兩類阿貝爾Cayley圖上的完全狀態轉移

張愛仙，吉 喆

(西安理工大學理學院，陜西西安710054)

完全狀態轉移(以下簡稱PST)對連續時間的量子步有重要影響，從而它在量子信息傳輸中有重要的應用。Bose在[1]中引入了量子網絡中PST的概念，它是有限群的模擬。在2004-2005年，Christandel等[2]研究發現有兩個頂點以及三個頂點的路，以及它們的笛卡爾冪在任意兩個頂點之間有PST。Bernasconi等[3]得到有限個循環群Z2的直積上的gcd-圖存在PST。Godsil在[4-6]中回顧總結了直到2011年PST以及幾類圖上周期的研究進展及結果，并分析了PST與代數組合，結合方案[7]等數學分支之間密切的關系。

此外，對距離正則圖[7]，完全二分圖[7]，Hadamard可對角化圖[8]等圖上的PST和周期的研究取得了大量的研究成果。Basic[9]和Cheung-Godsil在[10]中給出了循環圖上(群G是循環群)存在PST的刻畫方式。譚瑩瑩，馮克勤[11]給出了任意有限阿貝爾群上連通簡單Cayley圖(簡稱為阿貝爾Cayley圖)上存在PST的刻畫方式。本文中的計算方法和計算技巧受到了文獻[12]中有限域上特征和理論的啟發。

令Γ=(V,E)是連通簡單圖，其中V，E分別是Γ的頂點和邊的集合，n=|V|≥2。A=A(Γ)=(αu,v)u,v∈V是Γ的鄰接矩陣，定義如下：

(1)

由線性代數可知，A是n×n對稱矩陣，且A的特征值均為實數，Γ的轉移矩陣是以下方式定義的n×n的酉陣：

(2)

式中：u,v∈V，t∈R。

當u,v∈V，|Hu,v(t)|=1，則稱Γ有在時刻t>0從u到v的完全狀態轉移(Perfect State Tranfer)，以下簡稱PST。此時也稱Γ在頂點u是周期的，周期為t。

1 預備知識

令G是有限阿貝爾群，|G|=n≥2，S是G的子集，|S|=d≥1。Cayley圖Γ=Cay(G,S)定義如下：

V=G(頂點的集合)

(3)

E={(u,v):u,v∈G,u-v∈S}(邊的集合)

(4)

假設0?S,-S=S(即Γ是簡單圖)，G=〈S〉(Γ是連通圖)。Γ的鄰接矩陣A=A(Γ)=(αg,h)g,h∈G，其中：

(5)

(6)

是A的特征值，且αχ為實數。

由有限阿貝爾群的結構定理可知，任意有限階阿貝爾群G都可以分解為有限個循環群的直和，設：

G?Zn1⊕Zn2⊕…⊕Znr(ni≥2)

(7)

其中Zni=(Z/niZ,+)。對每個x=(x1,x2,…,xr)∈G，其中xi∈Zni，有：

χx:G→〈ωe〉

(8)

(9)

引理1[11]令Γ=Cay(G,S)是阿貝爾簡單Cayley圖，n=|G|≥3。設Γ在頂點(g,h)之間有PST，則:

1)Γ是整圖，即對任意x∈G,αχx∈Z。

2) 如果α=g-h≠0，則α的階是2。

現在假設g,h∈G，α=g-h≠0。由引理1可知，如果Γ在g,h之間有PST，則對任意

下面介紹2-adic指數賦值v2的概念，v2是如下映射：

v2:Q→Z∪{}

(10)

1)v2(ββ′)=v2(β)+v2(β′)，

2)v2(β+β′)≥min(v2(β),v2(β′))，并且當v2(β)≠v2(β′)時，等號成立。

定理1[11]令Γ=Cay(G,S)是連通簡單阿貝爾Cayley圖，n=|G|≥3 ，d=|S|，則對g,h∈G，α=g-h≠0 ，Γ在g,h之間有PST當且僅當下列三個條件成立：

1)Γ是整圖；

2)α的階是2；

3) 對?x∈G0，v2(d-αχx)≥m+1；

對?x∈G1，v2(d-αχx)=m(m≥1)。

2 兩類有限阿貝爾Cayley圖上的PST

(11)

又有：

(12)

2.1 G=Z4⊕Z8上Cayley圖存在PST

設S是G的子集合，計算這些等價類上的特征，計算結果見表1.

表1 G=Z4⊕Z8等價類上的特征

取α=(0,4)是G中的二階元，很容易驗證：

(13)

(14)

((d-χ0(S)),(d-χ1(S)),…,(d-χ9(S)))=(0,8,16,8,8,8,4,12,12,4)

(15)

((d-χ10(S)),(d-χ11(S)),(d-χ12(S)),(d-χ13(S)))=(10,10,10,10)

(16)

從而有：

v2(d-χj(S))=1,(10≤j≤13)

(17)

v2(d-χj(S))≥2,(0≤j≤9)

(18)

滿足定理的條件，即Γ=Cay(G,S)中當g-h=α時，頂點g與h之間有PST。

2.2 G=Z8⊕Z8上Cayley圖存在PST

S0={(0,0)}，S1={(0,4)}，S2={(4,0)}，S3={(4,4)}，S4={(2,0),(6,0)}，S5={(0,2),(0,6)}，S6={(2,4),(6,4)}，S7={(4,2),(4,6)}，S8={(2,6),(6,2)}，S9={(2,2),(6,6)}，S10={(1,1),(3,3),(5,5),(7,7)}，S11={(1,3),(3,1),(5,7),(7,5)}，S12={(1,5),(3,7),(5,1),(7,3)}，S13={(1,7),(3,5),(5,3),(7,1)}，S14={(1,0),(3,0),(5,0),(7,0)}，S15={(1,2),(3,6),(5,2),(7,6)}，S16={(1,4),(3,4),(5,4),(7,4)}，S17={(1,6),(3,2),(5,6),(7,2)}，S18={(2,1),(6,3),(2,5),(6,7)}，S19={(2,3),(6,1),(2,7),(6,5)}，S20={(0,1),(0,3),(0,5),(0,7)}，S21={(4,1),(4,3),(4,5),(4,7)}。

取α=(4,4)是G中的二階元，則：

(19)

(20)

取S=S8∪S16∪S18，|S|=10，容易驗證〈S〉=G。由表2可知：

v2(d-χy(S))=1,y∈G1

(21)

v2(d-χx(S))≥2,x∈G0

(22)

從而滿足定理的條件， 即Γ=Cay(G,S)中當g-h=α時， 頂點g與h之間有PST。

表2 G=Z8⊕Z8等價類上的特征(只列出部分)

3 結 論

本文利用有限阿貝爾群的結構定理，群上的特征，p-adic指數賦值以及群上的等價類等抽象代數和代數數論的知識，綜合定理1給出的結果，通過計算得出了Z4⊕Z8，Z8⊕Z8上存在PST。