基于元胞自動(dòng)機(jī)的傳染病傳播模型研究

吳成來

摘要：文章討論了一種基于元胞自動(dòng)機(jī)的建模方法，并在該模型的基礎(chǔ)上模擬了流感病毒傳播與控制這一復(fù)雜的過程。模擬結(jié)果與現(xiàn)實(shí)生活中流感病毒的宏觀特征的結(jié)果大致相同，對(duì)傳染病的傳播與控制有著一定的參考意義。

關(guān)鍵詞：元胞自動(dòng)機(jī)；傳染??；模型；模擬

中圖分類號(hào)：TP311 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1009-3044（2019）09-0185-02

傳染病是由病原體引起的一種具有傳染性的疾病，它主要通過人與人之間的交流、接觸、聯(lián)系來傳播，并且隨著時(shí)間、外界干預(yù)程度的變化而變化，因此對(duì)傳染病傳播的描述和控制是一個(gè)十分復(fù)雜的研究課題。

20世紀(jì)40年代初馮·諾依曼提出了元胞自動(dòng)機(jī)的概念，20世紀(jì)80年代S.Wolfram對(duì)元胞自動(dòng)機(jī)進(jìn)行了全面研究。由于元胞自動(dòng)機(jī)具有時(shí)間、空間和狀態(tài)都離散的特點(diǎn)，并且能夠以局部規(guī)則同步演化來反映整個(gè)系統(tǒng)的復(fù)雜變化，這與傳染病的傳播機(jī)制十分類似，因此元胞自動(dòng)機(jī)成為研究傳染病傳播的一個(gè)重要方法。

1 模型

元胞自動(dòng)機(jī)可以用一個(gè)四元組[A=（Ld，S，N，f）]，[A]表示元胞自動(dòng)機(jī)系統(tǒng)，[Ld]表示一個(gè)[d]維的網(wǎng)格空間，這里取[d=2]，每一個(gè)網(wǎng)格單元就是一個(gè)元胞，[S]是離散集合，表示各個(gè)元胞的狀態(tài)，[N]表示元胞的鄰居集合，[f]是局部演化規(guī)則，就是根據(jù)[t]時(shí)刻某個(gè)元胞所有鄰居的狀態(tài)組合確定[t+1]時(shí)刻該元胞的狀態(tài)值。本文采用的是Moore鄰居，如圖1所示。

根據(jù)傳染病在人群中傳播的特點(diǎn)，將傳染病傳播中的人群分為三類：易感染者（S）、染病者（I）、免疫者（已經(jīng)治愈或死亡）（R）。從一輪病毒開始爆發(fā)，到治愈，再到新一輪的病毒開始肆虐，其狀態(tài)可以用圖2表示。

考慮一個(gè)2維的網(wǎng)格，每一個(gè)小格子[（i，j）]都有一個(gè)人，[Sti，j]表示[t]時(shí)刻[（i，j）]處人的狀態(tài)。根據(jù)上面的敘述，[Sti，j]有三個(gè)取值。[Sti，j=0]表示個(gè)體處于易感染狀態(tài)，還沒有被病毒傳染，不能傳染病毒給和他接觸的人群，但是對(duì)病毒沒有免疫力；[Sti，j=1]表示個(gè)體處于染病狀態(tài)，已經(jīng)感染了病毒，能把病毒傳染給和他接觸的易感染者，自身也在與病毒的對(duì)抗中逐漸產(chǎn)生抗體，到達(dá)一定時(shí)間后會(huì)自己治愈；[Sti，j=2]表示個(gè)體已被治愈或者已經(jīng)死亡，不能把病毒傳染給易感染者，自身的免疫力隨著時(shí)間的流逝逐漸變差。

對(duì)每個(gè)元胞引入發(fā)病持續(xù)時(shí)間[t（Sti，j）]和免疫力持續(xù)時(shí)間[T（Sti，j）]，[tmax，Tmax]分別表示發(fā)病時(shí)間和免疫力持續(xù)時(shí)間的最大值。

演化規(guī)則：對(duì)要模擬的在二維空間進(jìn)行均勻的網(wǎng)格劃分，每一個(gè)小格子就是一個(gè)元胞，把所有元胞初始狀態(tài)設(shè)為[Sti，j=0]，即所有元胞都認(rèn)為是易感染者，此時(shí)發(fā)病持續(xù)時(shí)間[t（Sti，j）=0]。隨機(jī)在網(wǎng)格中取很小比例（大概千分之一）的元胞作為感染病毒的患者，病毒感染者所在的網(wǎng)格初始狀態(tài)設(shè)[Sti，j=1]，發(fā)病持續(xù)時(shí)間[t（Sti，j）=1]。從[t=0]時(shí)刻開始，在每個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)對(duì)所有元胞進(jìn)行掃描，并以下面的規(guī)則進(jìn)行狀態(tài)更新。

（1）當(dāng)[Sti，j=0]時(shí)，此時(shí)元胞不能傳染被人，但是很容易被別人感染?？紤][（i，j）]處元胞的被它周圍鄰居傳染的概率[pti，j]。該處的元胞以概率[pti，j]被傳染，狀態(tài)由[Sti，j=0]變?yōu)閇Sti，j=1]，發(fā)病持續(xù)時(shí)間變?yōu)閇t（Sti，j）=t（Sti，j）+1]。其中[pti，j]的計(jì)算公式[2]：

[pti，j=k*（Cti，j-1+Cti，j+1+Cti-1，j+Cti+1，j）4+l*（Cti-1，j-1+Cti+1，j+1+Cti-1，j+1+Cti+1，j-1）4]

其中[k]表示[（i，j）]處元胞的上、下、左、右鄰居對(duì)它的影響因子，[l]表示[（i，j）]處元胞的左上、右下、左下、右上鄰居對(duì)它的影響因子，且[k>l]。

（2）當(dāng)[Sti，j=1]時(shí)，考慮元胞的發(fā)病持續(xù)時(shí)間，若[t（Sti，j）tmax]，此時(shí)元胞已經(jīng)自我治愈，狀態(tài)由[Sti，j=1]變?yōu)閇Sti，j=2]，染病時(shí)間變?yōu)閇t（Sti，j）=0]，免疫力持續(xù)時(shí)間[T（Sti，j）=T（Sti，j）+1]。

（3）當(dāng)[Sti，j=2]，考慮元胞的免疫力持續(xù)時(shí)間[T（Sti，j）]，若[T（Sti，j）>Tmax]，此時(shí)元胞的免疫力隨著時(shí)間的流逝逐漸消失，變?yōu)橐赘腥菊?，元胞狀態(tài)由[Sti，j=2]變?yōu)閇Sti，j=0]。若[T（Sti，j）

基于以上的演化規(guī)則，網(wǎng)格空間中的所有元胞在每一仿真步都同步更新，局部的元胞相互作用的結(jié)果就是下一仿真步的初始狀態(tài)。

2 仿真結(jié)果與分析

根據(jù)傳染病傳播的人群狀態(tài)，將元胞演化規(guī)則應(yīng)用到半徑為1的Moore鄰居，對(duì)傳染病傳播進(jìn)行仿真模擬。設(shè)定元胞空間為[L×L=100×100]的網(wǎng)格，元胞初始被感染病毒的概率為0.0018。采用2009年6月16日至7月15日發(fā)生在中國(guó)大陸的甲型H1N1流感病毒數(shù)據(jù)[6]進(jìn)行仿真模擬。假設(shè)[k=0.5，l=0.2]，發(fā)病持續(xù)時(shí)間為7天，康復(fù)者的免疫力持續(xù)時(shí)間為365天。圖3為40天內(nèi)的模擬仿真數(shù)據(jù)，仿真結(jié)果與實(shí)際數(shù)據(jù)基本吻合。

從圖3 可以看到，病毒爆發(fā)初期，流感病毒傳播速度比較快，患者人數(shù)增加迅速，到了后期流感病毒傳播速度下降，患者人數(shù)開始緩慢下降?；颊呷藬?shù)下降的原因，一是隨著醫(yī)療救治的進(jìn)行，患者被治愈后有免疫力不再被感染；一是到病毒傳播后期，部分患者已經(jīng)死亡，不會(huì)再傳染給其他人群。

在現(xiàn)實(shí)生活中，大家一旦發(fā)現(xiàn)自己身體不舒服都會(huì)走進(jìn)醫(yī)院，向醫(yī)生尋求幫助，醫(yī)生會(huì)對(duì)我們進(jìn)行救治。這里假設(shè)醫(yī)生有特效藥物，只要向醫(yī)生求助，患者就會(huì)被治愈，因此就減少了發(fā)病的持續(xù)時(shí)間。保持初始參數(shù)不變，研究發(fā)病持續(xù)時(shí)間對(duì)傳染病傳播過程的影響。如圖4所示。

從圖4可以看出，當(dāng)發(fā)病持續(xù)時(shí)間為[T=5]時(shí)，染病人數(shù)增加的速度比實(shí)際數(shù)據(jù)要小，而且染病人數(shù)也比實(shí)際數(shù)據(jù)要少；當(dāng)發(fā)病持續(xù)時(shí)間為[T=9]時(shí)，染病人數(shù)增加的速度比實(shí)際數(shù)據(jù)要大，而且染病人數(shù)也比實(shí)際數(shù)據(jù)要多。病人發(fā)病持續(xù)時(shí)間越長(zhǎng)，病人在活動(dòng)期間接觸的易感染者就會(huì)越多，導(dǎo)致患者累計(jì)數(shù)量增多。因此在傳染爆發(fā)初期就當(dāng)積極采取有效的方法對(duì)患者進(jìn)行救助，或者對(duì)患者進(jìn)行有效隔離，減少患者與其他人群的接觸，能夠?qū)魅静〉膫鞑テ鸬揭种谱饔谩?/p>

3 總結(jié)

利用元胞自動(dòng)機(jī)建立模型來研究傳染的傳播過程，可以避免傳統(tǒng)微分方程的模型的復(fù)雜計(jì)算過程，并且比微分方程模型更加直觀、清晰、明了，更便于結(jié)果分析。

參考文獻(xiàn)：

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[5] 李學(xué)偉，吳今培，李雪巖.實(shí)用元胞自動(dòng)機(jī)導(dǎo)論[M].北京：北京交通大學(xué)出版社，2013.

【通聯(lián)編輯：光文玲】