一個積分不等式的推廣

摘 要：本文通過對一個常見積分不等式條件的不斷加強(qiáng)，從而對該積分不等式進(jìn)行一步步推廣，并應(yīng)用泰勒公式對其進(jìn)行證明。

關(guān)鍵詞：定積分；不等式；泰勒公式

一、 引言

在高等數(shù)學(xué)教材[1]和教輔中常見如下積分不等式：

命題1：設(shè)f（x）在[0，1]區(qū)間上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f（0）=f（1）=0，

則有∫10f（x）dx≤14max0≤x≤1f′（x）。

文[2]將命題1中區(qū)間條件拓展到任意閉區(qū)間[a，b]上，推廣得到：

命題2：設(shè)f（x）在[a，b]區(qū)間上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f（a）=f（b）=0，

則有∫baf（x）dx≤（b-a）24maxa≤x≤bf′（x）。

對于以上命題，可以采用分部積分的方法進(jìn)行證明。（證明過程詳見文）

二、 命題的推廣

將命題2中可導(dǎo)條件加強(qiáng)為f（x）有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)，推廣得到：

命題3：設(shè)f（x）在[a，b]區(qū)間上有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)，且f（a）=f（b）=0，

則有∫baf（x）dx≤（b-a）312maxa≤x≤bf″（x）。

對于命題3，可以采用分部積分或泰勒公式的方法進(jìn)行證明。

三、 最終結(jié)論

最后，將命題3中可導(dǎo)條件加強(qiáng)為f（x）有連續(xù)n階導(dǎo)數(shù)，推廣得到更一般的不等式形式：

命題4：設(shè)f（x）在[a，b]區(qū)間上有連續(xù)n階導(dǎo)數(shù)，且f（k）（a）=f（k）（b）=0（k=0，1，…，n-2），

則有∫baf（x）dx≤（b-a）n+1n（n+1）！maxa≤x≤bf（n）（x）。（n≥2）

證：對于x∈（a，b），由泰勒公式有：

f（a）=f（x）+f′（x）（a-x）+f″（x）2！（a-x）2+…+f（n）（ξ）n！（a-x）n，ξ∈（a，x）

f（b）=f（x）+f′（x）（b-x）+f″（x）2！（b-x）2+…+f（n）（η）n！（b-x）n，η∈（x，b）

因為f（a）=f（b）=0，故有：

f（x）=（x-a）f′（x）-（a-x）2f″（x）2-…-（a-x）nf（n）（ξ）n！

f（x）=（x-b）f′（x）-（b-x）2f″（x）2-…-（b-x）nf（n）（η）n！

將兩式相加得：f（x）=（x-a+b2）f′（x）-14（（a-x）2+（b-x）2）f″（x）-…-12n！（（a-x）nf（n）（ξ）+（b-x）nf（n）（η））

兩邊積分得：

∫baf（x）dx=∫bax-a+b2f′（x）dx-14∫ba（（a-x）2+（b-x）2）f″（x）dx

-…-12n！∫ba（（a-x）nf（n）（ξ）+（b-x）nf（n）（η））dx

=∫bax-a+b2df（x）-14∫ba（（a-x）2+（b-x）2）df′（x）

=x-a+b2f（x）ba-∫baf（x）dx

-14[（（a-x）2+（b-x）2）f′（x）ba-∫ba（4x-2a-2b）f′（x）dx]

-…-12n！∫ba（（a-x）nf（n）（ξ）+（b-x）nf（n）（η））dx=-∫baf（x）dx+14（（4x-2a-2b）f（x）ba-4∫baf（x）dx）-…-12n！∫ba（（a-x）nf（n）（ξ）+（b-x）nf（n）（η））dx

=-（n-1）∫baf（x）dx-12n！∫ba[（a-x）nf（n）（ξ）+（b-x）nf（n）（η）]dx

∴∫baf（x）dx=-12nn！∫ba（（a-x）nf（n）（ξ）+（b-x）nf（n）（η））dx

∴∫baf（x）dx=12nn！

∫ba（（a-x）nf（n）（ξ）+（b-x）nf（n）（η））dx≤12nn！（∫ba（a-x）nf（n）（ξ）dx+∫ba（b-x）nf（n）（η）dx）

≤12nn！maxa≤x≤bf（n）（x）（∫ba（a-x）ndx+∫ba（b-x）ndx）

=（b-a）nn（n+1）！maxa≤x≤bf（n）（x）

命題得證。

四、 結(jié)論

本文對文[1]和文[2]中的積分不等式進(jìn)行推廣得到命題3和命題4，并應(yīng)用泰勒公式對命題進(jìn)行證明。命題4的特殊情況即為命題3。

參考文獻(xiàn)：

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（上冊）6版[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]趙顯曾.兩個積分不等式[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2015，31（1）：78-80.

作者簡介：

周耘，江蘇省南京市，東南大學(xué)成賢學(xué)院基礎(chǔ)部。