理解本質 抓住特征 厘清關系

吳玲芳

我們學習了與圓有關的一些概念以及圓的性質，并運用這些知識解決問題，在此過程中，容易混淆一些概念和知識點，在解題時也較容易出錯。我們要理解它們的本質，并理清部分知識之間的區別和聯系，為正確解答、靈活運用做好準備。

一、易混概念剖析

1.圓的定義。

圓的描述性定義：在平面內，把線段OP繞著端點O旋轉1周，端點P運動所形成的圖形叫做圓?！霸谄矫鎯取辈荒苈駝t，旋轉1周后的圖形不一定是圓。

2.同圓、等圓與同心圓。

同圓指的是同一個圓，而等圓、同心圓都是指兩個圓。等圓是指半徑相等、圓心不同的兩個圓；同心圓指的是圓心相同、半徑不同的兩個圓。

3.等弧與同弧。

等弧指的是能夠重合的弧，同弧指的是同一條弧。等弧只能出現在同圓或等圓中，它們所對的圓心角的度數相等，并且弧長也相等。

4.弦與弧。

連接圓上任意兩點的線段叫做弦，弦是直的。圓上任意兩點之間的部分叫做圓弧，簡稱弧，弧是圓的一部分，是曲線。

5.等圓與等弧。

它們的共同特征是“能夠互相重合”，它們都是指兩個圖形。圓是封閉的曲線，弧是圓的一部分。

6.直徑與弦。

直徑是經過圓心的弦，是特殊的弦，是圓中最長的弦。但弦不一定是直徑。

7.優弧、劣弧與半圓。

圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每條弧都叫做半圓，所以半圓是特殊的弧。大于半圓的弧叫做優弧，小于半圓的弧叫做劣弧。優弧用三個字母表示，例如︵CED。劣弧用兩個字母表示，例如︵BC。半圓既不是優弧，也不是劣弧。

8.圓心與圓周角。

頂點在圓心的角叫做圓心角。頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角。二者的差別：圓周角必須滿足兩個條件，僅有“頂點在圓上”，不能構成圓周角。

9.外接圓、內切圓、內接三角形與外切三角形。

“接”說明圓經過三角形的三個頂點，“切”說明圓與三角形的各邊相切?！皟取焙汀巴狻笔窍鄬Φ?，以一個圖形為標準，說明另一個圖形在它的里面或外面?！皥A的內接三角形”是以圓為標準，三角形在它的里面；“三角形的外接圓”是以三角形為標準，圓在它的外面；“三角形的內切圓”是以三角形為標準，圓在它的里面；“圓的外切三角形”是以圓為標準，三角形在它的外面。

10.內心、外心與重心。

三角形的內心是內切圓的圓心，是三邊垂直平分線的交點，到三個頂點的距離相等。三角形的外心是外接圓的圓心，是三角形角平分線的交點，到三邊的距離相等。三角形的重心是三條中線的交點，把每一條中線分成2∶1的兩部分。

11.切線與切線長。

切線是一條直線，與已知圓只有一個公共點。切線長指的是切線上的一條特殊線段的長度：在經過圓外一點的切線上，該點與切點之間的線段的長，叫做該點到圓的切線的長。如圖1，直線PA和直線PB是⊙O的切線，PA=PB，這兩條線段的長就是P點到⊙O的切線長。

圖1

12.正多邊形、中心與半徑。

各邊相等、各角也相等的多邊形叫做正多邊形。僅有各邊相等或各角相等，不能判別正多邊形。例如，矩形的各角相等，由于各邊不一定相等，所以不是正四邊形；菱形的各邊相等，但因為各角不一定相等，所以不是正四邊形。正多邊形的外接圓的圓心叫做正多邊形的中心，外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑。不僅圓有半徑，正多邊形也有半徑。

二、易錯點剖析

1.圓的對稱性。

在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弦、兩條弧中有一組量相等，那么這組量所對應的其余各組量都分別相等。這里一定要有前提“同圓或等圓”，否則結論不一定成立。例如，圖2中，在兩個同心圓中，AB=EF，但是弧AB≠弧EF，∠AOB≠∠EOF；在這兩個同心圓中，∠DOC=∠GOH，但是 CD≠GH，弧 CD≠弧GH。已知兩條弧相等，則其他兩組量一定相等，因為等弧只能出現在同圓或等圓中。

圖2

2.垂徑定理。

垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧。但是若一條弦被直徑平分，那么它與直徑不一定垂直。從一般情形來看，如圖3，當弦CD被直徑AB平分時，可利用OD=OC，根據等腰三角形的三線合一，推得弦CD與直徑AB垂直。但是在特殊情形下（圖4），這條弦CD是特殊的弦——直徑時，由于任意兩條直徑一定互相平分，所以，它們不一定垂直。

圖3

3.確定圓的條件。

過一點有無數個圓；經過兩點有無數個圓，圓心在兩點連線的垂直平分線上；不共線的三點確定一個圓，前提是“三點不在同一條直線上”。

4.圓周角定理。

同弧或等弧所對的圓周角相等。該定理的逆命題是：如果在同圓或等圓中，兩個圓周角相等，那么這兩個圓周角所對的弧也相等或相同。該逆命題是真命題，但是不能直接運用。在解題時，可以通過圓心角轉化，或者先說明圓周角的度數是所對弧的度數的一半。

例1 在⊙O中，A、B、C、D都在圓上，已知AC平分∠BAD，求證BC=DC。

【解析】本題考查圓周角定理、圓的對稱性。

法一：如圖5，因為AC平分∠BAD，所以∠1=∠2。由于“圓周角的度數等于它所對弧上的圓心角度數的一半”，而圓心角的度數等于它所對弧的度數，所以圓周角的度數是所對弧的度數的一半。可知︵

圖5

法二：如圖6，連接OB、OC、OD，利用圓周角定理，圓周角的度數等于它所對弧上的圓心角度數的一半，可得∠BOC=2∠1，∠COD=2∠2，所以∠BOC=∠COD，根據圓的對稱性，BC=DC。

圖6

【點評】由于圓周角定理︵沒有︵逆定理，所以根據∠1=∠2，不能直接得到BC=CD，需要通過“圓周角的度數等于它所對弧上的圓心角度數的一半”來轉化，或者利用輔助線，通過圓周角定理、等量代換等來證明結論。

5.扇形的弧長與面積公式。

扇形為l）。第二種方法類似于三角形的面積公式，把扇形的弧長看成“底”，扇形的半徑看成“高”，S=×底×高，這樣也便于記憶。扇形扇形的弧長與面積公式較為相似，容易混淆。我們并不需要死記硬背，可以利用扇形和圓的關系來推導。若有半徑相同的扇形與圓，則扇形的弧長是圓的周長的，扇形的面積是圓的面積的。

圖7

6.圓錐與扇形。

將圓錐沿一條母線剪開，圓錐的側面展開圖是一個扇形。展開后的扇形半徑R是圓錐的母線l母線，扇形的弧長l弧長是圓錐底面圓的周長。為了避免混淆，我們在列出公式時，可以在相應的字母下面標注下標。S側面積=πr底l母線，在具體的問題中還要挖掘已知條件中的隱含信息。

例2 一個圓錐的側面展開圖是一個半徑為R的半圓，那么圓錐的底面圓的半徑是。

【解析】半圓的半徑R是圓錐的母線l母線，半圓的弧長l弧長=圓錐底面圓的周長。設圓錐底面圓的半徑為r，由題意可知，所以R=2r

【點評】本題主要根據圓錐側面展開圖與圓錐底面圓的關系解答，需要弄清兩個半徑的不同意義。這里還有個隱含的信息，就是半圓是特殊的扇形，圓心角為180度。

7.外心的位置。

內心只能在三角形的內部，當問題中已知內心時，情況單一。若外心已知，但圖未給出，則我們在畫圖時，要注意三角形的外心可能在形內、形上或形外，要分類討論。

例3 △ABC的外心為O，且∠BOC=110°，則∠BAC= 。

【解析】本題考查圓的外心的知識、圓周角定理、分類思想。若點O在△ABC內，如圖8，則∠BAC=∠BOC=55°。若點O在△ABC外，如圖 9，則∠BAC=·優角∠BOC=×（360°-110°）=125°。所以∠BAC=55°或125°。

圖8

圖9

【點評】因為題目中未給出圖形，所以需要我們畫出圖形，根據外心的可能位置分類討論。我們要考慮是否有多種可能，從而避免漏解。

8.直線與圓相切。

直線與圓相切的判定方法有三種：有唯一公共點；用d與r的關系來探求（d是圓心到直線的距離）；直線經過半徑的外端并且與這條半徑垂直。問題通常分為兩大類：一是直線與圓沒有公共點，二是直線與圓已知公共點。若沒有公共點，則過圓心作直線的垂線，證明d=r。若直線與已知圓有公共點，則連接過公共點的半徑，證明直線垂直于該半徑。

例4 如圖10，點D是∠AOB的平分線OC上任意一點，過D作DE⊥OB于E，以DE為半徑作⊙D，求證：⊙D與OA相切.

圖10

【解析】直線OA與⊙D沒有已知的公共點，只能利用“圓心D到直線OA的距離等于⊙D的半徑DE”，說明⊙D與OA相切。

證明：過點D作DF⊥OA于F，如圖11?！唿cD是∠AOB的平分線OC上任意一點，DE⊥OB，DF⊥OA，∴DF=DE，即D到直線OA的距離等于⊙D的半徑DE?！唷袲與OA相切。

圖11

【點評】此題考查了切線的判定與角平分線的性質，難度不大，解題的關鍵是準確作出輔助線。既然沒有給出公共點，則不能連接過公共點的半徑，運用“經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線”來證明。我們要學會根據不同類型，選擇恰當方法，尤其不要忘記d=r這種基本判別方法。

9.其他兩解情況。

（1）過圓外一點引圓的切線，有兩條，不能漏解。

（2）已知兩條平行弦（非直徑），長度確定，若圖形未給出，則兩條平行弦的位置有兩種情況，兩條弦位于圓心的同側或位于圓心的兩側。