概率論教學(xué)中關(guān)于分布函數(shù)右連續(xù)的探究

摘 要：在《概率論》關(guān)于分布函數(shù)的性質(zhì)的教學(xué)中，關(guān)于分布函數(shù)的右連續(xù)性，大多數(shù)教材都沒(méi)有給出證明，而是特別強(qiáng)調(diào)證明需要較專業(yè)的數(shù)學(xué)知識(shí)。文章利用基本的連續(xù)性質(zhì)，對(duì)分布函數(shù)右連續(xù)給出了嚴(yán)格的證明，并且探討了如何利用分布函數(shù)的右連續(xù)性求解隨機(jī)變量落在任何區(qū)間內(nèi)的概率問(wèn)題。

關(guān)鍵詞：隨機(jī)變量;分布函數(shù);函數(shù)的連續(xù)性;分布列

中圖分類號(hào)：0211

文章編號(hào)：2095-624X（2019）04-0040-02

概率論是一門古老而年輕的數(shù)學(xué)分支學(xué)科。說(shuō)它古老，是因?yàn)樵缭诠?400年，古埃及人為了忘記饑餓，經(jīng)常聚集在一起玩一種類似于今天擲骰子的游戲。到17世紀(jì)，將擲骰子作為賭博的方式在歐洲許多國(guó)家的貴族之間盛行，這是概率論產(chǎn)生的原動(dòng)力。1654年費(fèi)馬與帕斯卡通信中關(guān)于分賭注問(wèn)題的討論被公認(rèn)為概率論誕生的標(biāo)志，從那以后進(jìn)入相對(duì)快速發(fā)展的時(shí)期。說(shuō)它年輕，是因?yàn)橹钡?0世紀(jì)30年代，概率的公理化體系建立之后，概率論才算是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)學(xué)科。今天，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、經(jīng)濟(jì)建設(shè)、管理決策和科技進(jìn)步等方面發(fā)揮著越來(lái)越重要的作用。

在概率論歷史上，隨機(jī)變量的引入是除概率的公理化定義以外的另一個(gè)里程碑。其意義在于把隨機(jī)現(xiàn)象結(jié)果數(shù)量化，從而為利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決概率問(wèn)題鋪平了道路，同時(shí)也把對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的概率研究問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究隨機(jī)變量的概率分布問(wèn)題。隨機(jī)變量的分布函數(shù)是研究隨機(jī)變量的極為重要的工具，任何隨機(jī)變量都有分布函數(shù)，而且分布函數(shù)由隨機(jī)變量本身唯一決定。在《概率論》中，關(guān)于分布函數(shù)的右連續(xù)性，大多數(shù)教材都沒(méi)有給出證明，本文則給出了這個(gè)性質(zhì)的嚴(yán)密的證明，并探討了它的應(yīng)用。

一、準(zhǔn)備工作和主要結(jié)論

1933年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫首次提出概率的公理化定義，他規(guī)定映射P的對(duì)應(yīng)法則由下面三條公理確定，這就是我們通常所說(shuō)的概率的公理化定義。

設(shè)某個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為Ω，E為Ω上所有事件組成的集合，稱滿足下列三條公理的映射P（·）為概率：

（1）非負(fù)性：若：A∈E，則P（A）≥0;

（2）正則性：P（Ω）=1;

（3）可列可加性：若A1，A2，...，An，...是一列兩兩互不相容的事件，即AiAj是不可能事件，其中i，j=1，2，...，i≠j，則P（∪Ai）=∑P（Ai）。

變量X是從樣本空間Ω到實(shí)數(shù)集R的一個(gè)映射。也就是說(shuō)，對(duì)于試驗(yàn)的每一個(gè)可能結(jié)果ω，都對(duì)應(yīng)著一個(gè)實(shí)數(shù)X（ω）。試驗(yàn)結(jié)果ω具有隨機(jī)性，而X（ω）依賴于ω，是隨著試驗(yàn)結(jié)果不同而變化的量，我們稱這個(gè)變量為隨機(jī)變量，常把X（ω）簡(jiǎn)單寫成ω。

設(shè)X是任意一個(gè)隨機(jī)變量，稱如下定義的函數(shù)

為X的分布函數(shù)，記作X～F（x）。

任何隨機(jī)變量都有分布函數(shù)，而且分布函數(shù)由隨機(jī)變量本身唯一決定。分布函數(shù)F（x）是事件{X≤x}的概率，也表示X落在半直線（-∞，x]內(nèi)的概率。

定理1.1分布函數(shù)F（x）具有右連續(xù)性：對(duì)任何x∈R，有F（x+0）=F（x），其中F（x+0）=limF（t）表示F（x）在x點(diǎn)處的右極限。

和定理1.1的證明過(guò)程類似，我們可以證明下面的重要的結(jié)論。

定理1.2令隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F（x），那么對(duì)于任意的實(shí)數(shù)a，P（X

應(yīng)用隨機(jī)變量X的分布函數(shù)定義、分布函數(shù)的右連續(xù)性和定理1.2，我們可以求出隨機(jī)變量X落在任何區(qū)間內(nèi)的概率。

推論1.3令隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F（x），令F（b-0）表示limF（x），那么對(duì)于任意的實(shí)數(shù)a和b（a

（1）P（X≤b）=F（b）;

（2）P（x

（3）P（X=a）=F（a）-F（a-0）;

（4）P（a

（5）P（a≤X

（6）P（a≤X≤b）=F（b）-F（a-0）;

（7）P（a

二、主要定理的證明

引理2.1對(duì)于分布函數(shù)F（x）和任意的x0∈R， limF（x）=b的充要條件是對(duì)于任意的數(shù)列{xn} ，如果xi+1=xi，i=1，2，3，...并且limxn=x0都有l(wèi)imF（xn）=b成立。

證明：必要性是顯然成立的，接下來(lái)我們證明充分性。

參考文獻(xiàn)：

[1]袁德美，安軍，陶寶.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].北京：高等教育出版社，2011.

[2]汪嘉岡.現(xiàn)代概率論基礎(chǔ)（第二版）[M].上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2005.

基金項(xiàng)目：重慶市基礎(chǔ)與前沿研究計(jì)劃項(xiàng)目（cstc2015jcyjA00009）;重慶市教委科學(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目（KJ1500628）;國(guó)家自然科學(xué)基金青年科學(xué)基金項(xiàng)目（11501064）。

作者簡(jiǎn)介：藺友江（1975—），男，河北臨西人，副教授，博士，研究方向：凸幾何分析。