圓柱面配合對(duì)柔性轉(zhuǎn)子穩(wěn)定性的影響

曾 瑤，陳 亮，蔣云帆，龐燕龍，吳 凡

(中國航發(fā)四川燃?xì)鉁u輪研究院，成都610500)

1 引言

在現(xiàn)代旋轉(zhuǎn)機(jī)械輕質(zhì)、高速設(shè)計(jì)趨勢下，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)問題日益突出，而其中失穩(wěn)現(xiàn)象更是成為困擾工程師們的難題[1-4]。引起轉(zhuǎn)子系統(tǒng)失穩(wěn)振動(dòng)的因素很多，常見的有油膜力、密封力、轉(zhuǎn)軸的剛度不對(duì)稱、轉(zhuǎn)軸材料的粘性特性、轉(zhuǎn)靜碰摩、充液轉(zhuǎn)子和裂紋轉(zhuǎn)子等。轉(zhuǎn)子系統(tǒng)失穩(wěn)振動(dòng)一旦出現(xiàn)，將引起支撐失效、轉(zhuǎn)軸斷裂等嚴(yán)重故障，甚至造成機(jī)毀人亡的惡性事故。

針對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的失穩(wěn)特性，國內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了大量研究。Samantaray等[5]發(fā)現(xiàn)非線性內(nèi)阻尼會(huì)導(dǎo)致轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在某些轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)失穩(wěn)；程禮等[6]建立了考慮結(jié)構(gòu)阻尼的轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)簡化模型，采用Routh Hurwitz判據(jù)和平衡點(diǎn)解預(yù)測追蹤算法分析了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的失穩(wěn)門檻轉(zhuǎn)速；高騰等[7]對(duì)花鍵連接轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行了研究，采用有限元方法建立了花鍵連接轉(zhuǎn)子模型，采用特征值方法對(duì)花鍵連接轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定性進(jìn)行了分析。但就現(xiàn)有的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)失穩(wěn)振動(dòng)研究中，鮮有針對(duì)配合因素引起的失穩(wěn)研究。然而工程實(shí)際中，因配合因素引起的轉(zhuǎn)子失穩(wěn)現(xiàn)象并不少見，航空燃?xì)鉁u輪發(fā)動(dòng)機(jī)、直升機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)、航天飛機(jī)主機(jī)供油泵和供氧泵等轉(zhuǎn)子系統(tǒng)均在研制過程中出現(xiàn)過失穩(wěn)現(xiàn)象[6-11]。為此，本文針對(duì)圓柱面配合對(duì)轉(zhuǎn)子穩(wěn)定性的影響機(jī)理進(jìn)行研究，分析各參數(shù)對(duì)轉(zhuǎn)子穩(wěn)定性的影響規(guī)律，以期為轉(zhuǎn)子穩(wěn)定性設(shè)計(jì)提供指導(dǎo)。

2 考慮內(nèi)摩擦力的動(dòng)力學(xué)模型

航空發(fā)動(dòng)機(jī)中常采用熱套配合來固聯(lián)盤和軸、盤和鼓或軸承內(nèi)環(huán)和軸，這些均屬于過盈配合。采用過盈配合時(shí)，當(dāng)部件發(fā)生變形或受熱不均勻時(shí)，配合面緊度可能會(huì)減小，導(dǎo)致配合面相對(duì)滑動(dòng)而產(chǎn)生內(nèi)摩擦力。為說明圓柱面配合產(chǎn)生內(nèi)摩擦力的機(jī)理，取圖1所示的簡單對(duì)稱轉(zhuǎn)子作為分析模型，其中盤與轉(zhuǎn)軸之間采用圓柱面過盈配合。圖中，m為盤質(zhì)量，d為盤直徑，b為圓柱配合面長度，k為轉(zhuǎn)軸剛度，r為轉(zhuǎn)軸直徑，l為轉(zhuǎn)軸跨距，T為配合面剪力，M為外力矩，F(xiàn)為橫向集中力。

圖1 圓柱面配合的簡單轉(zhuǎn)子Fig.1 The simple rotor with cylindrical fitting

由圖1可知，當(dāng)軸發(fā)生撓曲變形時(shí)，轉(zhuǎn)軸中性面外部纖維拉長，內(nèi)部纖維縮短，軸和盤的配合面產(chǎn)生微變形，盤上配合面會(huì)向軸配合面施加阻礙這種變形的剪切力[9]。當(dāng)軸撓曲變形增大到一定程度，配合面間會(huì)出現(xiàn)微滑動(dòng)，產(chǎn)生內(nèi)摩擦。在彈性線形狀一定的情況下，轉(zhuǎn)軸的曲率正比于撓度，配合面相對(duì)滑動(dòng)速度正比于該處軸的相對(duì)速度[12]。配合面剪力為：

式中：FN=σpπrb為配合面擠壓力，σp為發(fā)生撓曲變形時(shí)配合面上的擠壓應(yīng)力；ζ?c為配合面間相對(duì)滑動(dòng)速度；μ為摩擦系數(shù)。

由于上下半軸配合面上所受的剪力大小相等、方向相反，構(gòu)成一力偶，可以用兩個(gè)等效的外力矩代替[12]。依據(jù)能量等效性原則，可將外力矩對(duì)轉(zhuǎn)子產(chǎn)生的作用等價(jià)為一個(gè)橫向集中力，有：

在分析系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性問題時(shí)，為便于數(shù)學(xué)處理，將橫向集中力等效簡化為線性阻尼力，如式(4)所示。

式中：ci為內(nèi)阻尼系數(shù)。

對(duì)于圖1所示的簡單對(duì)稱轉(zhuǎn)子，考慮內(nèi)摩擦力，不計(jì)重力作用，在以角速度ω旋轉(zhuǎn)的坐標(biāo)系Oξηz中，其運(yùn)動(dòng)方程為：

通過固定坐標(biāo)系Oxyz與旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系Oξηz之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系

可將運(yùn)動(dòng)方程轉(zhuǎn)化到固定坐標(biāo)系

把復(fù)向量方程轉(zhuǎn)換為實(shí)變量方程組

其中剛度矩陣可分解成對(duì)稱部分和反對(duì)稱部分

由此可見，內(nèi)阻尼產(chǎn)生反對(duì)稱交叉剛度分量，且此剛度分量與轉(zhuǎn)速相關(guān)。反對(duì)稱交叉剛度將向轉(zhuǎn)子輸入能量，當(dāng)反對(duì)稱交叉剛度增大到某一臨界值時(shí)，系統(tǒng)動(dòng)力不穩(wěn)定。

3 穩(wěn)定性分析

以單盤試驗(yàn)轉(zhuǎn)子為對(duì)象進(jìn)行穩(wěn)定性分析。其中，盤與軸之間采用過盈配合，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的初始計(jì)算參數(shù)如表1所示，理論計(jì)算得到轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的一階臨界轉(zhuǎn)速為205 rad/s。

表1 計(jì)算參數(shù)Table 1 Calculation parameters

不計(jì)重力作用，通過四階Runge-Kutta法求解轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程，將微分方程轉(zhuǎn)換為式(11)、式(12)的形式，通過Matlab編程計(jì)算，對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行分析。

圖2 不同轉(zhuǎn)速下的轉(zhuǎn)子響應(yīng)Fig.2 The rotor response at different speeds

由微分方程求解得到的不同轉(zhuǎn)速下的轉(zhuǎn)子響應(yīng)。300 rad/s和420 rad/s轉(zhuǎn)速下的轉(zhuǎn)子響應(yīng)(圖2)中，頻譜圖上存在明顯的次諧波，且其頻率為33 Hz，與轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的一階臨界轉(zhuǎn)速接近，為配合面摩擦產(chǎn)生的內(nèi)摩擦力所激起的振動(dòng)頻率。轉(zhuǎn)速為300 rad/s時(shí)，轉(zhuǎn)子振動(dòng)響應(yīng)幅值隨時(shí)間逐漸降低，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定。當(dāng)轉(zhuǎn)速達(dá)到420 rad/s時(shí)，時(shí)域波形圖上振動(dòng)幅值隨時(shí)間的增加而增大，頻譜圖上配合面內(nèi)摩擦激起的振動(dòng)成分遠(yuǎn)超過基頻且明顯占優(yōu)，轉(zhuǎn)子發(fā)生失穩(wěn)振動(dòng)。因此，420 rad/s為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的失穩(wěn)門檻轉(zhuǎn)速，約為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)一階臨界轉(zhuǎn)速的2倍，失穩(wěn)振動(dòng)頻率為轉(zhuǎn)子一階臨界轉(zhuǎn)速對(duì)應(yīng)頻率。

3.1 配合參數(shù)的影響

工程實(shí)際中，對(duì)于配合面的選擇，主要參數(shù)為配合面的長度和緊度。為此，主要分析配合面的摩擦系數(shù)、長度和緊度對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響規(guī)律，分析的前提是配合面之間已經(jīng)存在相對(duì)滑動(dòng)。

根據(jù)圖3～圖5中的計(jì)算結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)：轉(zhuǎn)速ω=420 rad/s時(shí)，增加配合面的摩擦系數(shù)、長度和緊度，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性將下降。當(dāng)摩擦系數(shù)由0.1增加到0.2，或配合面長度由19.0 mm增加到20.0 mm，或配合面緊度由100 kPa增加到200 kPa時(shí)，轉(zhuǎn)子由穩(wěn)定變?yōu)椴环€(wěn)定，即轉(zhuǎn)子的失穩(wěn)門檻轉(zhuǎn)速降低；內(nèi)摩擦力激起的振動(dòng)頻率始終保持在33 Hz左右，不隨配合參數(shù)的變化而變化。表2總結(jié)了配合參數(shù)對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。

需說明的是，針對(duì)由圓柱面過盈配合引起的轉(zhuǎn)子失穩(wěn)振動(dòng)，圓柱面配合的緊度、長度是非常特別的因素。圖3～圖5總結(jié)的影響規(guī)律是在配合面已存在內(nèi)摩擦的前提下得出的，而實(shí)際上配合面間是否存在內(nèi)摩擦，配合面的緊度、長度是關(guān)鍵參數(shù)。當(dāng)配合面的緊度不足、長度較短時(shí)，配合面間可能會(huì)產(chǎn)生相對(duì)滑動(dòng)，進(jìn)而產(chǎn)生不穩(wěn)定力。當(dāng)配合面的緊度、長度足以保證配合面間不產(chǎn)生相對(duì)滑動(dòng)時(shí)，這一不穩(wěn)定因素也就不再存在。因此，工程實(shí)際中，應(yīng)合理選擇配合面的緊度、長度，防止配合面相對(duì)滑動(dòng)，提高轉(zhuǎn)子穩(wěn)定性。

圖3 摩擦系數(shù)對(duì)轉(zhuǎn)子穩(wěn)定性的影響(ω=420 rad/s)Fig.3 Effects of friction coefficient on rotor stability

圖4 配合面長度對(duì)轉(zhuǎn)子穩(wěn)定性的影響(ω=420 rad/s)Fig.4 Effects of fitting surface length on rotor stability

表2 配合參數(shù)的影響Table 2 Effects of fitting parameters

3.2 阻尼的影響

圖6給出了轉(zhuǎn)速420 rad/s時(shí)外阻尼分別為50、100、200 N·s/m時(shí)的轉(zhuǎn)子響應(yīng)。可見，當(dāng)外阻尼為50、100 N·s/m時(shí)，振動(dòng)響應(yīng)幅值隨時(shí)間逐漸增加，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)不穩(wěn)定；當(dāng)外阻尼達(dá)到200 N·s/m時(shí)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)趨于穩(wěn)定。這表明，增加外阻尼能提高轉(zhuǎn)子失穩(wěn)門檻轉(zhuǎn)速，降低振動(dòng)響應(yīng)幅值，有效提高轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性。表3總結(jié)了阻尼對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。

4 結(jié)論

圖5 不同配合面緊度對(duì)轉(zhuǎn)子穩(wěn)定性的影響(ω=420 rad/s)Fig.5 Effects of fitting surface compactness on rotor stability

表3 阻尼的影響Table 3 Effects of damping

為研究圓柱面配合產(chǎn)生的內(nèi)摩擦力對(duì)轉(zhuǎn)子穩(wěn)定性的影響，建立了轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)微分方程，解釋了圓柱面配合對(duì)轉(zhuǎn)子穩(wěn)定性的影響機(jī)理；通過直接積分中的Runge-Kutta法對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行計(jì)算，分析了各參數(shù)對(duì)轉(zhuǎn)子穩(wěn)定性的影響規(guī)律。結(jié)果表明：

(1)圓柱面過盈配合產(chǎn)生的內(nèi)摩擦力可以等效為內(nèi)阻尼力，內(nèi)阻尼系數(shù)進(jìn)一步分解出反對(duì)稱交叉剛度分量，引起轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的不穩(wěn)定。

(2)當(dāng)圓柱面配合處存在內(nèi)摩擦?xí)r，增加配合面的摩擦系數(shù)、長度和緊度會(huì)降低轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性，增加外阻尼可提高轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

(3)配合面的長度和緊度作為由圓柱面過盈配合引起的轉(zhuǎn)子失穩(wěn)振動(dòng)中的重要因素，決定了轉(zhuǎn)子是否存在不穩(wěn)定因素；合理選擇配合面參數(shù)，可有效預(yù)防因結(jié)構(gòu)阻尼引起的轉(zhuǎn)子失穩(wěn)振動(dòng)。

圖6 阻尼對(duì)轉(zhuǎn)子穩(wěn)定性的影響(ω=420 rad/s)Fig.6 Effects of damping on rotor stability