布爾函數(shù)Nega—Hadamard變換的若干性質(zhì)

童玉珂 陳濤 卓澤朋

摘要：基于有限域和代數(shù)理論，研究并證明了布爾函數(shù)Nega-Hadamard變換的一些性質(zhì)，給出一些重要結(jié)果。這對(duì)今后Negabent函數(shù)的構(gòu)造、性質(zhì)研究和推廣十分有必要。

關(guān)鍵詞：布爾函數(shù)；Nega-Hadamard變換；性質(zhì)；Negabent函數(shù)

中圖分類號(hào)：TN 918.1 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1009-3044（2019）06-0209-03

Some Properties on Nega-Hadamard Transform of Boolean Functions

TONG Yu-ke，CHEN Tao，ZHUO Ze-peng

（School of Mathematical Science， Huaibei Normal University， Huaibei 235000， China）

Abstract： Based on finite fields and algebraic theory， this paper researched and proved some properties about Nega-Hadamard transform of the Boolean function and some important results is given. This is necessary for the construction and nature of the Negabent function in the future.

Key words： Boolean function；Nega-Hadamard transform；properties；Negabent function

1 引言

布爾函數(shù)在密碼學(xué)和通信領(lǐng)域中廣泛應(yīng)用，其密碼學(xué)性質(zhì)與密碼體制的安全息息相關(guān)。

1976年，Rothaus[1]提出Bent函數(shù)的概念，并證明了Bent函數(shù)的非線性度達(dá)到最大，為[2n-2n2-1]，可有效抵抗線性攻擊。其中Bent函數(shù)的一個(gè)重要特征是它的Walsh-Hadamard變換的絕對(duì)值都相等。據(jù)此，Riera等人在文獻(xiàn)[2]中提出Nega-Hadamard變換的概念，為了研究一類特殊布爾函數(shù)—Negabent函數(shù)。

目前，國內(nèi)外眾多學(xué)者對(duì)Nega-Hadamard變換的研究已有較豐富成果[2-11]。Riera和Parker等人在文獻(xiàn)[2-3]中提出并研究了Nega-Hadamard變換的性質(zhì)，在此基礎(chǔ)上討論了Negabent函數(shù)變?cè)闆r以及Negabent函數(shù)的構(gòu)造問題。Stanica等人在文獻(xiàn)[4]和[5]中詳細(xì)研究了Nega-Hadamard變換的特征，以及Nega-Hadamard變換與其他密碼學(xué)指標(biāo)之間的關(guān)系，得出一些重要結(jié)果。文獻(xiàn)[6]中研究了Nega-Hadamard變換的若干性質(zhì)并分析了一類級(jí)聯(lián)函數(shù)的Nega-Hadamard變換。文獻(xiàn)[7]中研究了Nega-Hadamard變換在布爾函數(shù)仿射子空間中的性質(zhì)，并給出布爾函數(shù)Nega-Hadamard變換與其導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，得到一些結(jié)果。文獻(xiàn)[10]通過利用Nega-Hadamard變換研究了具有最大代數(shù)免疫階Negabent函數(shù)的構(gòu)造。本文在文獻(xiàn)[2-11]的基礎(chǔ)上，繼續(xù)研究Nega-Hadamard變換的性質(zhì)特征，并給出性質(zhì)的證明。

2 預(yù)備知識(shí)

用[F2]表示元素為0和1的二元有限域，記[Bn]是[n]元布爾函數(shù)所組成的集合，即[fx∈Bn：Fn2→F2]。[F2]，[Fn2]，[Bn]上加法記作[⊕]，[⊕i]。對(duì)任意[fx∈Bn]，其代數(shù)正規(guī)型[ANF]可表示為

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