振動響應傳遞率的動力學特性研究及其在工作模態分析中的應用

李星占，董興建，岳曉斌，黃 文，彭志科

(1.中國工程物理研究所 機械制造工藝研究所，四川 綿陽 621900；2.上海交通大學 機械系統與振動國家重點實驗室，上海 200240)

振動響應傳遞率是一種描述測點響應之間振動傳遞特性的物理參數，與結構的頻率響應函數一樣，振動響應傳遞率與結構的動力學特性緊密相關。基于振動傳遞率的動力學特性，近年來傳遞率已經在多個領域得到了廣泛的應用，如結構響應估計[1]、損傷檢測[2]、工作模態分析[3]、頻率響應函數的估計[4]、力辨識[5]和傳遞路徑分析[6]等。特別是在工作模態分析領域，基于振動響應傳遞率的工作模態分析方法得到了深入的研究和廣泛的應用。

Devriendt等[7-8]最早提出基于單參考點傳遞率的工作模態分析方法。這種方法依賴于傳遞率的動力學特性。在極點處，結構的傳遞率趨近于結構的振型比，且不受激勵位置和激勵類型的影響，兩個不同激勵狀態下的單參考點傳遞率的曲線在極點處交叉。通過對多次不同激勵下的傳遞率矩陣進行奇異值分解，即可辨識出結構的模態。之后，Devriendt等[9-10]又將這種方法推廣到基于多變量傳遞率和偽傳遞率的工作模態分析方法。結果證明，在多輸入的情況下，仍然可以利用振動響應傳遞率辨識結構的模態。基于傳遞率工作模態分析方法的根本在于極點處傳遞率對于輸入的獨立性。當輸入增加時，傳遞率在極點處的特性會發生變化。Weijtjens等[11-12]提出了一種針對多輸入對輸出系統的工作模態分析方法。該方法提出利用多參考點傳遞率，通過分析獲得一組與不同激勵狀態下多參考點傳遞率正交的向量，將系統極點的求解轉換為一個非線性特征值問題。采用多參考點復頻域最小二乘方法求解特征值，獲得系統極點的穩定圖。周思達等[13]提出了一種改進的基于多參考點響應傳遞率的僅輸出模態參數辨識方法，建立了傳遞率的左矩陣分式多項式的參數化模型，通過矩陣偽逆解決了之前方法中載荷工況數與響應點數和參考點數的約束問題。張永年等[14]利用兩種不同載荷情況下的傳遞率構造有理函數，通過有理分式Forsythe正交多項式法對其進行擬合，得到模態參數，并將該方法在機翼模型中得到了應用。

為更好的應用振動響應傳遞率進行工作模態分析，需要對振動響應傳遞率的概念和動力學特性進行研究。Lage等[15]從力傳遞率和響應傳遞率對比的角度出發，對傳遞率的概念進行了詳細的分析。張昱等[16]對多自由度系統中標量傳遞率的不變性進行了分析，證明在多激勵作用下多自由度系統中標量傳遞率在某些條件下具有不變性。

在以上研究的基礎上，本文對傳遞率的動力學特性進行了更加系統深入的分析。首先對振動響應傳遞率的概念進行了介紹；然后對傳遞率在不同輸入情況下在系統零極點處的特性和對系統輸入的依賴性進行解析推導分析；隨后通過數值算例對以上特性進行驗證，并最終將振動傳遞率應用于非白噪聲激勵下梁結構的工作模態參數辨識。

1 振動傳遞率的基本概念

對于一個多自由度的振動系統，其運動微分方程可以表示為

(1)

式中，M、C、K分別表示系統質量、阻尼和剛度矩陣，F(t)為Ni×1的系統輸入向量，x(t)為No×1的系統響應向量。

假定系統的初始位移和速度為零，對式(1)兩邊進行Laplace變換，轉換到頻域為

X(s)=H(s)F(s)

(2)

其中，H(s)=(Ms2+Cs+K)-1為傳遞函數。

按照公分母模型，傳遞函數可表示為

(3)

式中，B(s)為傳遞函數的公分母模型中的分子多項式，A(s)為分母多項式。任意輸入點i和輸出點o之間的傳遞函數Hoi(s)為

(4)

式中，φor為第r階模態向量，Lir為第r階模態參與因子。系統的極點可以通過A(s)的根求得，而結構的模態振型和模態參與因子可通過對留數矩陣進行奇異值分解得到。

已知系統Ni個激勵的載荷向量為F(s)，將系統所有的輸出分為兩類，一類為Nr個參考輸出xR(s)，其它(No-Nr)≥1個輸出為非參考輸出xL(s)。根據以上對傳遞函數的分析，建立輸出與輸入之間的關系式

(5)

式中，HL(s)為激勵到非參考輸出的(No-Nr)×Ni的傳遞函數矩陣，HR(s)為激勵到參考輸出的Nr×Ni的傳遞函數矩陣。定義參考輸出和非參考輸出之間振動傳遞率為

xL(s)=TLR(s)xR(s)

(6)

(1)Nr=1

系統中參考輸出的個數只有一個，式(6)簡化為單參考點的傳遞率

(7)

單參考點傳遞率可由頻域響應的比值直接獲得。

(2)Nr≥2

系統中參考輸出有多個，式(6)表示多參考點的傳遞率。由式(5)，消除外載荷向量，建立參考輸出和非參考輸出之間的關系式

(8)

其中，(·)+表示矩陣的偽逆。

結合式(5)和(8)，定義多參考點的傳遞率為

(9)

如果Nr

2 振動傳遞率的特性研究

2.1 輸入的分類

在對傳遞率的性質進行研究之前，首先需要對系統的輸入進行分類。根據各輸入之間是否相關，可以將輸入的類型分為離散輸入和分布式輸入。離散輸入的激勵位置與激勵之間一一對應，不同激勵位置之間的激勵不相關。此時，激勵的個數Ni與激勵源的個數Ns相同，載荷向量可以表示為

(10)

分布式輸入的不同激勵之間空間相關，同一激勵位置可能對應多個激勵，因此，激勵的個數Ni要大于激勵源Ns的個數。此時，載荷向量可以表示為不相關激勵源線性組合的形式

(11)

式中，Fi表示第i個激勵源對應的空間分布向量，μi(s)表示第i個激勵源的激勵譜值，Fμ表示激勵的空間分布矩陣，μ(s)表示激勵譜矩陣。

圖1給出了包含兩個激勵源的離散輸入和分布式輸入的激勵分布示例。可以看出，分布式輸入是離散輸入的廣義推廣。當分布式輸入每一個Fi中只含有一個非零元素時，各個激勵之間不存在空間相關性時，分布式輸入蛻化為簡單的離散輸入。

圖1 離散輸入(左)與分布式輸入(右)Fig.1 Discrete inputs (left)and distributed inputs (right)

2.2 對輸入和系統零極點的依賴性

由式(9)所示，傳遞率定義為參考輸出和非參考輸出的之間的關系。響應是激勵作用在系統上的結果，由激勵和傳遞函數獲得，而傳遞函數包含了系統的動力學特性。基于此，研究在不同的輸入情況下激勵和系統動力學特性對傳遞率的影響。

2.2.1Nr=1，Ni=Ns=1

考慮單參考點振動傳遞率在單個離散輸入下的情況。假設在k點處激勵系統，激勵力為Fk(s)。由式(3)和(7)，任意一個非參考輸出點與參考輸出點之間的振動傳遞率為

(12)

式中，A(s)的根為系統的極點，B(s)的根為系統的零點。傳遞率在運算的過程中消掉了系統的極點，而傳遞函數HRk(s)的零點成為傳遞率的極點。

由式(12)可知，此時傳遞率獨立于系統的輸入幅值和系統的極點，受系統零點和激勵位置的影響，傳遞率的極點與系統的極點不重合。

2.2.2Nr=1，Ni=Ns≥2

考慮單參考點振動傳遞率在多個離散輸入下的情況。為方便推導，以Ni=Ns=2為例進行證明。假設在k、l兩點分別受到激勵Fk(s)和Fl(s)，由式(7)，任意一個非參考輸出點與參考輸出點之間的振動傳遞率為

(13)

此時，激勵Fk(s)和Fl(s)不能直接消掉。將輸出點的響應表達為矩陣形式

(14)

對式(14)中的矩陣求逆，消掉激勵力矩陣，此時傳遞率表示為

(15)

進一步，將式(3)中傳遞函數的公分母模型代入式(15)，可得

(16)

由式(16)可知，對于多個離散輸入情況，傳遞率同樣不受系統輸入幅值的影響，獨立于系統的極點，與系統的零點相關。

2.2.3Nr=1，Ni≥2，Ns=1

考慮單參考點振動傳遞率在單個分布式輸入下的情況。假設系統受到單個分布式激勵Fk(s)，作用在Ni≥2個點上，由式(11)

(17)

由式(7)，任意一個非參考輸出點與參考輸出點之間的振動傳遞率為

(18)

分布式輸入中，Fμ表示激勵源對應的空間分布向量，決定了各點激勵的幅值和位置的關系，μi(s)表示激勵源的激勵譜值。對式(18)進行運算，并代入公分母模型

(19)

從式(19)可以看出，單個分布式輸入下的單參考點傳遞率獨立于系統的極點，與系統的零點有關；獨立于激勵內部的相關性，與激勵的位置有關。

2.2.4Nr≥2，Ni≥2，Ns≥2

考慮多參考點振動傳遞率在多個分布式輸入下的情況。此時，由式(5)和(11)，系統的響應可以表示為

(20)

假設HR(s)F可逆，消掉μ(s)，式(20)可以轉化為

xL(s)=HL(s)Fμ(HR(s)Fμ)-1xR(s)

(21)

由此，根據式(9)傳遞率的定義，可得

TLR(s)=HL(s)Fμ(HR(s)Fμ)-1

(22)

同樣，將式(3)中傳遞函數的公分母模型代入，可得

TLR(s)=BL(s)Fμ(BR(s)Fμ)-1

(23)

由式(22)和(23)可知，當HR(s)F可逆時，多個分布式輸入下的多參考點傳遞率獨立于系統的極點，與系統的零點有關；獨立于激勵內部的相關性，與激勵的位置有關。在考慮多參考點振動傳遞率時，需要首先判斷互不相關的輸入的個數Ns，然后據此選擇參考點的個數Nr，使得HR(s)F可逆，才能使傳遞率獨立于輸入譜μ(s)。

由以上四種情況下的討論，可以得出以下結論:①振動傳遞率獨立于系統本身的極點，與系統的零點相關；②在離散輸入情況下，振動傳遞率獨立于系統的輸入幅值；在分布式輸入情況下，當HR(s)F矩陣可逆時，振動傳遞率受到系統輸入位置的影響，獨立于系統的輸入譜。

2.3 在系統極點處的特性

由2.2節的分析可知，振動傳遞率的極點與系統的極點不重合，不能直接用振動傳遞率幅值的峰值估計系統的極點。本節將對傳遞率在系統極點處的特性進行研究。

2.3.1Nr=1，Ni=Ns=1

首先，對最簡單的單參考點振動傳遞率在單個離散輸入下的情況進行研究。由式(12)可知，此時兩點之間的傳遞率取決于系統的傳遞函數，將式(4)代入，可得

(24)

當趨近于系統某一階模態時，s趨近于此階的系統極點λm，式(24)轉化為

(25)

由上式可知，振動傳遞率在系統極點處收斂于系統的模態向量的比值，且不受激勵位置和激勵幅值的影響。

2.3.2Nr=1，Ni=Ns≥2

考慮單參考點振動傳遞率在多個離散輸入下的情況。以Ni=Ns=2為例進行證明。由式(13)可得

(26)

當趨近于系統某一階模態時，s趨近于此階的系統極點λm，式(26)轉化為

(27)

由上式可知，在多個離散輸入下，單參考點振動傳遞率在系統極點處仍收斂于系統模態向量的比值。

2.3.3Nr=1，Ni≥2，Ns=1

考慮單參考點振動傳遞率在單個分布式輸入下的情況。由式(5)和(17)

(28)

當趨近于系統某一階模態時，s趨近于此階的系統極點λm，式(28)可以轉化為

(29)

將式(4)代入，可得

(30)

(31)

由式(31)，在單個分布式輸入下，單參考點振動傳遞率在系統極點處仍收斂于系統的模態向量的比值。

2.3.4Nr≥2，Ni≥2，Ns≥2

考慮多參考點振動傳遞率在多個分布式輸入下的情況。將式(5)和(11)代入式(8)

TLR(s)=HL(s)Fμμ(s)[HR(s)Fμμ(s)]-1

(32)

TLR(s)是一個(No-Nr)×Nr的矩陣，當s趨近于此階的系統極點λm時，傳遞率在系統的極點處不再趨近于模態向量的比值。因此，需要建立一種多維的矩陣運算去研究傳遞率在極點處的特性。

對于式(6)，當s趨近于此階的系統極點λm時

(33)

將模態模型式(4)代入，可得

ΦLm=TLR(λm)ΦRm

(34)

由上式可知，在系統的極點處，傳遞率將參考輸出的模態振型與非參考輸出的模態振型聯系在一起。將上式進行變換

(35)

?l=1,2,…,Nl

(36)

其中

(37)

對于Nl個不同的激勵狀態，可以組成矩陣形式

(38)

由此，可以將極點λm和模態振型向量Φm的求解轉換為式(38)的非線性特征值的求解問題。在系統的極點處，傳遞率將參考輸出的模態振型與非參考輸出的模態振型聯系在一起，因而可以利用此特性重新構建傳遞率與系統的模態參數之間的關系，實現系統模態參數的辨識。

由以上四種情況下的討論，可以得出以下結論:①單參考點傳遞率在系統極點處趨近于該階模態向量的比值；②多參考點傳遞率在系統極點處不趨近于模態向量的比值，需要重新構造傳遞率矩陣與模態向量矩陣的正交關系，實現系統模態參數的辨識。

3 數值驗證

基于圖2所示的4自由度的彈簧-阻尼-質量系統對傳遞率的特性進行驗證。

圖2 四自由度系統Fig.2 Four DOFs system

四自由度系統中，m=1 kg，k=1 000 N/m，c=0.5 N/(m/s)，采用Newmark方法計算梁的響應，系統的固有頻率分別為3.11、5.92、8.14、9.57 Hz。

首先考慮不同輸入下的單參考點傳遞率。圖3(a)為單個離散輸入情況下單參考點的傳遞率。深色和淺色的曲線分別表示系統在第1和第2點受到白噪聲激勵下的傳遞率T12。由圖中可知，傳遞率連續光滑，表示其獨立于系統的輸入；傳遞率的峰值與系統的極點不重合，表示其獨立于系統的極點。兩種不同激勵位置下的傳遞率相交于系統的極點，但交點的個數多余實際的系統極點。在系統辨識時，可通過增加激勵狀態或求解奇異值的方法剔除多余的計算極點。

依次對圖3(b)中多個離散輸入，圖3(c)中單個分布式輸入，圖3(d)中多個分布式輸入下單參考點的傳遞率分析，可以得出單參考點傳遞率在任意輸入形式下都相交于系統的極點，但交點的個數可能多于極點數；除多分布輸入外，其它輸入下的單參考點傳遞率獨立于系統的輸入。

圖3 不同輸入情況下的單參考點傳遞率及其與系統極點(虛線)的關系

Fig.3 Transmissibility under different input and the system poles (dotted line)

為進一步驗證傳遞率對輸入的獨立性，計算有色噪聲激勵下系統的傳遞率。圖4為系統在包含有單個有色噪聲輸入下的響應頻譜。有色噪聲中包含頻率為4 Hz的信號分量，在其激勵下，系統的響應中4 Hz信號分量的幅值大于第二、三、四階固有頻率的幅值。計算在此激勵下的單參考點傳遞率，圖5所示為在點1和2兩個位置激勵下傳遞率T12的曲線。可以看出，最終獲得的傳遞率不受有色噪聲成分的影響，且仍相交于系統的極點。

圖4 有色噪聲激勵下響應的頻譜圖Fig.4 Spectrum of response under colored noise excitation

為驗證多參考點傳遞率的特性，計算在多個分布式輸入下的多參考點傳遞率。圖6為系統在兩個分布式輸入下的多參考點傳遞率。選取1和2為參考點，3和4點即為非參考點，采用H1估計方法計算兩參考點的傳遞率。由圖6可知，計算獲得的多參考點傳遞率連續光滑，表明此時其獨立于系統的輸入。但多參考點傳遞率的交點與系統的極點不再重合，因此無法直接通過不同輸入情況下的傳遞率相交獲得系統的極點，且傳遞率的峰值與系統的極點也不重合。

圖5 單個有色噪聲輸入下的單參考點傳遞率:Nr=1,Ni=Ns=1Fig.5 Single reference trans-missibility under single colored noise input: Nr=1,Ni=Ns=1圖6 兩個分布式輸入下的多參考點傳遞率:Nr=2,Ni=3,Ns=2Fig.6 Multiple reference trans-missibility under two distributed inputs: Nr=2,Ni=3,Ns=2

4 在梁結構中的應用

在以上對振動傳遞率特性研究和分析的基礎上，應用振動傳遞率對梁結構進行工作模態分析。圖7所示為梁結構的工作模態實驗裝置。使用兩個由彈性繩懸吊的激振器對兩端固支的梁結構進行激勵，7個加速度傳感器均布在固支梁上。由信號發生器產生激勵信號，通過兩個功率放大器分別驅動兩個激振器；由LMS數據采集前端采集產生的加速度信號，通過測試軟件LMS Test.Lab獲得時域響應信號。

圖7 梁結構工作模態實驗Fig.7 Operational modal analysis of beam structures

為驗證振動傳遞率的特性，選擇兩種不同的激勵信號，第一種情況下采用白噪聲激勵，第二種情況下采用有色噪聲激勵。每種激勵情況下，考慮兩種不同的激勵狀態，第一種激勵狀態下，只開啟圖7中左邊的激振器；第二種激勵狀態下，只開啟右邊的激振器。采樣頻率為2 048 Hz，采樣時間為50 s。

圖8所示為在白噪聲激勵情況下，第4個傳感器測試獲得加速度響應的頻譜圖。可以看出，在1 000 Hz內，梁結構的響應譜中清晰可見有5個峰值。估算響應的振動傳遞率，如圖9顯示的是第3個和第4個響應之間的傳遞率T34在兩次不同激勵狀態下的曲線，虛線表示梁結構的前五階實驗模態頻率。可以看出，曲線光滑，表明沒有受到輸入幅值的影響；兩條曲線在每一階模態頻率處存在交點，表明此時不同的輸入下單參考點振動傳遞率在系統極點處都收斂于模態向量的比值；除了極點處之外，兩條曲線還存在冗余的交點，表明僅依靠兩條曲線進行模態參數辨識會產生虛假模態。

圖8 梁結構在白噪聲激勵下響應的頻譜圖Fig.8 Spectrum of response of beam under white noise excitation

為提高辨識的準確度，采用Devriendt等提出的方法構建基于單參考點傳遞率的偽逆矩陣。首先，基于多次激勵的響應，構建矩陣如下

(39)

式中，Nl表示激勵的次數，k為矩陣的參考點。經證明，該矩陣的偽逆矩陣的極點與系統的極點一致，因此，通過對該矩陣進行奇異值分解，由矩陣的奇異值即可指示系統的極點。

圖10所示為白噪聲激勵下梁結構的系統極點指示圖。由于有兩次激勵，獲得矩陣的奇異值曲線有兩條，其中數值最大的第一條奇異值曲線指示出梁結構的工作模態頻率。可以看出，此時辨識出在該頻率內結構存在5階固有頻率，與實驗模態分析的結果一致。

圖9 不同激勵點白噪聲輸入下的單參考點傳遞率T34Fig.9 Single reference trans-missibility T34 under different white noise input圖10 白噪聲激勵下梁結構的極點指示圖Fig.10 Poles indicator of beam structure under white noise input

在第二種情況下，采用有色噪聲激勵梁結構。激勵信號中帶有60 Hz的諧波信號，在圖11所示的響應譜圖中可以看出，響應中存在60 Hz和960 Hz兩個比較明顯的諧波成分。估算響應的振動傳遞率，圖12顯示的是傳遞率T34的曲線。可以看出，此時傳遞率曲線依舊光滑，相交于系統的極點，且存在冗余的交點。

圖11 梁結構在有色噪聲激勵下響應的頻譜圖Fig.11 Spectrum of response of beam under colored noise excitation

同樣對響應進行工作模態參數辨識，圖13顯示的是系統極點的指示圖，可以看出此時的辨識結果沒有受到有色噪聲成分的影響，辨識結果仍然只有五個峰值。表1對實驗模態分析和兩次不同輸入情況下的工作模態分析辨識的模態頻率進行了對比，結果表明兩次工作模態分析的模態頻率辨識結果非常準確。表2對實驗模態分析和兩次工作模態分析辨識的模態阻尼進行了的對比。首先，工作模態分析無法建立頻響函數，模態阻尼的辨識不夠精確；其次，實驗模態分析中錘擊時激振器靜止懸吊，而工作模態分析時激振器發生振動，兩種情況下系統的剛度和阻尼發生變化，且阻尼受到的影響更大，導致阻尼辨識結果存在差異。表3和表4分別展示了兩次工作模態分析獲得的模態振型，并對實驗模態分析和工作模態分析辨識的振型進行了對比，由振型的MAC值可以看出，兩次工作模態分析中振型的辨識結果都非常準確。

圖12 不同激勵點有色噪聲輸入下的單參考點傳遞率T34Fig.12 Single reference transmissibility T34 under dif-ferent colored noise input圖13 有色噪聲激勵下梁結構的極點指示圖Fig.13 Poles indicator of beam structure under colored noise input

表1 模態頻率辨識結果對比Tab.1 Comparison of natural frequencies using different methods

表2 模態阻尼辨識結果對比Tab.2 Comparison of modal damping using different methods

表3 白噪聲激勵下的模態振型及與實驗模態振型的對比Tab.3 Comparison of modal shape between EMA and white noise excited OMA

模態1模態2模態3模態4模態5MAC=1.00MAC=1.00MAC=0.98MAC=0.99MAC=1.001.000 02.975 34.533 54.821 04.049 02.496 00.827 41.000 02.152 11.735 00.069 9-1.542 8-2.053 4-0.965 61.000 01.076 0-0.681 4-1.517 4-0.439 81.211 50.933 31.000 01.015 3-0.703 2-1.402 5-0.264 61.148 30.881 51.000 0-0.076 8-1.541 80.261 41.412 5-0.923 0-1.815 4

表4 有色噪聲激勵下的模態振型及與實驗模態振型的對比Tab.4 Comparison of modal shape between EMA and colored noise excited OMA

模態1模態2模態3模態4模態5MAC=1.00MAC=1.00MAC=0.96MAC=0.99MAC=1.001.000 02.974 64.533 54.821 24.049 02.485 10.815 11.000 02.150 01.740 00.069 9-1.542 2-2.051 2-0.963 91.000 01.078 8-0.681 4-1.516 4-0.439 11.211 00.933 31.000 01.015 3-0.703 2-1.401 9-0.267 01.147 90.880 91.000 0-0.076 9-1.540 80.260 91.412 0-0.922 4-1.816 5

在傳統的工作模態分析中，通常需要額外的方法剔除辨識結果中的諧波模態[17]。實驗結果表明單參考傳遞率沒有受到輸入成分的影響，可以很好的解決諧波模態對工作模態辨識結果的影響。

5 結 論

從系統研究振動響應傳遞率動力學特性的角度出發，本文對振動傳遞率的定義進行了詳細的推導，介紹了單參考點振動傳遞率和多參考振動傳遞率的概念；對系統的輸入類型進行了分類，研究了在不同輸入類型、輸入個數下振動傳遞率對輸入和零極點的依賴性，以及在極點處的特性；通過數值仿真對解析推導獲得特性進行分析驗證，并將其應用在梁結構的工作模態辨識中。結論如下：

(1)在離散輸入情況下，單參考點振動傳遞率獨立于系統的輸入幅值；在分布式輸入情況下，振動傳遞率受到系統輸入位置的影響，在一定條件下，可獨立于系統的輸入譜。

(2)單參考點傳遞率在系統極點處趨近于該階模態向量的比值；多參考點傳遞率在系統極點處不趨近于模態向量的比值，需要重新構造傳遞率矩陣與模態向量矩陣的正交關系，實現系統模態參數的辨識。

(3)數值仿真和實驗應用的結果顯示，基于振動傳遞率的工作模態辨識方法無需其它附加的模態驗證算法，本質上即可避免系統輸入中諧波成分的影響，剔除虛假模態，提高辨識結果的準確性，獲得非白噪聲激勵下結構的模態參數，但目前該方法需測得多個不同激勵狀態下結構的響應，在實際工程應用中受到了一定的限制。