巧借數學思考工具 促進學生深度學習

□北京外國語大學附屬蘇州灣外國語學校 張俊俊

心理學研究表明：人的思維認識規律是“具體——形象——抽象”。在小學階段，教師要善用直觀或物化的教具、學具、表格、圖形等工具，幫助學生打開數學思維，調動學生的多種感官參與協同思考。這些直觀或物化的學具、表格和圖形就是數學思考工具，可以幫助學生更加順利地展開思考過程，讓學生從淺層學習走向深入。

一、以表格為媒，豐富學生的數學思維體驗

在數學課堂，對數學知識的呈現與揭示，除了單純地講解外，還可以引入數學思維工具材料，讓學生真切地體驗數學。例如，在學習“用列舉的策略解決實際問題”時，對五支足球隊開展循環賽，一一列舉一共要進行多少場比賽。一些學生雖然明白題意，但在列舉中總是出現偏差。為此，我們滲透“表格法”，讓學生以表格方式去透徹理解循環賽的比賽場次與對抗雙方。首先，從表格中發現循環賽的對抗特點。例如，有三組足球隊，每組比賽兩場次，總場次為“1+2=3”；有四組足球隊，每組比賽三場次，總場次為“1+2+3=6”；有五組足球隊，每組比賽四場次，總場次為“1+2+3+4=10”，以此類推。讓學生對照足球隊組數，以及每組比賽場次、總場次的計算方法，總結計算規律。接著，分析表格，指導學生提煉解題思維。面對分組循環賽，在對比賽雙方及場次計算中，方法很多，可以用畫圖法，可以用連線法，還可以用列式計算法。例如，有五組足球隊，比賽總場次可以用“5×4÷2”來計算。其中，“5”表示有五組足球隊，“4”表示每組要踢四場比賽。由于“5×4”所計算的場次，每組球隊都被重復計算一次，因此需要再除以“2”。但這樣來解釋，一些學生還是無法理解。為此，我們從“表格法”中，對于橫欄，表示“第一組”“第二組”“第三組”“第四組”“第五組”；對于縱欄，依然表示為“第一組”“第二組”“第三組”“第四組”“第五組”。具體情況如下表所示。

4 5 1 2 3 4 5 1 √√√√2 √√√3√ √√

“對角線”表示同一組不能與同一組對抗；各組對抗，畫“對號”；對于“對角線”上部區域，之所以為空，是因為各組對抗只有一次，不能重復兩次。例如，第二組與第三組、第四組、第五組已經對抗過了，反過來，第三組、第四組、第五組不能再與第二組對抗。由此，“表格法”讓學生對循環賽制的特點有了深刻的理解。

二、以數軸為媒，促進學生透析數學思維

在小學階段，對“數軸”的運用，我們以“數直線”為主，引領學生認識數的概念。通常，以直尺為原型，從標有刻度的直尺中，由具象向抽象延伸，讓學生辨析“數”與“直線上的點”之間的對應關系。例如，在學習“求一個小數的近似數”時，我們借助于“數軸”，讓學生探究近似數的本質。一個小數的近似數，讓很多學生感到疑惑。以“1.50”為例，對于末尾的“0”，為什么不能去掉？我們向學生解釋，“1.50”這個數的精確度在“百分位”，“1.5”這個數的精確度在“十分位”，前者比后者更精確。但這一解釋，顯然對于學生而言是浮于表面的。以“數軸”為媒，讓學生從“數直線”中，全面、透徹地理解“近似數”的本質。引出問題：看一個數，將之精確到十分位，需要看哪個數位上的數？如果精確到百分位呢？由此得出，要精確到“十分位”，需要看其“百分位”上的數；要精確到“百分位”，需要看其“千分位”上的數，以此類推。我們來討論“1.5”與“1.50”，如果將一個兩位小數精確到“1.5”，這個兩位小數，最大是多少，最小是多少？同樣，把一個三位小數精確到“1.50”，

這個三位小數，最大是多少？最小是多少？我們來參照“數直線”，可以看到，近似數為“1.5”的數，介于“1.45～1.54”，范圍較大，但對于近似數為“1.50”的數，其范圍介于“1.495～1.504”，所以精確度會更高一些。如此一來，學生從直觀、形象的“數直線”中，實現對抽象概念的顯性化理解。

三、以方格紙為媒，拓展學生的數學思維空間

在數學教學中，對方格紙的運用，在“圖形與幾何”領域具有重要的價值。方格紙本身，以統一、規范的間隔距離，對于討論平面圖形的性質非常有用，也便于學生從中積累數學經驗，深化對數學概念及概念之間邏輯關系的辨析。例如，在“方格紙上旋轉簡單圖形”時，有學生感到不好理解，難以掌握，即便是目標先找準旋轉中心，再找到與中心點連接的兩條邊，依然出現錯誤。為此，我們可以拿出一個牙簽，將牙簽固定于旋轉中心點，讓學生多次反復練習、觀察、體會，增進對圖形旋轉的深切認知。再如，在學習“認識平行”時，根據教材中所展示的場景圖片，分析這三組直線，哪些會相交？哪些不會相交？對于不相交的兩條直線，我們稱為“互相平行”，其中一條直線是另一條直線的平行線。由此，我們引入方格紙，讓學生在方格紙上畫出“平行線”，從中來認識“平行線”的關系。也可以讓學生對方格紙上的幾組線進行辨識、討論，歸納平行線的性質。如“同組平行線之間，距離相等”等。

總之，在小學數學教學中，教師要善用數學思考工具，突破教學難點，幫助學生透析數學規律，揭示數學本質，提高學生的深度學習能力。