一種改進(jìn)小波閾值函數(shù)的信號(hào)去噪

郝建軍,劉勇剛,廖 剛,徐 童,陳家棟

(重慶理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院， 重慶 400054)

信號(hào)去噪是信號(hào)處理領(lǐng)域的經(jīng)典問(wèn)題之一。傳統(tǒng)的去噪方法主要包括線性濾波和非線性濾波，其不足之處在于使信號(hào)變換后的熵增高、無(wú)法刻畫信號(hào)的非平穩(wěn)性且無(wú)法得到信號(hào)的相關(guān)性[1]。小波變換自提出以來(lái)，在許多工程技術(shù)領(lǐng)域均得到了較好的應(yīng)用。在故障診斷的分析過(guò)程中，需要對(duì)該過(guò)程所產(chǎn)生的信號(hào)進(jìn)行采集與處理，信號(hào)在采集與傳輸?shù)倪^(guò)程中，會(huì)不可避免地受到大量噪聲信號(hào)如機(jī)械噪聲、電磁噪聲的干擾。小波分析能同時(shí)對(duì)信號(hào)的時(shí)域和頻域進(jìn)行分析，較好地區(qū)分信號(hào)中的突變部分和噪聲，進(jìn)而對(duì)信號(hào)進(jìn)行去噪[2]。

小波去噪的關(guān)鍵在于閾值函數(shù)的選取，其在一定程度上關(guān)系到信號(hào)去噪的質(zhì)量，硬閾值和軟閾值是小波去噪最常用的函數(shù)，硬閾值方法可以很好地保留信號(hào)邊緣等局部特征，軟閾值處理要相對(duì)平滑，但會(huì)造成邊緣模糊等失真現(xiàn)象[3-6]。隨著小波分析的不斷深入，不同改進(jìn)閾值函數(shù)的算法也相繼提出：半軟閾值函數(shù)作為一種改進(jìn)的閾值算法可以兼顧軟硬閾值方法的優(yōu)點(diǎn)，相對(duì)于軟硬閾值函數(shù)方法較好地保留了原始信號(hào)的特征[7-8]。本文采用一種新型的改進(jìn)閾值函數(shù)的算法對(duì)采集到的信號(hào)進(jìn)行去噪，同時(shí)通過(guò)實(shí)驗(yàn)比較，選取最優(yōu)的小波基函數(shù)和分解層數(shù)，在不同閾值情況下，以信噪比和均方根誤差為準(zhǔn)則，進(jìn)而判斷信號(hào)去噪效果。信噪比越大，均方根誤差越小，信號(hào)去噪效果越好，越接近原始信號(hào)[9]。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：本文提出的改進(jìn)閾值算法的小波去噪所取得的去噪效果更優(yōu)于軟硬閾值和半軟閾值。

1 小波閾值去噪原理

在故障診斷、信號(hào)檢測(cè)領(lǐng)域，常常需要對(duì)信號(hào)進(jìn)行預(yù)處理，由于采集到的信號(hào)包含各種干擾噪聲，在對(duì)信號(hào)進(jìn)行預(yù)處理的過(guò)程中需要對(duì)信號(hào)進(jìn)行去噪，避免干擾噪聲對(duì)故障診斷的影響。小波去噪的基本原理表現(xiàn)為：先對(duì)信號(hào)進(jìn)行若干層小波分解，提取各層高頻小波系數(shù)，再選取合適的閾值，若小波系數(shù)大于該閾值，則認(rèn)為該系數(shù)主要是由噪聲引起的，將這部分系數(shù)去除；若小波系數(shù)小于該閾值，則認(rèn)為該系數(shù)是由信號(hào)引起的，進(jìn)而保留這部分系數(shù)。對(duì)高頻部分的信號(hào)進(jìn)行閾值處理進(jìn)而濾除高頻部分的噪聲達(dá)到去噪的目的[10-11]。

小波去噪的過(guò)程主要包括3個(gè)部分：信號(hào)分解—閾值量化—小波重構(gòu)。

1) 選擇合適的小波基函數(shù)和分解層數(shù)對(duì)信號(hào)進(jìn)行多尺度小波分解，同時(shí)得出各尺度的小波系數(shù)；

2) 對(duì)各分解尺度下的高頻系數(shù)選擇合適的閾值函數(shù)和閾值進(jìn)行閾值量化處理；

3) 根據(jù)小波分解的最底層低頻系數(shù)和各層高頻系數(shù)進(jìn)行小波重構(gòu)得到去噪后的信號(hào)。

2 小波變換閾值函數(shù)的改進(jìn)算法

在設(shè)計(jì)閾值函數(shù)的過(guò)程中，應(yīng)盡量使函數(shù)具有連續(xù)性和高階可導(dǎo)性，傳統(tǒng)的硬閾值函數(shù)和軟閾值函數(shù)并不具備高階可導(dǎo)性，有研究者提出半軟閾值函數(shù)的去噪方法，其表達(dá)式如下：

(1)

其中：0

本文提出的閾值函數(shù)綜合前面所述閾值函數(shù)的優(yōu)點(diǎn)，函數(shù)曲線較各閾值函數(shù)較為光滑，改進(jìn)的閾值函數(shù)的表達(dá)式如下：

(2)

其中：0<α<1；m∈R+；t表示閾值大小。式(2)優(yōu)化了在±t處的連續(xù)性問(wèn)題，在信號(hào)重建時(shí)避免了一些附加震蕩，同時(shí)優(yōu)化|η(ω)-ω|的誤差問(wèn)題，使經(jīng)閾值函數(shù)處理的高頻系數(shù)在重建后減少了信號(hào)的失真。

圖1 各閾值函數(shù)曲線

由圖1和式(2)可知：該閾值函數(shù)具有連續(xù)性和高階可導(dǎo)性，此函數(shù)在閾值t附近存在一個(gè)平緩的過(guò)渡帶；此外，函數(shù)在直線η(ω)=ω時(shí)逼近程度較好，這樣不僅可以去除|ω|≥t時(shí)的噪聲，還不會(huì)像軟閾值那樣在η(ω)和ω之間存在偏差。從該函數(shù)還可以看出：當(dāng)α→0，m→∞時(shí)，該函數(shù)退化為硬閾值函數(shù)；當(dāng)α→1，m→0時(shí)，該函數(shù)退化為軟閾值函數(shù)。可以通過(guò)調(diào)節(jié)α和m值的大小使閾值函數(shù)靈活變換，達(dá)到對(duì)信號(hào)靈活去噪的目的，本文所提出的閾值函數(shù)令α=2，m=0.2。

3 改進(jìn)閾值函數(shù)去噪試驗(yàn)

為了驗(yàn)證新閾值函數(shù)的有效性，本文通過(guò)Matlab對(duì)信號(hào)進(jìn)行仿真驗(yàn)證，在小波工具箱中裝載一段leleccum信號(hào)，取1 024個(gè)采樣點(diǎn)，并隨機(jī)生成噪聲信號(hào)。對(duì)含噪信號(hào)分別進(jìn)行硬閾值、軟閾值、半軟閾值與改進(jìn)閾值函數(shù)去噪以此來(lái)驗(yàn)證該方法的有效性，生成該信號(hào)的信噪比SNR=26 dB，仿真實(shí)驗(yàn)所采用的小波基函數(shù)為sym6小波基，分解層數(shù)為3層。圖2為在Matlab小波工具箱中生成的原始信號(hào)；圖3為加了噪聲之后的含噪信號(hào)；圖4～7為采用各種閾值函數(shù)處理之后的信號(hào)。本文采用信噪比(SNR)與均方根誤差(RSME)的評(píng)價(jià)指標(biāo)來(lái)判別改進(jìn)閾值與傳統(tǒng)閾值函數(shù)去噪效果。信噪比越大，均方根誤差越小，去噪后信號(hào)更接近原始信號(hào)，去噪效果越好[12-16]。信噪比表達(dá)式為：

(3)

均方根誤差的表達(dá)式為：

(4)

其中s(n)表示原始信號(hào)，y(n)表示去噪后的信號(hào)。

圖2 原始信號(hào)

圖3 含噪信號(hào)

圖4 硬閾值去噪信號(hào)

圖5 軟閾值去噪信號(hào)

圖6 半軟閾值去噪信號(hào)

圖7 改進(jìn)閾值去噪信號(hào)

從上述圖中可以看出：硬閾值函數(shù)去噪后的信號(hào)存在較多的尖峰，軟閾值函數(shù)去噪后的信號(hào)相較于硬閾值函數(shù)尖峰減少，但還是存在模糊點(diǎn)，與原始信號(hào)接近程度效果還不理想，半軟閾值綜合了軟硬閾值的優(yōu)點(diǎn)，但與原始信號(hào)接近程度不夠高。從圖7可以看出：改進(jìn)閾值函數(shù)處理后的信號(hào)與原始信號(hào)最接近，由此驗(yàn)證了本文提出的改進(jìn)閾值函數(shù)可以取得更好的去噪效果。為進(jìn)一步驗(yàn)證該方法的有效性，選取不同的小波基對(duì)信號(hào)進(jìn)行去噪，小波分解層數(shù)為3，本文選取的小波基函數(shù)分別為sym6、db6、coif5。比較各閾值函數(shù)去噪后的信噪比(SNR)和均方根誤差(RSME)，各閾值函數(shù)去噪信噪比和均方根誤差如表1所示。

從表1可以看出：通過(guò)選取其中較常用的小波基函數(shù)對(duì)信號(hào)進(jìn)行去噪處理，改進(jìn)閾值函數(shù)的去噪效果均優(yōu)于前3種閾值函數(shù)，計(jì)算得到的信噪比越高，均方根誤差越小，由此可以驗(yàn)證在不同的小波基函數(shù)下該改進(jìn)的閾值函數(shù)的有效性。

此外，通過(guò)選取不同的閾值也可以得到不同去噪效果的信號(hào)。閾值的選取包括4種：無(wú)偏似然估計(jì)閾值(rigrsure)、固定閾值(sqtwolog)、啟發(fā)式閾值(heursure)、極大極小閾值(minimaxi)，小波基函數(shù)為sym6，分解層數(shù)為3，4種閾值得到的去噪效果如表2所示。

表1 各閾值函數(shù)降噪結(jié)果

表2 各閾值選取對(duì)信號(hào)的降噪結(jié)果

各閾值函數(shù)在不同閾值情況下去噪的信噪比和均方根誤差如表2所示，從表中可以看出：不管在何種閾值情況下，改進(jìn)閾值函數(shù)對(duì)信號(hào)去噪后的信噪比均高于軟、硬閾值和半軟閾值函數(shù)；均方根誤差均要低于前述3種閾值函數(shù)。由此可以驗(yàn)證改進(jìn)閾值函數(shù)對(duì)信號(hào)具有更好的去噪效果。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文在原有閾值函數(shù)的基礎(chǔ)上提出了一種改進(jìn)的閾值函數(shù)，并在實(shí)驗(yàn)中通過(guò)產(chǎn)生一段仿真原始信號(hào)加隨機(jī)噪聲對(duì)其進(jìn)行去噪發(fā)現(xiàn)，改進(jìn)閾值函數(shù)對(duì)信號(hào)的去噪效果要優(yōu)于軟、硬閾值和半軟閾值函數(shù)；為進(jìn)一步驗(yàn)證該改進(jìn)閾值函數(shù)的有效性，本文還在不同的小波基函數(shù)和不同閾值情況下對(duì)信號(hào)進(jìn)行去噪仿真比較各閾值函數(shù)的信噪比和均方根誤差。試驗(yàn)結(jié)果表明：在不同的小波基函數(shù)或不同閾值選取原則下，改進(jìn)的閾值函數(shù)對(duì)信號(hào)的去噪效果均優(yōu)于前3種閾值函數(shù)，去噪所得信噪比更高，均方根誤差更小，進(jìn)而驗(yàn)證了本文提出的改進(jìn)閾值函數(shù)的有效性。