PC準(zhǔn)則下線性無偏估計(jì)的比較

李 勇，鄔吉波

(重慶文理學(xué)院， 重慶 402160)

通常采用均方誤差矩陣準(zhǔn)則和均方誤差矩陣來比較估計(jì)的優(yōu)良性。Rao[1]指出在一些情況下運(yùn)用均方誤差以及均方誤差矩陣準(zhǔn)則來比較估計(jì)是不合理的，而運(yùn)用Pitman準(zhǔn)則[2]能更好地度量估計(jì)的優(yōu)劣性。有學(xué)者研究了PC準(zhǔn)則，如Wang and Yang[3],Yang等[4]，Jozani[5],Wu[6]等。

有學(xué)者研究了PC 準(zhǔn)則下線性估計(jì)的比較。如Mason等[7]給出了2個(gè)線性估計(jì)在PC準(zhǔn)則下的比較，同時(shí)給出了一個(gè)估計(jì)優(yōu)于另一個(gè)估計(jì)的條件。但是，Mason等提出的定理不好用，Yan[8]對(duì)Mason等提出的定理進(jìn)行了改進(jìn)。Fountain等[9]討論了2個(gè)線性無偏估計(jì)在PC準(zhǔn)則下的比較，同時(shí)得出了比較完美的結(jié)果。但是Fountain和Keating的結(jié)果只針對(duì)線性無偏估計(jì)，有其局限性。本文針對(duì)非線性的情況，討論2個(gè)無偏估計(jì)在PC準(zhǔn)則下的比較，不管是線性還是非線性。本文的結(jié)果表明：對(duì)2個(gè)無偏估計(jì)，如果某一個(gè)估計(jì)的協(xié)方差矩陣越小，則此無偏估計(jì)在PC準(zhǔn)則下越好。

1 主要結(jié)果

首先給出PC準(zhǔn)則的定義：

下面給出本文的主要定理：

證明：由定義2.1，取Q=I，我們有

(1)

Pr{ζ′Mζ-η′Mη-η′(N-M)η≤0}≥

Pr{ζ′Mζ-η′Mη≤0}

(2)

由于M是一個(gè)正定矩陣，則存在一個(gè)正交矩陣使得：

M=H′ΛH,Λ=diag(λ1,λ2,…,λp)

其中λ1≥λ2≥…≥λp是M的特征值。

(3)

下面計(jì)算

(4)

Pr{δ2′Λδ2-δ1′Λδ1≤0}

(5)

Pr{δ1′Λδ1-δ2′Λδ2≤0}

(6)

由式(4)～(6)有

Pr{δ2′Λδ2-δ1′Λδ1≤0}=

Pr{δ1′Λδ1-δ2′Λδ2≤0}=

1-Pr{δ1′Λδ1-δ2′Λδ2≥0}

(7)

所以

2 應(yīng)用

2.1 一般線性模型

考慮如下的模型：

Y=Xβ+ε

(8)

其中：Y為觀測矩陣；X為已知的設(shè)計(jì)矩陣；β為未知參數(shù)向量；ε為誤差向量且E(ε)=0，Cov(ε)=σ2V,V>0。

模型(8)的最小二乘估計(jì)為

(9)

2.2 帶線性約束的線性模型

考慮模型(8)以及V=I，未知參數(shù)滿足如下的約束條件：

Rβ=r

其中：R是一個(gè)已知的矩陣；r為一個(gè)向量。則未知參數(shù)的約束最小二乘估計(jì)為

計(jì)算得到

以及

σ2(X′X)-1R′[R(X′X)-1R′]-1R(X′X)-1

易知

則有

2.3 帶隨機(jī)約束的線性模型

考慮模型(8)以及V=I，未知參數(shù)滿足如下的約束條件

r=Rβ+e,e～(0,σ2W)

其中：R是一個(gè)已知的矩陣；r為一個(gè)向量。則未知參數(shù)的混合估計(jì)為

那么