平移傳遞 巧尋“存在”

佘小莉

探討平行四邊形的存在性問題是近年來數學中考的熱點。本文介紹一種坐標平移策略，可以幫我們簡潔明了地解決平行四邊形的存在性問題。

策略呈現如圖1，點A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）是坐標平面內不在同一直線上的三點。平面直角坐標系中是否存在點D，使得以A、B、C、D為頂點的四邊形為平行四邊形？如果存在，請求出點D的坐標。

圖1

圖2

【解析】首先，四邊形四個頂點排序未定，可以分別以△ABC三條邊AB、AC、BC為對角線作為分類依據進行討論（如圖2）。

其次，若以BC作為對角線，把?ABD1C的一組對邊AC、BD1看成線段AC平移至BD1處，點A→B，橫、縱坐標分別增加x2-x1、y2-y1，根據坐標平移的性質，點C→D1，橫、縱坐標也分別增加x2-x1、y2-y1，所以D1坐標為（x2+x3-x1，y2+y3-y1）。

最后，以AC、AB為對角線的兩種情形，同理，求出D2、D3坐標分別為（x1+x3-x2，y1+y3-y2）、（x1+x2-x3，y1+y2-y3）。

策略應用（2012·黑龍江綏化）如圖3，四邊形ABCD為矩形，C點在x軸上，A點在y軸上，D點坐標是（0，0），B點坐標是（3，4），矩形ABCD沿直線EF折疊，點A落在BC邊上的G處，E、F分別在AD、AB上，且F點的坐標是（2，4）。（1）求G點坐標；（2）求直線EF解析式；（3）點N在x軸上，直線EF上是否存在點M，使以M、N、F、G為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出M點的坐標；若不存在，請說明理由。

【解析】（1）根據折疊等已知條件得，FG=AF=2，FB=1。在Rt△BFG中，BG=3。所以G點的坐標為（3，4-3）。

（2）如圖4，過點E作EP⊥BC于點P，設OE=m，在Rt△GEP中，EG2=GP2+EP2，即（4-解得根據E、F兩點的坐標，解得直線EF的解析式為

圖3

（3）設點N坐標為（a，0），分別以△NFG三條邊NF、NG、FG為對角線分三種情形展開討論。

情形一：以NF為對角線，應用坐標平移策略，點G→N，橫、縱坐標分別增加a-3、-4，點F→M，橫、縱坐標也分別增加a-3、則點M坐標為（a-3+2，-4+4），即為（a-1，），代入直線EF解析式y=，解得，點M的坐標為

情形二：以NG為對角線，同理，應用坐標平移策略，點M坐標為（a+1，-），代入直線EF解析式，求出a+1的值，得點M的坐標為

情形三：以FG為對角線，同理，應用坐標平移策略，點M坐標為（5-a，8-3），代入直線EF解析式，求出5-a的值，得點M的坐標為

圖4

總結坐標平移策略可以避免畫圖的“煩惱”，回避了復雜圖形的分析推理，而且考慮全面、不易遺漏。這種策略不僅適用于多個動點的探討，也適用于菱形、矩形、正方形存在性的探討。隨著日后學習的深入，當平行四邊形與其他問題相結合時，越發可以顯示它的“威力”。