T=40.5, a numerical solution of system (1) about infected hosts as time tending to infinity and the corresponding trajectory

4.2 脈沖強度p的影響

當參數與初值的選取與4.1中相同，同樣在α1=6，α2=3以及α1=7，α2=4兩種情況下研究脈沖強度p對系統動力學性態的影響。當脈沖控制周期T=45時，以p為分支參數，式(1)中各變量的動力學性態如5圖和圖6所示。

圖5 脈沖周期T=45，α1=6，α2=3時，以脈沖強度p為分支參數時式(1)中變量的分支圖Fig.5 Bifurcation diagrams of system (1) with respect to bifurcation parameter p when T=45, α1=6 and α2=3

圖6 脈沖周期T=45，α1=7，α2=4時，以脈沖強度p為分支參數時式(1)中變量的分支圖Fig.6 Bifurcation diagrams of system (1) with respect to bifurcation parameter p when T=45, α1=7 and α2=4

由圖5和圖6可以看出，兩種不同飽和治愈率下脈沖強度都對系統有重要的影響，出現了豐富的動力學性態。

以圖6(b)為例，當T=45，α1=7，α2=4時，出現周期分岔→帶有周期窗口的混沌帶→倍周期分岔→周期吸引子→混沌。當p的取值在[0.8, 0.880 4]之間時，系統一直處于周期分岔階段，當脈沖強度p的取值大于0.880 4時，系統進入混沌狀態。當脈沖強度p的取值在[0.880 4,0.92]之間時，系統進入了一個帶有周期窗口的混沌區域。當脈沖強度p的取值大于0.909 8時，混沌突然消失，出現一個周期窗口。

另外，由圖6(a)可以看出，隨著脈沖強度p取值的增加，易感人群的最大數量是非單調變化的。

圖7和圖8給出了p=0.91時染病媒介IM和染病宿主IH的變化情況，對應于圖6中兩個變量的分支圖。

由圖7(a)可以看出，當p=0.91時，IM隨著時間變化呈現出倍周期變化，對應的圖7(b)出現5T周期吸引子的分岔。

由圖8(a)可以看出，當p=0.91時，IH隨著時間變化呈現出倍周期變化，對應的圖8(b)呈現5T周期吸引子的分岔行為。脈沖強度p的取值增加到0.917 8時，因為系統周期解失去穩定性，系統又直接進入了混沌區域。

圖7 脈沖強度p=0.91時，式(1)中染病媒介IM的時間序列圖以及相應的解軌線Fig.7 When p=0.91, a numerical solution of system (1) about vectors as time tending to infinity and the corresponding trajectory

圖8 脈沖強度p=0.91時，式(1)中染病宿主IH的時間序列圖以及相應的解軌線Fig.8 When p=0.91, a numerical solution of system (1) about infected hosts as time tending to infinity and the corresponding trajectory

5 結 語

本文通過建立一個SIR-SI媒介傳染病模型，研究了固定時刻脈沖控制下系統的動力學性態。利用脈沖微分方程理論分析了模型無病周期解的存在性與穩定性，并定義出模型的閾值，即基本再生數，然后利用比較定理證明了當閾值大于1時疾病的一致持久性。同時，通過選取適當參數，對模型的動力學性態進行了數值模擬。主要以脈沖強度p和脈沖周期T為控制參數對系統的數值解、時間序列圖和分支圖分別進行了數值分析，同時也對比了不同飽和治愈率下系統各變量的分支變化情況。利用本文模型的理論和數值研究結果，可以為控制相關媒介傳染病的流行和傳播提供參考。