水擊基本微分方程未知量演示實驗研究

劉孝洋

(河海大學 力學與材料學院, 江蘇 南京 210098)

水流在管道中流動時,當運動要素(速度、流量等)發生突然變化,管道會發出嗡嗡聲、震動、變形，甚至管道破裂[1-3],科研技術人員對這一水擊現象有較多研究成果[4-8]。由于水擊計算的基本微分方程是一組非線性雙曲方程,求解較復雜,水擊圖解法應運而生。隨著計算機技術的不斷成熟,又出現了先將微分方程線性化,然后再進一步求解的特征線法,將基本微分方程轉化為差分格式的有限差分法,以及將計算結果用圖形表示出來,進行虛擬模擬等方法。而目前將水擊理論特性與水擊實際特征相結合,以演示實驗方式展現出來的研究并不多見。在水力學教學中,若從水擊基本微分方程未知量入手,以未知量演示實驗的形式進行實驗授課,授課內容更豐富,課堂效果更突出[9]。

1 理論分析

1.1 常規分析法

一般常用的理論分析計算有特征線法、差分菱形格式法、差分擴散格式法等。以特征線法為例,考慮阻力項下,一維非恒定流基本微分方程組[10-11]如式(1):

(1)

式中：H為測管水頭，v為斷面平均流速，c為水擊波速，λ為沿程阻力系數，D為管道直徑，g為重力加速度，坐標s的方向與水流方向一致。

用特征線方法求其數值解的過程為,將式(1)方程組中2個偏微分方程沿各自特征線化為常微分特征方程,并將常微分特征方程及其相對應的特征線沿各自特征線積分,建立2個積分方程組式(2)和式(3):

(2)

(3)

式中：Q為流量，F為阻力系數，A為斷面面積。

對方程組(2)和(3)取一階積分近似,變成2個有限差分方程組如式(4)和式(5):

(4)

(5)

方程組(4)和(5)共有4個方程,含tm、sm、Hm、Qm4個未知量,其數值解可求。

1.2 未知量演示實驗理論分析法

水擊連續性方程如式(6):

(6)

首先,可將式(6)看成是左邊4項之和等于右邊的常量0。至于左邊4項中哪個大、哪個小及其相互影響關系,暫時無從可知。現在將式(6)做如下處理:

式中：z為位置高度。

當管道的位置不變時,位置水頭對時間的變化率為零,故上式變為式(7):

(7)

最后,左邊4項之和等于0的式(6),變成左邊2項之和等于0的式(7)。在式(7)中,左邊的2項之和為零,2項中的一項變化率決定了另一項的變化率,使得變量之間關系變得清晰明了。

在水擊運動方程式(8)中:

(8)

式(8)等號左端為2項之和,等號右端為另2項之和。當速度一定時,式(8)可看成3項之和等于常數,但仍不能確定3項之間變化關系。故將式(8)進行變形處理,處理結果如式(9):

(9)

當速度取值一定時,式(9)為2項之和等于常量的方程式,水頭對管線位置的變化率與加速度的關系便確定下來。

2 實驗裝置和實驗效果

實驗裝置如圖1、圖2所示,壓力管道設置在自循環實驗臺上,管道壓力由實驗臺上部水箱提供,實驗臺下方設供水箱。在實驗管道中部起依次設置收縮漸變段、擊球室、摻氣道、蓄能管、擊球室和尾閥等構件。

圖1 實驗裝置

圖2 擊球室

首先,關閉摻氣道和蓄能管,打開尾閥。此時管內流動為單相水體流動,將尾閥設置一定的開度,使得管內水流速度保持一定數值,然后以不同的速度關閉尾閥,觀察擊球室內球體被水擊沖出的高度。從式(9)理論分析可知:當dv/dt越大時,水頭沿管線的變化率越大; 從式(7)理論分析可知:當速度沿管線變化率越大時,d(H-z)/dt越大。從演示實驗中可清晰觀察到:同一關閉速度,離尾閥最近的擊球室內球體被水擊沖出的高度最高,擊球室離尾閥越遠,擊球室內球體被水擊沖出的高度越低; 同一位置擊球室內球體,尾閥關閉速度越快,其球體被水擊沖出的高度越高。

其次,關閉摻氣道,打開蓄能管,重復上述尾閥的操作過程,可以清晰看到:因蓄能管水體的吸能效應,位于蓄能管與上部水箱之間的擊球室內球體受水擊作用減弱。

最后,關閉蓄能管,打開摻氣道,可明顯發現:當收縮漸變段內流速增大至負壓流動時,空氣自動流入管內,管內流動為空氣和水二相流體流動,重復上述尾閥操作過程,由于氣體的壓縮緩沖作用,擊球室內球體受水擊沖擊力作用減弱。

水擊演示見圖3、圖4和圖5。

圖3 水擊演示

圖4 摻氣前蓄能管水擊演示

圖5 摻氣后蓄能管水擊演示

上述實驗結果表明,擊球室內球體被水擊沖出的高度與尾閥的關閉速率、管路的位置和管內流體的彈性等因素有關,蓄能管在摻氣前、摻氣后吸收水擊波的能量差別明顯,同時,水擊壓強變化規律用動態測試儀進行了驗證。

3 結語

綜上所述,在管道非恒定流的理論分析方法和數值計算方法趨于定型化過程中,從水擊基本微分方程等式兩邊組合項數入手,化減組合項數,可以確定未知量間的變化趨勢。其次,通過演示實驗儀器的結構設計,利用擊球室內球體、負壓自動摻氣及蓄能管消能結構,可以直觀再現管道中發生水擊時未知量的變化趨勢。實驗中,采用摻氣、蓄能、流速梯度變化、動態測試設備實測應用等方式展現水擊影響因素及處理危害的方法,可以為工程實踐提供借鑒。同時,在高校水力學實驗教學中,這種未知量演示實驗方式,有助于培養學生實驗興趣,激發學生的想象力。