軸承供氣壓力對靜壓氣體軸承-轉子系統的臨界轉速影響的研究

韓中合，侯棟楠，趙建宏，朱霄珣

(華北電力大學 能源動力與機械工程學院，河北 保定 071003)

隨著氣體潤滑技術在20世紀中期迅速發展，氣體軸承作為該技術的核心產品被開發出來。氣體軸承與滾動軸承和液體滑動軸系相比具有高精度、高轉速、振動和噪聲小、壽命長和摩擦功耗小等優點，在高速旋轉機械上得到了廣泛應用[1]。同時氣體軸承存在著承載能力低，穩定性差等缺點。氣體軸承作為氣體軸承-轉子系統的支撐部分，直接影響轉子系統的動力學特性[2]。因此需要將氣體軸承和轉子耦合起來進行分析，考慮氣體軸承對整個系統的影響。

1886年,Reynolds推導出解決流體潤滑軸承理論計算的Reynolds方程，為解決流體潤滑問題奠定了理論基礎。隨著計算機技術的進步，通常采用數值計算求解Reynolds方程，得到氣體軸承的性能參數[3]。隨著計算流體力學(CFD)技術的發展，采用CFD軟件對氣體軸承內流場進行模擬，也可以得到氣體軸承的性能參數。對比采用有限差分法求解靜壓氣體Reynolds方程和采用CFD計算的結果，可知兩者具有較好的一致性[4]。同時利用CFD軟件對氣體軸承的性能進行計算，并根據計算結果研究氣體軸承-轉子系統的動力學特性，也能得到與試驗相對一致的結論[5]。在試驗中，發現通過升高軸承供氣壓力，能夠提高氣體軸承剛度，消除和抑制轉子低頻振動并增大氣體軸承-轉子系統的臨界轉速[6]。綜上所述，采用CFD和求解Reynolds方程的方法計算靜壓氣體軸承的性能，都能得到相對準確的結果。且氣體軸承的供氣壓力、軸頸轉速等因素都對氣體軸承-轉子系統的動力學特性產生影響。

采用CFD方法計算氣體軸承性能雖然較為精確，但使用CFD計算方法需要對不同工況下流場的邊界條件進行逐一設置并計算。在研究氣體軸承的性能對氣體軸承-轉子系統的動力學特性影響時，需要得到供氣壓力、轉速變化范圍內任意工況的氣體軸承的性能。而采用CFD計算方法對所需工況進行計算耗時漫長、效率較低，不利于為系統動力學研究提供支撐參數。

針對該問題本文提出了采用支持向量機回歸算法(SVR)建立氣體軸承性能函數，根據此函數對氣體軸承-轉子系統的臨界轉速計算方法。該方法只需對多個由CFD計算得到的氣體軸承的性能參數進行訓練，就能得到準確的氣體軸承性能函數，此函數能快速、準確地預測一定壓力、轉速范圍內任意工況下的軸承性能，利用該模型對供氣壓力變化時氣體軸承-轉子系統進行動力學分析，能夠得到和試驗接近的結果，為選擇合理的供氣方案提供參考。

1 基于fluent的靜壓氣體軸承性能計算

1.1 靜壓氣體軸承的結構尺寸

本文研究靜壓氣體軸承結構如圖1所示，結構參數如表1所示。

圖1 靜壓氣體軸承結構Fig.1 Static pressure gas bearing structure

1.2 模型的建立與假設

根據圖1與表1的結構尺寸，利用前處理軟件GAMBIT建立靜壓氣體軸承的流道模型(圖2)。

氣體軸承的供氣孔區是計算的關鍵部位，需要對其進行網格加密，因此將流場劃分為供氣孔區和無供氣孔區。在供氣孔區采用非結構化網格(圖3)，在無供氣孔區采用結構化網格。為提高流場計算精度，在氣膜的高度方向將網格分為10層。

對模型設置3類邊界條件：① 壓力入口，供氣壓力pin=0.25 MPa、0.35 MPa、0.45 MPa、0.6 MPa;② 壓力出口，兩側出氣口壓力等于大氣壓力，相對壓力pout=0 MPa;③ 旋轉面，選取軸頸狀態為靜止、10 000 r/min、20 000 r/min、…、60 000 r/min。

表1 靜壓氣體軸承結構參數Tab.1 Static pressure gas bearing structural parameters

圖2 氣體軸承網格劃分Fig.2 Mesh generation of gas bearings圖3 供氣孔區網格Fig.3 Air supply hole area grid

實際的靜壓氣體軸承流場較為復雜，所以在計算時做如下假設：① 軸承間隙內的氣體是理想氣體，氣體與壁面無熱量交換，即為絕熱過程;② 軸承與軸頸工作面為光滑曲面，氣膜厚度為常數，不考慮粗糙度對軸承特性的影響[7];③ 軸頸面沿y軸負方向偏移，且不考慮偏心角的影響。

本文采用Fluent軟件對流場數值仿真，選用基于壓力的隱式求解器。由于軸承氣膜中存在著不同尺度的漩渦[8]，因此采用湍流模型中的模型，該模型能夠較準確模擬軸承間隙內的流場[9]。選擇工質為空氣，方程采用SMPLE算法求解。

1.3 計算結果與試驗對比

采用與上一節相同的網格劃分、邊界條件和計算假設條件，建立文獻[10]中試驗所采用的氣體軸承流道模型，得到CFD計算與試驗結果如圖4所示。

結果表明，采用Fluent對氣體軸承的承載力計算的結果與實際較為吻合。隨著偏心率增大到0.6，仿真結果與試驗出現偏差。這是由于隨著偏心率的增大，氣體軸承一側間隙較小，實際流場和層流模型存在差異導致的。

根據文獻[11]，本文研究的氣體軸承-轉子系統中，轉子正常運行時的最大偏心率小于0.4，因此采用Fluent對氣體軸承的性能進行計算可以得到較準確結果。

圖4 仿真結果和實際對比Fig.4 Simulation results and the actual comparison

1.4 氣體軸承承載力計算

考慮到氣體的供氣壓力會對氣體軸承的剛度產生影響，設置0.25 MPa、0.35 MPa、0.45 MPa、0.55 MPa的供氣壓力。設軸頸沿y軸負方向偏移，偏心率為0～0.4。轉速設置為0～60 000 r/min。分別計算軸頸x、y方向上的合力。再由式(1)得到軸承的承載力

(1)

式中:f為承載力，fx為軸頸x方向上的合力，fy為軸頸y方向上的合力。

繪制不同供氣壓力下軸承承載力隨轉速和偏心率變化的曲線圖。(如圖5～圖8所示)。

圖5 0.25 MPa時軸承承載力Fig.5 Bearing capacity of bearing at 0.25 MPa

圖6 0.35 MPa時軸承承載力Fig.6 Bearing capacity of bearing at 0.35 MPa

圖7 0.45 MPa時軸承承載力Fig.7 Bearing capacity of bearing at 0.45 MPa

圖8 0.6 MPa時軸承承載力Fig.8 Bearing capacity of bearing at 0.6 MPa

分析承載力變化規律得到，相同的供氣壓力下，承載力隨著偏心率的增大近似線性增大。隨著轉速的升高，承載力也增大。在供氣壓力升高時，承載力和轉速與偏心率的變化規律不變，但承載力整體增大，這是由于供氣壓力升高，在相同的偏心率下氣膜兩側的壓差增大，產生的承載力也增大。

2 基于SVM的靜壓氣體軸承性能計算

支持向量機(Support Vector Machine,SVM)是一種分類算法，通過尋求結構化風險最小來提高學習機泛化能力，實現經驗風險和置信范圍的最小化，從而達到在樣本量較少的情況下，亦能獲得良好統計規律的目的[12]。通俗來講，它是一種二類分類模型，其基本模型定義為特征空間上的間隔最大的線性分類器，即支持向量機的學習策略便是間隔最大化，最終可轉化為一個凸二次規劃問題的求解。

2.1 氣體軸承承載力計算

對于本文模型，首先通過CFD計算，得到不同壓力p、轉速n、偏心率e下的軸承承載力，并將其作為SVM的訓練樣本集：T={(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)}，其中，x=(p，n，e)，y為承載力F限定回歸問題所需要尋找的函數f(x)為線性函數

y=f(x)=ωx+b

(2)

然后構造并求解最優化問題

(3)

(4)

(5)

式中：xi為樣本輸入；yi為樣本輸出；ω為權重向量；b為偏置項；C為懲罰系數；αi、αi*為拉格朗日乘子；ε為不敏感損失值。最后構造出最優線性回歸函數[13]。

在實際情況下對線性問題進行拓廣后可得到非線性情況下的回歸函數，其關鍵是引進核函數K(xi，xj)，把數據從低維空間映射到高維空間[14]，優化問題轉化為

(6)

最終可得到最優的非線性回歸函數。

在選取合適的懲罰系數以及核函數后利用訓練樣本建立支持向量機(SVM)預測模型[15]。模型建立好以后，利用預測模型分別預測已經輸入到SVM的訓練集數據和未輸入到SVM的數據。再利用CFD方法計算進行預測工況條件下的結果，并進行對比。結果見圖9、圖10。

圖9 SVM預測訓練集數據Fig.9 SVM Prediction of Training Set Data

圖10 SVM預測未輸入數據Fig.10 SVM prediction of not entered data

從圖9、圖10可以看出預測模型計算出的數據和輸入模型的已知數據以及未輸入模型的數據對比準確率都很高。根據計算，采用SVM預測訓練集的最大誤差為0.4%，預測未輸入到SVM的數據最大誤差為0.8%。該結果滿足對軸承性能計算的要求。

2.2 氣體軸承剛度計算

在圖1所示的靜壓氣體軸承中，轉子到受氣體軸承承載力實現無接觸懸浮，所以氣體軸承的剛度直接影響轉子的支撐剛度，為了方便計算轉子臨界轉速，氣體軸承-轉子系統的支撐剛度由式(7)得到[16]。

(7)

式中:k為系統支撐剛度，F為軸承承載力，h為軸頸偏移量。

通過CFD計算無法得到承載力F關于偏移量h的函數，而通過SVM建立的模型也難以直接進行求導。故在實際過程中采用差分代替微分計算支撐剛度k(如式(3))

(8)

當Δh值越小，式(8)的計算結果越接近與式(7)。但當Δh值過小時，會因承載力F的擬合誤差導致計算精度下降，因此本文選取Δh值為1 μm。

通過由SVM建立的模型，利用式(8)計算出轉子的剛度隨轉速偏心率、轉速、供氣壓力的變化規律如圖11～圖13所示。

根據圖11可得，在偏心率小于0.4的情況下，轉子的支撐剛度受偏心率的影響較小。

由圖12可得，當轉子的轉速小于30 000 r/min時，轉速對轉子的支撐剛度影響也很小，當轉速大于30 000 r/min時，隨著轉速升高轉子支撐剛度增大，而且供氣壓力越大，轉子支撐剛度受轉速影響越大。

由圖13可得，相對于偏心率、轉速，供氣壓力對轉子支撐剛度的影響最大。供氣壓力在0.25～0.55 MPa內轉子支撐剛度隨供氣壓力近似線性增大，當供氣壓力大于0.55 MPa后，轉子支撐剛度對供氣壓力不敏感。

圖11 60 000 r/min時轉子支撐剛度隨偏心率變化
Fig.11 Rotor support stiffness changes with eccentricity at 60 000 r/min

圖12 偏心率0.3時轉子支撐剛度隨轉速變化Fig.12 Rotor support stiffness changes with speed at eccentricity 0.3

圖13 偏心率0.3時轉子支撐剛度隨供氣壓力變化Fig.13 Rotor support stiffness changes with air supply pressure at eccentricity 0.3

3 供氣壓力對轉子臨界轉速的影響

3.1 模態分析的理論基礎

模態分析是求得系統的各階模態參數，對一個N自由度的線性振動系統，根據彈性力學有限元理論，得到其運動微分方程

(9)

在對系統進行模態分析時，若無外力作用設f(t)=0,得到系統的自由振動方程。同時在求解系統的固有頻率時，阻尼對氣體軸承影響不大，忽略阻尼對系統的影響得到

(10)

設式(10)的解為簡諧振動

x=X0sin(ωt+θ)

(11)

將式(11)代入得到

([K]-ω2[M])X0=0

(12)

式中:ω為轉子的固有頻率,X0為轉子的振幅矩陣。求解此方程即可得到轉子的固有頻率。

3.2 利用Ansys建立氣體軸承-轉子系統的模型

氣體軸承-轉子系統如圖14所示，主要包括1徑向氣體軸承；2止推軸承。長度L為582 mm，直徑D為50 mm。

圖14 氣體軸承-轉子結構Fig.14 Gas bearing-rotor structure

根據圖12所示的結構尺寸，利用ANSYS前處理器建立模型。定義單元的類型和材料屬性。選取solid185單元對主軸進行劃分，選用combin14彈簧單元對徑向氣體軸承進行模擬。其中combin14單元可以設置彈性剛度和阻尼系數，由于氣體軸承阻尼系數較小，所以忽略阻尼系數的影響，根據支持向量機計算的結果得到不同工況下combin14元的彈性剛度。本文不考慮止推軸承的性能對轉子固有頻率的影響，在止推盤處添加位移約束模擬止推軸承。

轉子的主體采用的材料為1Cr13結構，可以用于各種旋轉機械。其為密度7 850 kg/m3，彈性模量210 GPa。泊松比為0.3。為提高計算效率，在劃分網格時忽略倒角和圓角，并采用“自由”網格劃分方法對網格進行劃分。最終在Ansys中建立如圖15所示模型。

圖15 氣體軸承-轉子模型Fig.15 Gas bearing - rotor model

3.3 計算結果與分析

本文采用Block Lanczos法提取轉子前三階模態，并對轉子設置0、10 000、…、60 000 r/min的旋轉速度，根據計算的氣體軸承特性，設置不同轉速下combin14單元的剛度值。通過固有頻率和等速線的交點計算出轉子的臨界轉速。

通過改變氣體軸承的供氣壓力，設置不同工況下combin14單元的剛度值，分別計算出供氣壓力在0.25～0.6 MPa間變化時的轉子前三階臨界轉速。結果如圖16所示。

圖16 臨界轉速隨供氣壓力變化Fig.16 The critical speed varies with the supply pressure

根據文獻[5]中用相同轉子結構在供氣壓力0.6 MPa下試驗得到的轉子升速幅頻特性曲線，可知轉子一階臨界轉速在16 580～17 360 r/min，二階臨界轉速在23 400～24 300 r/min，三階臨界轉速發生在43 300 r/min之后。

本文通過計算得到在0.6 MPa供氣壓力下轉子一階臨界轉速18 130 r/min，二階臨界轉速24 102 r/min，三階臨界轉速50 273 r/min。計算結果和試驗數據間的存在差距，這可能是由于試驗采用的軸承和計算采用軸承結構存在的差異造成的。

計算結果表明，隨著供氣壓力的提高，轉子的一、二階臨界轉速發生升高，三階臨界轉速近似不變。同時當供氣壓力增大到0.5 MPa以上時，供氣壓力對臨界轉速的影響較小。

4 結 論

(1)本文利用CFD商業軟件Fluent建立靜壓氣體軸承流場模型，在相同供氣壓力下，軸承承載力隨偏心率增大近似線性增大，也隨轉速升高而增大；再供氣壓力增大情況下，承載力隨著轉速和偏心變化規律不變，但承載力整體增大。

(2)采用SVM對由CFD得到的氣體軸承性能數據進行訓練，得到的氣體軸承性能參數預測模型具有很高的精度，能夠滿足計算要求。

(3)利用SVM得到的模型進行計算，得到轉子支撐剛度隨偏心率、轉速、供氣壓力的變化規律，轉子支撐剛度在0.4偏心率以下變化較小，當轉速在30 000 r/min以下時變化較小，在30 000 r/min以上時轉子支撐剛度隨轉速升高而升高。當供氣壓力從0.25 MPa增大到0.5 MPa，轉子支撐剛度隨供氣壓力線性增大，當供氣壓力增大到0.5 MPa以上時，轉子支撐剛度受供氣壓力影響較小。

(4)利用ANSYS建立氣體軸承-轉子系統的有限元模型得到，當供氣壓力在0.25～6 MPa區間內升高，氣體軸承-轉子系統的一、二階臨界轉速增大，三階臨界轉速近似不變。研究結果表明通過改變供氣壓力能夠調節系統的臨界轉速，使系統的臨界轉速避開工作轉速。