基于光子計(jì)數(shù)的糾纏微波壓縮角鎖定*

魏天麗 吳德偉 楊春燕 羅均文 李響 朱浩男

(空軍工程大學(xué)信息與導(dǎo)航學(xué)院,西安 710077)

針對基于超導(dǎo)180°混合環(huán)的糾纏微波制備方案探測效率低、信息處理難以及控制復(fù)雜等問題,設(shè)計(jì)了基于微波光子計(jì)數(shù)的壓縮角鎖定方案.對超導(dǎo)180°混合環(huán)的輸出信號進(jìn)行微波光子計(jì)數(shù),通過貝葉斯準(zhǔn)則估計(jì)輸入壓縮態(tài)微波場的相對壓縮角,并將壓縮角校正信息反饋于約瑟夫森參量放大器抽運(yùn)源,調(diào)整兩路單模壓縮態(tài)微波場的相對壓縮角為180°,達(dá)到控制輸出糾纏性能最優(yōu)的目的.該研究為路徑糾纏微波的糾纏性能的提升以及高質(zhì)量糾纏微波源的設(shè)計(jì)提供了理論參考.

1 引 言

量子微波起源于20世紀(jì)80年代,伴隨著單原子微波激射器的產(chǎn)生而出現(xiàn)[1],之后Yurke等[2]利用約瑟夫森結(jié)首次實(shí)現(xiàn)了對微波的量子壓縮,這是量子微波發(fā)展史上的里程碑事件.隨著對非經(jīng)典態(tài)量子微波研究的深入,量子糾纏微波應(yīng)運(yùn)而生,Flurin等[3]以及Menzel等[4]分別提出了制備路徑糾纏微波的方案并進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證.量子糾纏微波良好的非定域性、時(shí)空關(guān)聯(lián)性以及隨機(jī)性等使得其在應(yīng)用領(lǐng)域成果顯著,當(dāng)前基于量子糾纏微波的量子通信、量子信息處理、量子照明以及無線電導(dǎo)航等領(lǐng)域都取得重大突破[5-9],這也進(jìn)一步推動了對高質(zhì)量糾纏信號源的研究.

目前量子糾纏微波信號的制備更多地傾向于Menzel等[4]提出的基于超導(dǎo)180°混合環(huán)(superconducting 180° hybrid ring coupler)的糾纏制備方案,并在此基礎(chǔ)上加以改進(jìn)提升信號質(zhì)量.Fedorov等[10]提出的改進(jìn)方案在理論上達(dá)到了信號糾纏性能最優(yōu),然而在實(shí)驗(yàn)過程中對壓縮態(tài)微波場的反饋控制問題仍沒有得到有效解決,基于雙路徑接收機(jī)的探測方案使得信息處理較復(fù)雜且探測效率極低.因此,采用更有效的探測方案以及設(shè)計(jì)更實(shí)用的反饋控制方案是提升信號糾纏性能的關(guān)鍵所在.目前量子微波的探測有量子層析、正交關(guān)聯(lián)檢測、糾纏見證以及光子數(shù)探測等[11-14].當(dāng)前糾纏在超低溫條件下產(chǎn)生,光子數(shù)較低,在進(jìn)行正交分量檢測以及量子層析時(shí)均需要對信號進(jìn)行多級放大,引入大量噪聲,探測效率難以保證.隨著近年來微波光子計(jì)數(shù)的發(fā)展,對量子微波的光子數(shù)探測已成為可能,且探測效率達(dá)90%,大大提升了接收靈敏度以及信號處理精度[15-17].

本文針對基于超導(dǎo)180°混合環(huán)的糾纏制備方案,設(shè)計(jì)了基于微波光子計(jì)數(shù)的壓縮態(tài)微波場反饋控制方案,相比基于多級放大的檢測方案,其探測效率提升了53%,并且簡化了反饋控制回路,可大幅提升糾纏微波的糾纏性能.

2 基于超導(dǎo)180°混合環(huán)的糾纏制備方案

德國物理學(xué)家Menzel等[4]提出利用約瑟夫森參量放大器(Josephson parametric amplifier,JPA)和超導(dǎo)180°混合環(huán)產(chǎn)生糾纏微波信號,實(shí)現(xiàn)了路徑糾纏.如圖1所示,微波信號通過環(huán)形器送入JPA進(jìn)行放大,在抽運(yùn)信號的激勵(lì)下,JPA工作于簡并模式產(chǎn)生實(shí)驗(yàn)所需的單模壓縮態(tài),并以此作為超導(dǎo)180°混合環(huán)的一路輸入,同時(shí)另一路輸入為溫度可控的50 Ω 負(fù)載噪聲源,實(shí)驗(yàn)產(chǎn)生平均光子數(shù)約為1的弱熱態(tài).壓縮態(tài)和熱態(tài)在超導(dǎo)180°混合環(huán)中耦合輸出為路徑糾纏的量子微波信號.

圖1 基于超導(dǎo)180°混合環(huán)糾纏制備方案Fig.1.Entanglement preparation scheme based on superconducting 180° hybrid ring coupler.

在此基礎(chǔ)上,Fedorov等[10]實(shí)現(xiàn)了利用兩路單模壓縮態(tài)以及超導(dǎo)180°混合環(huán)制備糾纏的方案,該方案可制備性能更優(yōu)的糾纏信號.對于超導(dǎo)180°混合環(huán)的分束器模型,單模壓縮態(tài)的壓縮方向相互正交時(shí)輸出糾纏特性最好,因此兩路輸入信號相對壓縮角的鎖定是影響糾纏性能的關(guān)鍵.Fedorov等[10]利用雙路徑接收機(jī)對輸出糾纏信號進(jìn)行量子層析,獲得輸入單模壓縮態(tài)的Wigner函數(shù),以此確定壓縮角并將壓縮角校正信息反饋于JPA抽運(yùn)源,從而控制兩路壓縮態(tài)的壓縮方向正交.

然而基于雙路徑接收機(jī)的壓縮角鎖定方案存在以下兩個(gè)問題：1) JPA與超導(dǎo)180°混合環(huán)工作于超低溫條件下,產(chǎn)生糾纏光子較少,在進(jìn)入雙路徑接收機(jī)之前需經(jīng)過多級放大,導(dǎo)致引入過多噪聲,探測效率極低,當(dāng)前采用JPA作為前級放大可實(shí)現(xiàn)的最高探測效率僅為37%[11];2) 在信號處理過程中需分別重構(gòu)兩路壓縮態(tài)的Wigner函數(shù)并進(jìn)行校正信息的反饋,信息處理多,操作過程復(fù)雜,且需特別注意信號在JPA、超導(dǎo)180°混合環(huán)與雙路徑接收機(jī)轉(zhuǎn)換時(shí)的溫度控制[10].為此,本文設(shè)計(jì)了基于微波光子計(jì)數(shù)的壓縮角鎖定方案.

3 基于微波光子計(jì)數(shù)的壓縮角鎖定方案

隨著光子計(jì)數(shù)器的發(fā)展,基于光子計(jì)數(shù)的測量方法逐漸成為一種重要的測量方案,近年來對微波光子計(jì)數(shù)器的研究不斷深入,基于電流偏置約瑟夫森結(jié)的電路量子電動力學(xué)系統(tǒng)通過在輻射場中吸收單光子實(shí)現(xiàn)微波光子的探測,但效率較低[15,17].圖2所示的基于transmon的微波單光子探測通過位于傳輸線末端的transmon實(shí)現(xiàn)了傳輸過程中微波光子的探測,且當(dāng)前不斷改進(jìn)多transmon的設(shè)計(jì)以及超導(dǎo)傳輸線耦合以克服量子噪聲對探測的影響,探測效率已達(dá)90%[16,18].此外,近年來超導(dǎo)隧道結(jié)、微波動態(tài)電感探測器等新的微波光子探測方法也不斷地被提出[19],探測效率也不斷提升,使得微波光子計(jì)數(shù)逐漸成為可能.

在該設(shè)計(jì)方案中,JPA產(chǎn)生單模壓縮態(tài)可用簡并參量放大過程描述,其哈密頓量表示為

其中a表示為輸入頻率為ω的輸入信號光場;θre表示抽運(yùn)光與信號光的相對相位差;χ(2)與二階非線性極化率有關(guān),為實(shí)數(shù).令η=χ(2)eiθre,則時(shí)間演化算符為

圖2 基于單transmon的微波光子探測系統(tǒng)Fig.2.A scheme for single-photon detection using a transmon.

圖3 基于微波光子計(jì)數(shù)的壓縮角鎖定方案Fig.3.Squeezing angle locking scheme based on microwave photon counter.

再令ξ= 2tη,則壓縮算符即為

令r= 2tχ(2)表示為壓縮幅,θre表示為壓縮角.由此可知,控制輸入光不變,改變JPA抽運(yùn)源相位可調(diào)整輸出信號的壓縮角,滿足關(guān)系式θre∝2θpump.

如圖3所示,利用微波光子計(jì)數(shù)器對超導(dǎo)180°混合環(huán)輸出信號進(jìn)行光子計(jì)數(shù),通過測量兩臂輸出的光子數(shù)差用以估計(jì)信號s2相對信號s1的壓縮角.由上述分析可知,壓縮角與相位信息可相互轉(zhuǎn)化,由于輸出粒子束的量子波動包含了相對相位信息,通過貝葉斯方法和光子計(jì)數(shù)能有效利用該信息估計(jì)出相對壓縮角,且估計(jì)精度能準(zhǔn)確地達(dá)到量子克拉美羅界(quantum Cramer-Rao,QCR)下界[20].通過計(jì)算估計(jì)值相對于目標(biāo)值的偏差 δθ,對作用于JPA1的抽運(yùn)源實(shí)施 2δθ的壓縮角校正,使得兩路單模壓縮態(tài)壓縮方向相對正交,此時(shí)可制備糾纏性能最優(yōu)的路徑糾纏微波信號.

4 參數(shù)估計(jì)與性能分析

壓縮態(tài)微波場s1與s2的量子態(tài)表示為|ξ1〉與|ξ2〉,其中ξ1=r1,ξ2=r2eiθ表示信號s2相對于s1的壓縮角為θ,為簡化分析記r1=r2=r.當(dāng)兩路信號通過180°混合環(huán)時(shí),其輸入輸出關(guān)系可表示為

其中BBS表示散射矩陣,β描述分束器的功分比例.Yurke等[21]指出分束器的作用可通過角動量算符來表征,由此對任意輸入的雙模量子態(tài)|in〉BS,經(jīng)過分束器后的輸出量子態(tài)可表示為

則在輸出端測量到粒子數(shù)為Nc和Nd的條件概率為

令N=Nc+Nd為系統(tǒng)總光子數(shù),μ= (Nc-Nd)/2 ,則(6)式可推導(dǎo)如下：

當(dāng)利用超導(dǎo)180°混合環(huán)作為該方案的微波分束器時(shí),參數(shù)β= π/2 .由貝葉斯理論可求解相對壓縮角θ的后驗(yàn)概率密度分布函數(shù)：

P(θ)表示先驗(yàn)概率密度函數(shù),由于初始狀態(tài)對θ無任何可參考已知信息,因此可認(rèn)為θ在 [0,π) 上均勻分 布,即P(θ)=1/π(0≤θ＜π);P(Nc,Nd) 可 設(shè)為一個(gè)固定的歸一化常數(shù),表示多次計(jì)數(shù)中光子數(shù)分別為Nc,Nd的概率,則即為待估計(jì)的相對壓縮角.

圖4定性分析了壓縮度r1=r2=1 、初始相對壓縮角為0的條件下壓縮角鎖定前后微波分束器輸出特性.圖4中上下兩部分分別描述了鎖定前后180°混合環(huán)兩路輸出信號正交分量的Wigner函數(shù)分布特性,由圖4可知,當(dāng)相對壓縮角為0,即未鎖定時(shí),輸出信號正交分量的Wigner函數(shù)分布表現(xiàn)為熱態(tài),不存在明顯關(guān)聯(lián),未表現(xiàn)糾纏特性;當(dāng)相對壓縮角鎖定為 π 時(shí),輸出Wigner函數(shù)分布表現(xiàn)為壓縮態(tài),且兩路信號正交X分量為正關(guān)聯(lián),Y分量為反關(guān)聯(lián),符合路徑糾纏信號幅度糾纏判定條件,即輸出糾纏.

負(fù)值度(negativity)是Zyczkowski等[22]提出的定量計(jì)算糾纏的度量指標(biāo),之后在此基礎(chǔ)上發(fā)展了對數(shù)負(fù)度(logarithmic negativity)[23].對于基于單模壓縮態(tài)與超導(dǎo)180°混合環(huán)的糾纏制備方案,其對數(shù)負(fù)度可表示為

圖5刻畫了不同壓縮度條件下任意壓縮角鎖定前后超導(dǎo)180°混合環(huán)輸出的糾纏度對比.由圖5可知：隨著初始相對壓縮角的增加,糾纏度增大,且在初始相對壓縮角為 π 時(shí),即兩路輸入信號相互正交時(shí)達(dá)到最大值,進(jìn)一步驗(yàn)證了相對壓縮角鎖定控制方程;任意初始相對壓縮角均可通過鎖定方案使得輸出為糾纏度最大的路徑糾纏微波信號;輸入單模壓縮態(tài)的壓縮度越大,鎖定后的輸出糾纏度越高,幅度糾纏特性越明顯.

此外,該方案的可操作性方面,相對于Fedorov等[10]的設(shè)計(jì)方案,基于微波光子計(jì)數(shù)的壓縮角鎖定方案無需將信號放大到常溫狀態(tài),在超低溫條件下(制備溫度)即可探測,簡化了溫度控制系統(tǒng),同時(shí)超低溫環(huán)境減少了探測過程中的噪聲引入,效率更高;且由于信息處理過程將壓縮角信息簡化為相對壓縮角,則只需對一路JPA的抽運(yùn)源進(jìn)行反饋校正,降低了操作難度與復(fù)雜度.

圖4 相對壓縮角鎖定前后輸出特性Fig.4.Output properties before and after locking squeezing angle.

圖5 相對壓縮角鎖定前后輸出糾纏度(實(shí)線,鎖定前;虛線,鎖定后)Fig.5.Degree of output entanglement before and after locking squeezing angle (real line,before locking;dashed line,after locking).

5 結(jié) 論

本文針對兩路單模壓縮態(tài)制備糾纏現(xiàn)存問題,研究了超導(dǎo)180°混合環(huán)輸入的壓縮角鎖定問題.利用微波光子計(jì)數(shù)器進(jìn)行接收,根據(jù)貝葉斯準(zhǔn)則估計(jì)相對壓縮角并解算壓縮角校正信息反饋給JPA抽運(yùn)源,實(shí)現(xiàn)壓縮角的鎖定.該技術(shù)利用微波光子計(jì)數(shù)器進(jìn)行接收,探測效率遠(yuǎn)高于JPA放大技術(shù).同時(shí)探測在超低溫條件下進(jìn)行,既簡化了溫度控制系統(tǒng)又減少了探測噪聲.此外,利用貝葉斯準(zhǔn)則估計(jì)相對壓縮角,其精度可達(dá)QCR下界.該研究將有效提升糾纏微波制備的糾纏性能,且對糾纏微波源的設(shè)計(jì)提供了理論參考.