基于最小二乘法的線性與非線性擬合

莫小琴

摘 要：最小二乘法常被用于數據擬合處理以及誤差估計中。目前在回歸模型的參數估計或稱系統的辨識中應用較多，文章主要探討最小二乘法的基本原理及其兩種變形的擬合方法，其中包括線性和非線性兩種最小二乘法擬合，并簡單介紹兩種方法在Matlab中如何實現。

關鍵詞：最小二乘法；線性擬合；非線性擬合；Matlab

最小二乘法最早起源于天文和大地相關數據的測量與預測需求，至今已有200多年的歷史，隨后被推廣應用于其他的科學領域并受到廣泛的關注[1]。特別是隨著近代矩陣理論的研究不斷深入以及電子計算機的飛速發展，使得最小二乘法不斷地深入各個研究領域的數據處理中，久盛不衰。在大部分的參數估計以及曲線擬合的問題中，往往要求用確定某些（或一個）未知量，能對所測得的一組觀測值進行表征，即對觀測值提供很好的擬合，最小二乘法能很好地解決這類問題[2]。

1 最小二乘法的擬合原理

若通過實驗或觀測獲得成批的離散數據，所謂的擬合問題實質上就是為這些離散的數據建立對應的、近似的連續模型，一般建立的連續模型為一個函數表達式或一條曲線。其中插值方法是比較古典的擬合方法之一，由于獲取的數據往往是離散的數據點，要建立與之對應的連續模型，插值的擬合方法要求目標函數必須過已知的離散點，從而建立連續函數對非插值點進行近似計算。由于目標函數要求必須過已知離散點，所以擬合出來的圖像一般欠缺圓滑度。最小二乘法在擬合問題中，只要求目標函數近似已知離散數據點的分布總體輪廓，并不要求一定要過已知的離散數據點，其擬合精確性在于盡可能地近似已知離散數據點，即與已知數據點的誤差按某種意義盡可能的小，通常采用誤差的平方和最小的原則，因此，在工程應用實踐中，最小二乘法更具有實用性[3-4]。

4 結語

對于大部分的應用領域而言，基于已有的數據建立適當的擬合變量間關系的數學函數模型，是揭示變量間的內在關系必不可少的重要手段，而最小二乘法是一種擬合效果較為理想的擬合方法之一。本文先對最小二乘法的原理進行了論述，再結合Matlab軟件進行擬合實現，使得最小二乘法曲線擬合的原理闡述更加直觀易懂。如今最小二乘法被廣泛應用于各門學科及行業，并在Matlab環境中，程序代碼更加成熟、簡單，使用起來非常方便，會一直成為科研人員開展研究工作的有效工具。

[參考文獻]

[1]施光燕，錢偉懿，龐麗萍.最優化方法[M].2版.北京：高等教育出版社，2007.

[2]張德豐.MATLAB數值計算方法[M].北京：機械工業出版社，2010.

[3]肖悠南.現代數值計算方法[M].北京：北京大學出版社，2010.

[4]李慶揚，王能超，易大義.數值分析[M].4版.北京：清華大學出版社，2001.