都是中點惹的“禍”嗎

黃 萍

隨著學習的深入，我們和“中點”打交道的機會越來越多了，中位線、中線、中點四邊形（順次連接四邊形各邊中點的四邊形叫中點四邊形）等都和中點有著千絲萬縷的關系，但有時不免容易將它們之間的關系混淆。下面是三個常見問題的錯因剖析，希望能給同學們一些啟發。

例1順次連接四邊形ABCD各邊中點，所得的四邊形是菱形，則四邊形ABCD一定是（ ）。

A.菱形 B.對角線互相垂直的四邊形

C.矩形 D.對角線相等的四邊形

【錯解】選B或C。

【錯因剖析】看到菱形就想到對角線互相垂直，從而錯選了B；固然矩形的中點四邊形是菱形，但反之未必哦！原四邊形對角線的位置關系與數量關系才是中點四邊形形狀的“風向標”，而不是原四邊形的形狀！

【正解】選D。中點四邊形相鄰兩邊分別為原四邊形對角線的一半。中點四邊形如果是菱形，那么它們鄰邊相等，故原四邊形的對角線相等。

【變式】順次連接四邊形ABCD各邊中點，所得的四邊形是正方形，則四邊形ABCD一定是______________。（正確答案：對角線相等且互相垂直的四邊形。）

例2若矩形ABCD的相鄰兩邊長分別為6和8，則順次連接各邊中點所得的四邊形的周長為____________，面積為__________。

【錯解】周長：14；面積：12。

【錯因剖析】本題和三角形中位線圍成的三角形周長與原三角形周長之間的關系混淆起來了，誤以為周長是原圖形的二分之一，面積是原圖形的四分之一。關于中點四邊形，它們的形狀和大小是由原四邊形的對角線所決定的，可以通過畫圖計算求出。

【正解】周長：20；面積：24。如圖1，若AB=6，BC=8，則由勾股定理得AC=BD=10。若E、F、G、H為各邊的中點，則由中位線可得EF=FG=GH=HE=5，所以四邊形EFGH為菱形，周長為4×5=20，面積為

【變式】順次連接菱形ABCD各邊中點，所得的四邊形面積為12，則四邊形ABCD的面積為_________。（正確答案：24。）

圖1

圖2

例3如圖2，四邊形ABCD為菱形，AC、BD交于點O，點E、F、G、H分別為OA、OB、OC、OD的中點，則四邊形EFGH為________。

【錯解】填矩形或平行四邊形。

【錯因剖析】這里點E、F、G、H也都是中點，可能受“菱形的中點四邊形為矩形”的影響，殊不知，這里的中點不再是原四邊形四邊的中點了，從而誤填了；填平行四邊形的則是沒有考慮周全。

【正解】因為點E、F為OA、OB的中點，所以同理AD，又因為四邊形ABCD為菱形，所以AB=BC=CD=AD，所以EF=FG=GH=EH，所以四邊形EFGH為菱形。

親愛的同學們，通過對這三道題的分析，你們覺得這“禍”是中點惹的嗎？關于中點四邊形的形狀，我們應該關注的是原四邊形的對角線的性質，只有它才真正決定著中點四邊形的“顏值”。再則就是多畫圖，弄清問題的條件和本質，千萬別像例3那樣被迷惑了哦。