數形結合在中學數學中的應用探究

摘 要：數形結合思想在我們中學數學學習中是具有重要位置的，幾乎貫穿著我們學習數學的整個過程。運用數形結合思想可以使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而能夠在做題中達到事半功倍的效果。

關鍵詞：集合；函數；解不等式；概率統計

一、 數形結合在集合中的應用

集合的基本運算包括交、并、補，在解決這類運算問題時我們經常用到數形結合的思想，其形式有數軸、坐標系、韋恩圖等。此類圖形能夠使集合問題變得簡單明了易于解決。

例：設集合S={x|（x-2）（x-3）≥0}，T={x|x>0}，則S∩T= 。（2016課標Ⅲ）

分析：S={x|（x-2）（x-3）≥0}={x|x≤2或x≥3}，在數軸上表示出集合S，T，如圖所示：

通過不等式的求解，可得集合S，在數軸上表示出集合S和集合T，然后在數軸上可以直觀地得到S∩T的結果=（0，2]∪[3，+∞）。

二、 數形結合在函數方面的應用

數形結合與函數結合，一般就是先作出數量關系所對應的函數圖像，然后根據圖像進行分析，進而解決問題。

例：如圖，函數f（x）的圖像為折線ACB，則不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是 。

分析：此類函數題是較為簡單的一類題型，我們只需令y=log2（x+1），并作出該函數的圖像即可，如圖：

其中函數f（x）與y=log2（x+1）的圖像交點為D（1，1），結合圖像可知f（x）≥log2（x+1）的解集為{x|-1

三、 數形結合思想在解不等式方面的應用

數形結合思想在解不等式方面的應用就是要對不等式進行變形，化為最簡不等式的同時并結合圖像對問題進行研究，能夠起到化繁為簡的作用。

例：若x∈R，函數f（x）=2mx2-2（4-m）x+1與g（x）=mx的值至少有一個為正數，則實數m的取值范圍是為 。（2018湖南湘東4月聯考）

分析：本題屬于需要討論的復雜問題，故在做題時應先作圖，然后結合圖像進行討論，如圖所示：

當m<0且x趨于+∞時，函數f（x）=2mx2-2（4-m）x+1與函數g（x）=mx的值均為負值，不符合題意。當m=0時，g（x）=0，f（x）=-8x+1，當x≥18時，f（x）≤mx的值均為負值，不符合題意。當m>0時，可知f（x）的圖像的對稱軸為x=4-m2m，f（0）=1>0，當4-m2m≥0，即04，要滿足題意。需要f（x）的圖像在x軸上方，如圖2所示，則4-m2m<0，Δ=4（4-m）2-8m=4（m-8）（m-2）<0，則4

四、 數形結合思想在概率與統計方面的應用

數形結合思想在概率與統計方面的應用主要是根據各個事件畫出相應的圖像，并從圖像中能夠直觀地觀察出整個事件的概率。

例：從區間[0，1]隨機抽取2n個數x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，構成n個數對（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其中兩數的平方和小于1的數對共有m個，則用隨機模擬的方法得到的圓周率π的近似值為（ ）。（2016課標Ⅱ）

分析：本題較為抽象，我們可利用數形結合思想根據題意建立一個數學圖形進而直觀化。如圖：

數對（xi，yi）（i=1，2，…，n）表示的點數在邊長為1的正方形OABC內（包括邊界），兩數的平方和小于1的數對表示的點落在半徑為1的四分之一圓（陰影部分）內，則由幾何概型的概率公式可得mn=14π12π=4mn。

作者簡介：

藍俊旭，廣東省潮州市，韓山師范學院。