操作三步曲

劉艷

【摘要】計算是小學數學的重要內容，根據新課標的要求，計算教學要讓學生充分理解算理，掌握算法。文章從操作的三個層次闡述如何讓學生理解算理，即借助學具，在動作操作中理解算理;借助想象，在表象操作中形成算理;借助符號，在符號操作中內化算理。只有經歷這樣的操作三步曲，才能使學生真正理解算理，掌握算法。

【關鍵詞】理解算理;動作操作;表象操作;符號操作

縱觀小學數學教材，數與代數向來是教材中的主要內容，其中計算教學占了很大的比重。隨著新課改的逐步深入，計算教學越來越引起人們的重視。新課程標準指出：“計算教學要引導學生理解算理，掌握法則，通過必要的練習逐步達到教學要求?！笨梢娦抡n標強調了對算理的理解，也就是說計算教學不僅要使學生掌握算法，形成技能，更重要的是讓學生理解算理，在充分理解的基礎上構建算法。算理是指計算的理論依據，通俗地講就是計算的道理。算理一般由數學概念、定律、性質等構成，用來說明計算過程的合理性和科學性。學生在計算時，不能機械地按照計算法則一步一步地計算，而是要理解計算中每一步的道理，這樣，才有利于學生掌握計算方法，形成計算技能，促進思維能力的發展。那么，如何使學生在計算教學中更好地理解算理呢？操作無疑是理解算理的有效途徑。布魯納認為，在人類智慧生長期間，要經歷三個階段：動作性表征、映象性表征、符號性表征。鑒于小學生的年齡特點和數學知識的抽象性，數學知識的學習過程也應體現這三個階段，即應經歷“動作操作—表象操作—符號操作”的過程。只有經歷這樣的操作三步曲，才能使學生真正理解算理，掌握算法。

一、借助學具，在動作操作中理解算理

動作操作是操作的第一層次。計算教學中，動作操作具有看得見、摸得到的優點，能給學生留下深刻的印象，幫助學生理解算理。

如一年級“兩位數加一位數（進位）”一課，在教學“24+6等于多少”這一環節中，絕大部分學生都知道24+6=30，但當問他們“你是怎么想的”時，他們大多說不上來。這時教師并不急于教給學生算法，而是將這一學習任務完全交還給學生，為他們提供一個主動學習的工具——小棒，讓學生把自己的想法用小棒擺一擺。學生通過動手操作，發現把6根和4根先合起來是10根，捆成一捆，再和2捆合起來是3捆，即30根，也就是先算6+4=10，再算20+10=30。

教學24+9時，仍然讓學生動手擺小棒，在擺的過程中，出現了算法多樣化，如下圖所示。

學習不僅要知其然，還要知其所以然。通過動手操作，學生不僅能算出結果，同時還明白了計算的道理和方法。在計算教學中，動作操作將抽象的算理形象地顯現出來，為算法的構建提供原型支撐，對學生理解算理、構建算法具有重要的意義。

再如三年級“兩位數除以一位數（首位能整除）”，學生從原來的除1次到現在的除2次要經歷認識上的飛躍，因此這兒的除法計算教學是全冊的教學重點，也是教學難點。出示例題46÷2后，與上述案例不同的是大部分學生不會自己計算，這時可以借助小棒來理解算理，掌握算法。學生自主操作小棒，再請學生上黑板演示，教師著重提這樣幾個問題：先分什么？每份幾捆？分出去幾捆？整捆的還有嗎？再分什么？每份幾根？分出去幾根？這樣每份一共有多少根？剛剛分小棒時，我們分了幾次？

在這節課中，小棒是必不可少的學具，通過動手操作，能有效突破難點，幫助學生初步建立算法，明確先分整捆再分單根，要分兩次。數學知識是抽象的，而學生思維以形象性思維為主。因此，動作操作有利于學生理解知識，通過操作讓學生逐步形成一定的操作表象，從而幫助學生理解抽象的算理。

重視動作操作，是發展學生思維、培養學生數學能力的有效途徑之一。理解算理的基礎是讓學生動手操作，學生只有在具體操作中才能逐步體會、理解“形”和“數”之間的聯系，悟出道理，掌握算法。

二、借助想象，在表象操作中形成算理

計算教學中，常常會出現這樣的現象：學生脫離了小棒操作，就說不出計算的思考過程，算不出得數。究其原因，是教師直接從動作操作過渡到符號操作，抽象得太快，學生不具備表象操作的能力，思維產生脫節。

如果說動作操作是理解算理的第一步，是為學生提供理解的起點，那么表象操作就是連接動作操作和符號操作的中介，忽視這一環節，直接把動作操作上升到符號操作，學生的學習就很難上升到抽象的符號文字水平。心理學告訴我們，只有建立正確、牢固而清晰的表象，才能支持抽象思維。表象的建立有利于學生更快地擺脫具體事物的束縛，向抽象思維過渡。表象操作即動腦操作，也就是在學生動手操作之后，讓學生脫離具體實物，在頭腦中進行想象的操作。

仍然以“兩位數加一位數（進位）”為例，在學生操作小棒后，教師讓學生回憶剛剛分小棒的過程。接著，出了這樣一組題：看著圖中的小棒，動腦筋想一想，算出得數。

小學生的思維帶有很大的具體形象性，表象常成為其思維的憑借物。這一環節設計的主要目的是幫助學生建立表象，學生從動手操作過渡到動腦操作，在頭腦中想象操作小棒的過程，先把個位上的幾根合起來，滿十根捆成一捆，從而逐漸形成滿十進一的計算方法。

表象既具有直觀性，又具有概括性，是從感知到思維的過渡階段。學生的認識，從具體的操作上升到抽象的知識，需要借助表象。有效的表象操作，是促使學生從實物操作過渡到算法操作必不可少的橋梁。

再如“兩位數除以一位數（首位能整除）”，教學完例題后，出示一道練習題：69÷3，讓學生在頭腦中想象有69根小棒，把分小棒的過程像放電影一樣在腦中過一遍。

心理學研究表明，讓兒童先用實物計算，然后把實物拿走，要兒童想著那里的實物計算，即利用表象計算，效果很好。學生通過這樣想象性的操作，找到了從直觀到抽象的紐帶和橋梁，表象操作成為學生形成計算方法、建立數學模型的有效中介。

三、借助符號，在符號操作中內化算理

動作操作與表象操作為學生進行符號操作奠定了基礎，在學生積累了較豐富的感性材料、進行有效的表象操作的基礎上，教師要及時進行抽象、概括，逐步過渡為數學的語言符號。數學符號具有抽象性、簡潔性、一般性，如果長時間地停留在感性認識階段，則不利于學生邏輯思維能力的培養和發展。

還是以“兩位數除以一位數（首位能整除）”為例，在學生動手、動腦操作后，教師引導學生用除法豎式把剛剛擺小棒的過程表示出來。

師：回想一下，我們是先分什么的？也就是先算幾除以2？

生：先分整捆的，先算4÷2得2。

師：先用十位上的4除以2商2，寫在什么地方？為什么寫在十位上？

生：每份2捆，表示2個十，所以寫在十位上。

師：分出去幾捆？怎么算的？

生：分出去4捆，二二得四。

師：下面該分什么了？也就是再算幾除以2？最后結果是多少？

生：再算6÷2=3，最后結果是23。

小結：回憶我們分小棒的過程，把46根小棒平均分成2份，其實是兩次平均分，先把4捆平均分成2份，每份2捆，是2個十，所以“2”就寫在十位上;再把6根平均分成2份，每份3根，是3個一，所以“3”就寫在個位上。用豎式計算我們也除了2步，先用十位上的數去除，商寫在十位上，再用個位上的數去除，商寫在個位上。

算法的建構不僅需要感性材料的支持，更需要教師對學生的動作操作與表象操作進行及時有效的引導與提升。隨著教師的啟發與引導，學生有意識地審視自己的操作過程，自覺地把剛才操作過程中所獲得的認識進行整理提升，算法的建構自然呼之欲出。

再如“兩位數加一位數（進位）”，學生經歷動作操作、表象操作后，可逐步總結先算什么，再算什么，結合擺小棒的過程說明先把個位上的數相加，滿十要進一。

符號操作的過程是理解算理、形成算法的最后一步，學生在將感性認識抽象為符號的同時，算法的建構也就完成了。

計算應該是人們在日常生活中應用得最多的數學知識，它歷來是小學數學教學的重要內容。計算教學直接關系著學生數學基礎知識與基本技能的掌握和數學思維的發展。教學中我們應遵循學生的認知規律，讓學生經歷“動作操作—表象操作—符號操作”的過程。動作操作是理解算理的起點，表象是在操作和觀察等活動基礎上，在頭腦里形成事物的初步形象，是知識形成的中介，最后在頭腦里將獲取的表象進行加工整理，把感性認識上升為理性認識，形成算法。教學過程中，教師要加強直觀教學和學具操作活動，豐富學生知識的表象，促進其理解，在此基礎上得出結論，讓學生說算理，抽象出算法。

計算教學中，算理是起點，算法是歸宿，只有讓學生經歷操作三步曲，才能使學生更好地理解算理，掌握算法。

【參考文獻】

[1]徐斌.把握基本矛盾 走向有效教學——“數的運算”備課解讀與難點透視[J] .人民教育，2006（Z2）.

[2]王權.小學數學教育學[M].華東師范大學出版社，1991.

[3]章建躍.數學學習論與學習指導[M].人民教育出版社，2001.