高速冷軋機輥系非線性動力學模型及控制參數優化

王橋醫 朱 媛 過 山 張秋波

杭州電子科技大學機械工程學院，杭州，310018

0 引言

軋機振動是影響高速冷軋機軋制質量和生產效率的重要影響因素之一［1－2］。軋機振動，尤其是垂直振動［3－5］會使帶鋼厚度不均、波痕明顯，降低帶鋼產品質量，限制軋制速度，加速軋輥磨損，甚至破壞軋機設備，造成巨大的財產損失［6－7］。隨著軋制設備技術和控制水平的提高，軋機表現出的“幽靈式”耦合振動［8］成為世界范圍內困擾鋼鐵業的重大難題。目前，國內外學者分別從軋機結構和軋制過程的非線性因素兩種角度對軋機振動做了大量研究。劉曉潺等［9］建立了多方向耦合振動下的連軋機再生振顫模型并驗證其正確性；劉浩然等［10］研究了軋機結構剛度的分段非線性特性引起的振動；侯東曉等［11］、劉彬等［12］考慮軋機振動位移變化的影響，推導出動態軋制力的表達式；NIROOMAND等［13］基于波傳播理論研究了張力在機架間的變化以及張力變化對軋機振動的影響；XU等［14］引入動態摩擦方程，研究了非穩態潤滑情況下軋機的垂直振動特性并驗證其正確性。但是，軋機振動是軋機結構因素和軋制過程因素相互耦合導致的一種自激振動［15］，目前結合這兩種非線性因素的研究較少，因此，建立相關的耦合動力學模型進行深入研究顯得很有必要。

本文借鑒相關的非線性力學模型，綜合運用軋制過程動態軋制力模型、軋機系統分段非線性彈性力模型和分段非線性摩擦力模型，建立了考慮非線性因素耦合的高速冷軋機輥系動力學模型，采用平均法［16］求解幅頻響應方程，研究了軋機系統主要參數對軋機垂直振動的影響。

1 軋制過程動態軋制力模型

軋機高速軋制時，軋制變形區不僅包括塑性區，而且包括出入口彈性區。本文考慮帶鋼在軋制過程中發生的彈性變形、塑性變形、軋輥壓扁半徑和垂直振動位移的影響，建立了軋制過程力學模型（圖1）。圖1中，d1、d2分別表示穩態軋制時軋件的入口厚度和出口厚度，d表示軋輥發生顫振時軋件的動態出口厚度，v1表示軋件入口速度，σ1表示軋件入口張力，σ2表示軋件出口張力，vr表示上工作輥和下工作輥的轉動線速度，轉動方向相反，R表示工作輥半徑，R′表示考慮工作輥壓下量的軋輥半徑，y1、y2分別表示上輥系和下輥系的垂直振動位移，以向下為正方向。侯東曉等［11］據圖1提出了動態軋制力變化量表達式：

式中，P2為動態軋制力變化量；y為振動位移；P 為穩態軋制力。

圖1 軋制過程力學模型Fig.1 Mechanical model of rolling process

式（1）、式（2）體現了軋制過程中軋制力的變化規律，描述了彈塑性變形階段軋制力與振動位移的關系，體現了軋制變形過程中的軋制力的非線性。

2 分段非線性約束力學模型

軋機振動主要表現為機架與軋機輥系間的相對運動，主要受到許多非線性參數的影響。當軋機輥系處于高載荷、高速度運轉的工作狀態時，壓下缸和彎輥缸非線性彈性力和非線性摩擦力的微小變化也會使軋機系統失去平衡，故不可忽略其大小。為了研究的全面性，本文考慮振動位移的所有情況，分段表示軋機輥系受到的非線性彈性力和非線性摩擦力。

2.1 分段非線性彈性力模型

非線性彈性力表現為等效線性剛度上疊加等效非線性剛度的微量，其表達式為

式中，ks1、kw1分別為壓下缸和彎輥缸的等效線性剛度；ks2、kw2分別為壓下缸和彎輥缸的等效非線性剛度；h1、h2分別為穩態軋制時壓下缸和彎輥缸在預壓力作用下的彈性變形量，h1＞0，h2＜0。

2.2 分段非線性摩擦力模型

由于壓下缸和彎輥缸活塞桿與缸壁間的摩擦因數不是常量，隨振動速度的變化而變化，故摩擦力呈非線性。摩擦因數表達式為

式中，μ為摩擦因數；μs為靜摩擦因數；μm為最大動摩擦因數；vm為最大振動速度。

非線性摩擦力分段表達式具體如下：

式中，p為壓力，其大小與密封件裝配松緊程度、密封件材料材質硬度、跟隨性、強度、載荷徑向分量等因素有關；y′為振動速度，當y′＝0時，液壓缸缸壁和活塞間摩擦力為靜摩擦力，大小為外擾力P1。

3 軋機輥系動力學模型

將上述軋制過程動態軋制力、非線性彈性力和非線性摩擦力這三種非線性因素進行耦合，構成高速冷軋機輥系的動力學模型，具體耦合關系如圖2所示。

圖2 力耦合關系圖Fig.2 Coupling relations of forces

本文將軋機系統中的元件簡化為集中的質量、彈簧和阻尼，構成常用的簡化“彈簧－質量－阻尼”模型。考慮四輥高速冷軋機結構對稱，建立考慮非線性因素耦合的軋機輥系動力學模型，如圖3所示。圖3中，m表示上工作輥、上支承輥及軸承座的等效質量，k1、c1分別表示上輥系與機架上橫梁的等效剛度和等效阻尼，k0、c0分別表示軋件等效剛度和等效阻尼。由圖3列出動力學方程如下：

圖3 軋機輥系動力學模型Fig.3 Dynamic model of roll system

式（6）兩邊同除以m，化簡得

F′ky（）和P′2的表達式為

式中，α、β為非線性彈性力的非線性項系數；γ為非線性摩擦力的非線性項系數。

4 軋機輥系系統響應的確定

采用平均法，設軋機受到周期性外擾力P′1＝P0sinωt，ω2＝ω01＋εσ（），其中，σ為調諧因子，ε為小參數。當ε充分小時，ε越小，系統運動越接近周期運動。則式（7）可表示為

其中，非線性項

則可推導得出a和θ的微分方程，具體表達式如下：

將式（12）等號右邊的項用一個周期（－π，π）內的平均值近似替代，可得平均化方程，具體表達式如下：

為了研究的全面性，考慮軋機振動幅值分段的3種情況，即a＞max（｜h1｜，｜h2｜），則式（13）分段積分結果具體表達式如下：

式（14）中N1、N2的具體表達式如下：

令a′＝0，θ′＝0，消去式（14）中的θ，求得系統幅頻響應方程：

由式（17）可以看出，動態軋制力一次項剛度B1、三次項剛度B3、非線性彈性力非線性項系數α和β、非線性摩擦力非線性項系數γ、外擾力幅值P0和線性阻尼ζ對于抑制非線性因素耦合下的高速冷軋機輥系的垂直振動起著十分重要的作用。

5 結果與分析

根據建立的考慮非線性因素耦合的高速冷軋機輥系動力學模型及其系統響應，以某企業2800單機架四輥高速冷軋機工藝參數和實際生產數據為例，對軋機系統進行數值仿真分析，主要研究軋機系統主要參數對軋機振動特性的影響。四輥冷軋機的軋制主要參數見表1。

表1 四輥冷軋機軋制參數Tab.1 Parameters of four-high cold rolling mill

軋機系統非線性參數項、外擾力和線性阻尼為定值時，軋機系統的振動幅頻特性與動態軋制力一次項剛度和三次項剛度的關系見圖4和圖5。圖4中，動態軋制力一次項剛度B1對軋機振動固有頻率有較大影響，在固有頻率處，軋機系統存在跳躍現象。隨著B1的減小，幅頻曲線沿橫坐標向右移動，軋機系統振動固有頻率增大，振幅減小。因此，合理改變一次項剛度B1的大小可以有效地抑制軋機振動現象。

圖4 動態軋制力一次項剛度變化時系統振動幅頻曲線Fig.4 The vibration amptitude frequency curve of the rolling system as the primary stiffness of dynamic rolling force changes

如圖5所示，動態軋制力三次項剛度B3對軋機系統振動影響很大，隨著B3的減小，軋機系統的幅頻響應曲線沿橫坐標逐漸向右移動，固有頻率增大。B3為0時，振動幅值最大且不存在跳躍現象，此時系統的解唯一且穩定。B3不為0時，軋機系統振幅變化不明顯，但出現明顯的跳躍現象，系統易失穩。如圖5中曲線4所示，頻率沿橫坐標正向變化時，系統幅值沿A-B-C-E的路徑變化，在C-E 處幅值迅速減小，系統振蕩明顯。頻率沿橫坐標負向變化時，系統幅值沿E-D-B-A的路徑變化，在D-B 處系統幅值劇增，系統失穩。

圖5 動態軋制力三次項剛度變化時系統幅頻曲線Fig.5 The vibration amptitude frequency curve of the rolling system as the cubic stiffness of dynamic rolling force changes

如圖6所示，α和β越大，非線性彈性力越大，振動幅值越小。α和β較小時，無跳躍現象，軋機系統的解唯一且穩定。當α和β足夠大即非線性彈性力起主導作用時，軋機系統易出現跳躍現象，此時軋機系統在正常生產過程中極易失穩。

圖6 非線性項系數α、β變化時系統幅頻曲線Fig.6 The vibration amptitude frequency curve of the rolling system as the nonlinear coefficientsα、βchanges

如圖7所示，對比α、β、γ的取值可知，非線性摩擦力對軋機系統振動的影響比非線性彈性力敏感。γ增大，軋機系統振動幅值明顯減小，且軋機系統跳躍現象減弱，非線性摩擦力的分段特性對振動的影響也由此減弱。此時，非線性摩擦力在軋機系統中表現出阻尼特性。因此，合理增大γ可起到抑制軋機系統振動的作用。

圖7 非線性項系數γ變化時系統幅頻曲線Fig.7 The vibration amptitude frequency curve of the rolling system as the nonlinear coefficientsγchanges

如圖8所示，隨著外擾力幅值P0增大，軋機系統振動幅值增大，共振越激烈。P0值變化時，軋機系統固有頻率幾乎無變化，軋機系統共振點不存在跳躍現象，因此，可以適當減小外擾力幅值來實現系統控制參數優化，從而抑制軋機系統振動現象，提高系統穩定性。

圖8 外擾力P0變化時系統幅頻曲線Fig.8 The vibration amptitude frequency curve of the rolling system as extraneous force P0changes

由圖9和圖10可知，線性阻尼ζ對軋機系統振動幅值和固有頻率影響較小。隨著線性阻尼的增加，振動幅值略有減小，軋機系統出現跳躍現象，軋機系統發生振蕩。對比線性阻尼ζ的取值和幅值變化可知：線性阻尼值越大，軋機系統振動幅值減小越緩慢。

6 結論

（1）本文考慮軋制過程動態軋制力、軋機系統分段非線性彈性力和分段非線性摩擦力的共同作用，建立了高速冷軋機輥系非線性因素耦合的動力學模型，利用平均法求出幅頻響應方程，分析了主要參數對軋機系統振動的影響。

圖9 線性阻尼ζ變化時系統幅頻曲線Fig.9 The vibration amptitude frequency curve of the rolling system as linear dampingζchanges

圖10 線性阻尼ζ變化時系統幅頻曲線局部放大圖Fig.10 The local amplification of vibration amptitude frequency curve of the rolling system as linear dampingζchanges

（2）動態軋制力一次和三次項剛度對軋機系統非線性有直接影響。一次項剛度越小，軋機系統振幅越小，固有頻率越大；三次項剛度不為零時跳躍現象明顯，極易失穩；三次項剛度為零時，振動幅值最大。

（3）非線性彈性力越大，振動幅值越小；非線性彈性力起主導作用時，發生跳躍現象且易失穩；非線性摩擦力越大，軋機系統振動幅值越小，跳躍現象越不明顯，分段特性越弱。因此，在一定范圍內增大分段非線性約束，可削弱分段特性的影響且能抑制軋機振動。

（4）外擾力幅值越大，則振動幅值越大，共振越劇烈；線性阻尼值越大，軋機振動幅值越小且減小越緩慢。因此，選取較小的外擾力和適當增加線性阻尼，可有效地控制系統振動。