一維復合波入射的固-固界面接觸特性分析

仲曉敏，韓慶邦，蔣 謇，黃建偉，吳 寧

(河海大學物聯網工程學院，江蘇 常州 213022)

0 引 言

近年來，基于超聲的非線性效應，如諧波的產生、波束混疊以及諧振頻率的改變而發展的非線性超聲無損檢測[1]和評價方法，對于克服傳統超聲的不足具有積極的意義，是對傳統線性超聲檢測[2]手段的有效補充。國內外很多學者在這方面做了大量的研究，XIANG Y X等[3]對非線性超聲導波檢測技術進行了研究，王成會等[4]研究了超聲波作用下氣泡的非線性振動，SHUI Y等[5]研究了固體板中的波的非線性傳播。當波與接觸界面相互作用時，產生二階及高階諧波，這就構成了一個相對較新的研究領域，即接觸聲非線性[6-8]。與傳統材料的非線性[9]相比，接觸聲非線性會產生高次諧波，能提供更有價值的接觸狀態信息，可用于檢測部分閉合缺陷的材料[10]。

本文基于BIWA S[11]研究的一維基頻簡諧波在固-固界面的傳播特性以及RICHARDSON[12]理論，引入包含基波和諧波的復合入射波，從界面剛度特性和其它聲學參數出發，建立一個一維的非線性接觸剛度模型，推導出反射波、透射波的表達式，分析反射系數、透射系數和諧波的幅值比，詳細討論了諧波傳播時的接觸剛度參數與接觸應力之間的關系。

1 理論建模

1.1 理論模型

建立如圖1所示的波傳播模型，一維彈性縱波沿x軸傳播，接觸面的參考平面位置分別設置為x=X-,x=X+，參考平面之間的間隙距離為X+-X-。假設在區域x＜X-,x＞X+內兩個線性彈性固體具有相同的屬性(密度ρ和縱向剛度E)，固-固界面有一定的粗糙度。在區域x＜X-，入射一維縱波finc，得到反射波fref，在區域x＞X+，得到透射波ftra。

圖1 一維波通過接觸面傳播的示意圖Fig.1 One-dimensional wave propagation through contact interface

在沒有波入射的平衡狀態下，設兩個固體的接觸靜應力為σ0，間隙距離為h0。一維縱波沿x軸正向傳播，運動方程以及應力位移關系為[11]

其中，u(x,t)表示聲波沿x方向傳播的位移，σ(x,t)表示應力變化，t表示時間。方程(1)、(2)的解為

其中，函數finc(x-ct)、fref(x+ct)及ftra(x-ct)分別表示入射波、反射波和透射波，聲波波速c=(λ/ρ)1/2，λ為彈性常數。

當波與接觸界面相互作用時，間隙距離隨時間而變化，即：

應力滿足：

即應力在界面上是連續的，并且服從于間隙距離h與接觸應力σ(h)的非線性函數關系。

1.2 反射波與透射波

為求解上述方程，引入以下變量Z(t)、Y(t)[12]：

其中，Z代表界面兩端位移和的一半，Y表示界面兩端位移差，對式(8)、(9)求導并推導[12]得：

經一系列推導，透射波和反射波的表達式為

2 復合諧波入射特性分析

2.1 攝動分析

這里引入包含基波和二次諧波的復合波入射，表達式為

其中，A和B表示為基波及諧波的振幅，ω為角頻率。考慮到波的位移較小時，間隙距離改變也很小，利用泰勒展開：

其中：K1表示線性剛度，表示接觸面非線性剛度，(二階剛度)。

將式(14)、 (15)代入式(11)得關于Y的方程：

考慮方程的近似解[13]Y=Y1+Y2，Y2是二階微量，且Y1、Y2滿足以下方程：

解得：

其中，δ3=arctan[a/(4ω)]，?1=arctan[a/(2ω)]，δ4=θ1-δ1-δ2，δ5=θ2+δ1-δ2，θ1=arctan[a/(3ω)]，θ2=arctan(a/ω)，系數D、E見附錄I。

透射和反射波的表達式分別表示為

其中，M、N分別為透射波中一倍頻分量、二倍頻分量的振幅，Ι、L分別為反射波中一倍頻分量、二倍頻分量的振幅，表達式見附錄I，相位Δ1,Δ2,Δ3,Δ4見附錄I。

從式(20)和式(21)可以清楚地看到，透射波和反射波都出現了角頻率3ω、4ω，這是復合波在界面處由于非線性相互作用產生的高次諧波。

2.2 反射、透射系數與非線性特性

定義透射、反射波基頻分量的絕對振幅與入射波振幅的比值，分別為

其中，反射系數R1、R2分別為一倍頻和二倍頻下，反射波中振幅與入射波對應振幅之比，透射系數T1、T2定義同上，R、T沒有非線性效應。

為研究非線性效應，定義非線性系數β1、γ1是透射波及反射波中三次諧波分量振幅與基波分量振幅的比值，β2、γ2是透射波及反射波中四次諧波與二倍頻分量振幅的比值。經推導可得：

DRINKWATER等[14]對各種粗糙表面進行建模，采用超聲波入射實驗獲得剛度K1與接觸應力σ0平方根成比例的結論，將粗糙表面擬合成平滑表面，即線性剛度與應力關系在界面上是連續的，假定一個簡單的應力與剛度的冪律關系，其表達式為

其中，C和m是正常數。將和與式(25)相結合，給出二階剛度與接觸壓力的函數，即：

3 數值結果及分析

針對有限范圍內的粗糙接觸面，傳播介質為金屬鋁，ρ為2 700 kg·m-3，速度c為6 420 m·s-1，對冪律函數進行計算分析，選取常數C為6×1010Pa-1/2m-1，常數m為0.5。分析相關系數時，頻率選取5、10、15 MHz三種情況，入射波振幅選取5 nm和20 nm進行對比，以上參數選自文獻[11]。

圖2為不同頻率下反射系數與壓力的關系圖。從圖2(a)、2(b)中可以看出，反射系數R1、R2隨著頻率的增大而增大，隨接觸壓力的增大而減小。

圖3為不同頻率下透射系數與壓力的關系圖。從圖3(a)、3(b)可以看出，透射系數T1、T2隨著頻率的增大而減小，隨接觸壓力的增大而增大。

圖2 振幅為20 nm時，不同頻率下，反射系數與壓力的關系圖Fig.2 The relationship between reflection coefficient and contact pressure at different frequencies (the amplitude of incident wave is 20 nm)

圖3 振幅為20 nm時，不同頻率下，透射系數與壓力的關系圖Fig.3 The relationship between transmission coefficient and contact pressure at different frequencies (the amplitude of incident wave is 20 nm)

下面選擇不同的入射波振幅和基波頻率分析非線性系數。選取入射波振幅分別為5 nm和20 nm，非線性系數與接觸壓力的關系如圖4所示。從圖4可以看出，在同一頻率下，當入射波振幅選取20nm時，非線性系數更大，意味著在振幅較大的情況下，非線性效應更顯著。

在入射波振幅為20 nm的情況下，入射頻率分別為5、10、15 MHz時，透射波的非線性系數與接觸壓力的關系如圖5所示。

從圖5(a)、5(b)可以看出，非線性系數β1，β2隨頻率的增大而增大，隨接觸壓力增大而減小。

圖4 頻率為5 MHz時，不同振幅下非線性系數與接觸壓力的關系圖Fig.4 The nonlinear coefficients (β1,β2 and γ1,γ2)under different amplitudes of incident wave versus the contact pressure at the frequency of 5 MHz

圖5 入射波振幅為20 nm時，不同頻率下透射波的非線性系數與接觸壓力的關系圖Fig.5 Relationship between nonlinear coefficients of transmission wave (β1and,β2)and contact pressure at different frequencies (the amplitude of incident wave is 20 nm)

在入射波振幅為20 nm時，入射頻率分別為 5、10、15 MHz時，反射波的非線性系數與接觸壓力的關系如圖6所示。從圖6可以看出，非線性系數γ1，γ2隨頻率增大而減小，隨接觸壓力增大而減小。

在入射波振幅為20 nm，入射頻率為5 MHz時，透射波與反射波中三次諧波與四次諧波非線性系數對比如圖7。從圖7可以看出，三次諧波比四次諧波的非線性系數更大，即三次諧波的非線性效應更好。

圖6 入射波振幅為20 nm時，不同頻率下反射波的非線性系數與接觸壓力的關系圖Fig.6 Relationship between nonlinear coefficients of reflection wave (γ1and,γ2)and contact pressure at different frequencies (the amplitude of incident wave is 20 nm)

圖7 透射波和反射波中三次諧波與四次諧波非線性系數的對比圖Fig.7 Comparison between nonlinear coefficients of the third and fourth harmonics of transmission and reflection waves

4 結 論

本文基于固-固界面的線性剛度的冪律模型，計算一維入射復合波的反射系數、透射系數以及非線性系數，分析了接觸壓力和頻率對它們的影響，發現反射系數隨頻率的增大而增大，隨接觸壓力的增大而減小，而透射系數規律則相反；對比不同振幅下的非線性系數，發現選取較大振幅時，非線性現象更顯著。在透射波、反射波中，非線性系數隨接觸壓力的增大而減小；透射波非線性系數隨頻率的增大而增大，但變化幅度不明顯，在反射波中情況相反；在相同振幅、頻率下，三次諧波的非線性效應優于四次諧波。綜合考慮，反射波中三次諧波分量在檢測微小裂縫中的優勢最大。

附錄I

Y2的表達式中的系數：

透射波表達式中的系數：

反射波表達式中的系數：

透射波表達式中的相位：

反射波表達式中的相位：

附錄II

式(11)的推導如下：

根據參考文獻[13]，可知：

化簡式(a)、(b)得：

由式(c)～(d)得：