基于BIC停止準(zhǔn)則的改進(jìn)A*OMP信道估計(jì)算法

趙錦航 劉健均 周思源 譚國(guó)平

(河海大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息學(xué)院 江蘇 南京 211100)

0 引 言

隨著高速鐵路的發(fā)展，乘坐高鐵出行成為了越來(lái)越多人的選擇，移動(dòng)臺(tái)在高速移動(dòng)的場(chǎng)景下出現(xiàn)的頻率與日俱增，在高速移動(dòng)的場(chǎng)景下表現(xiàn)的更加明顯[1-2]。由于多普勒頻移的影響，對(duì)OFDM(正交頻分復(fù)用)系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生嚴(yán)重的載波間干擾。為彌補(bǔ)該缺陷影響，需要對(duì)高速移動(dòng)通信信道進(jìn)行準(zhǔn)確的信道估計(jì)，然后通過(guò)均衡算法補(bǔ)償多普勒頻移帶來(lái)的影響，從而保障通信鏈路的質(zhì)量需求。由于OFDM技術(shù)自身的優(yōu)點(diǎn)，具有抗窄帶干擾、高頻譜利用率和抗多徑衰落等，在4G移動(dòng)通信系統(tǒng)中得到了極大的關(guān)注[3-4]。4G移動(dòng)通信具有通信速度快、網(wǎng)絡(luò)頻譜寬、兼容性好等諸多優(yōu)點(diǎn)，但是也面臨許多技術(shù)上的難點(diǎn)，例如，在城市密集地區(qū)、高速移動(dòng)場(chǎng)景、障礙物較多的情況下如何保證信號(hào)傳輸質(zhì)量等問(wèn)題。

為了能夠恢復(fù)發(fā)送信號(hào)，信道估計(jì)是實(shí)現(xiàn)高質(zhì)量無(wú)線通信的前提條件。信道估計(jì)方法大致可分為三類[5-6]：(1) 盲信道估計(jì)方法，主要是根據(jù)傳輸符號(hào)自身的特點(diǎn)進(jìn)行估計(jì)，實(shí)現(xiàn)難度大、復(fù)雜度較高；(2) 基于導(dǎo)頻的信道估計(jì)方法，具體做法是事先將導(dǎo)頻信號(hào)嵌入在發(fā)送信號(hào)中，在接收端先在導(dǎo)頻位置估計(jì)出信道響應(yīng)，然后通過(guò)相應(yīng)的算法獲得全部的信息，這種方法簡(jiǎn)單便捷，得到了廣泛的使用；(3) 半盲信道估計(jì)方法通常結(jié)合了另外兩種方法的長(zhǎng)處，是兩者的折衷。傳統(tǒng)的信道估計(jì)方法中，以最小二乘LS(Least Square)法最為常見，其次還有最小均方誤差MMSE估計(jì)等算法[7-12]作為典型代表。這些方法或多或少都有不足之處，如LS估計(jì)方法沒有考慮到信道的噪聲，MMSE估計(jì)方法中算法復(fù)雜度較高。因此，結(jié)合高速移動(dòng)的場(chǎng)景，尋找更為合適的信道估計(jì)方法成為了當(dāng)下研究的熱點(diǎn)。傳統(tǒng)的信道估計(jì)沒有考慮到信道的稀疏特性，隨著壓縮感知技術(shù)的興起，將壓縮感知技術(shù)與信道估計(jì)相結(jié)合成為了新的研究方向。

壓縮感知技術(shù)最早是由Donoho等[13-14]提出的，區(qū)別于傳統(tǒng)的采樣方法，突破了奈奎斯特采樣定理的限制，根據(jù)信號(hào)的稀疏特性，利用更少的采樣數(shù)據(jù)恢復(fù)出原始信號(hào)。在2008年，多篇關(guān)于壓縮感知理論的文獻(xiàn)相繼發(fā)表[9-10]，奠定了壓縮感知的理論基礎(chǔ)。壓縮感知有三個(gè)重要的關(guān)鍵技術(shù)：信號(hào)的稀疏表示、測(cè)量矩陣的構(gòu)造和恢復(fù)算法。

根據(jù)大量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析表明，雖然多徑效應(yīng)對(duì)信號(hào)造成了一定影響，但是只有少數(shù)路徑的分量對(duì)最終的接收信號(hào)起到了關(guān)鍵作用，即無(wú)線多徑信道存在稀疏性。這種稀疏特性在某些特定的場(chǎng)景下更為突出，如周期長(zhǎng)、傳輸帶寬大以及多輸入多輸出的情況下，這種稀疏多徑信道的傳播路徑通常具有可分辨性。基于多徑信道的稀疏性這一特點(diǎn)，越來(lái)越多的研究人員開始將壓縮感知相關(guān)理論知識(shí)應(yīng)用在信道估計(jì)這一關(guān)鍵問(wèn)題上。相較于傳統(tǒng)的信道估計(jì)，基于壓縮感知的信道估計(jì)算法能很好地利用移動(dòng)通信信道固有的稀疏性特征，從而比傳統(tǒng)算法能更好地滿足信道估計(jì)性能要求。因此，利用無(wú)線信道的稀疏特性，對(duì)高速移動(dòng)OFDM系統(tǒng)進(jìn)行信道估計(jì)研究，對(duì)通信鏈路質(zhì)量的提升有著重大的意義。常見的恢復(fù)算法一般分為兩種：一種是凸優(yōu)化方法，另一種是貪婪算法[15]。在貪婪算法中，OMP(正交匹配追蹤)算法在信道估計(jì)中得到了廣泛的研究和使用。鑒于OMP算法在每次迭代中選取的僅是局部最優(yōu)，A*OMP算法在OMP算法的基礎(chǔ)上進(jìn)一步擴(kuò)展，作為一種最佳優(yōu)先搜索算法，為尋找全局最優(yōu)解提供了一種新的解決方案[16]。然而，研究進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，當(dāng)在滿足稀疏特性的信道中應(yīng)用A*OMP進(jìn)行信道估計(jì)時(shí)，消耗資源較多、性能也不夠穩(wěn)定[17]。

本文闡述了壓縮感知算法在信道估計(jì)中的適用性，并建立了相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。針對(duì)傳統(tǒng)的A*OMP算法中的停止準(zhǔn)則不適用于高速移動(dòng)通信場(chǎng)景下信道估計(jì)的缺陷，提出了基于BIC停止準(zhǔn)則的改進(jìn)A*OMP信道估計(jì)算法，并從BER(比特出錯(cuò)率)和NMSE(歸一化均方誤差)等角度對(duì)該算法進(jìn)行了相應(yīng)的分析。

1 系統(tǒng)模型

在OFDM中，設(shè)子載波的個(gè)數(shù)為K，根據(jù)多普勒延時(shí)擴(kuò)展函數(shù)，我們可以將時(shí)域的信道沖激響應(yīng)表示為：

(1)

式中：hm為第m條路徑的信道增益；fm為第m條路徑的多普勒頻移。為了構(gòu)造壓縮感知的字典矩陣，我們將延時(shí)和多普勒頻移進(jìn)行采樣，間隔分別為Δτ和Δf,τ0和f0為參考延時(shí)和多普勒頻移，設(shè)L和D是延時(shí)分量數(shù)目和多普勒頻移分量數(shù)目，因此第l個(gè)延時(shí)分量和第d個(gè)多普勒頻移分量分別為：

τ1=τ0+l·τl=0,1,…,L-1

fd=f0+d·fd=0,1,…,D-1

s.t.

τ0+(L-1)·τ≥τmax

f0≤-fmax

f0+(D-1)·f≥fmax

(2)

式中：τmax和fmax是根據(jù)WINNER Ⅱ產(chǎn)生的最大時(shí)延和多普勒頻移。設(shè)系統(tǒng)的帶寬為B，采樣頻率為Ts=1/B，OFDM中子載波的個(gè)數(shù)為K，那么令：

(3)

Λf,d=diag{[eω0，eω1，…，eω(K-1)]}

(4)

Λτ，l=diag{[eμ0,eμ1,…，eμ(K-1)]}

(5)

因此，在不考慮噪聲的情況下時(shí)域里的接收信號(hào)可以用矩陣表示為：

(6)

式中：x為發(fā)送信號(hào);Cτ,l為時(shí)域循環(huán)矩陣，Cτ,l=FΛτ,lFH,F∈CK×K是離散傅里葉矩陣，那么頻域里的接收信號(hào)表示為：

(7)

根據(jù)OFDM系統(tǒng)的特點(diǎn)可知，發(fā)送的數(shù)據(jù)中包含了導(dǎo)頻信號(hào)，因此可以將發(fā)送信號(hào)寫成以下形式：

X=XD+XP

(8)

因此式(7)又可以寫成：

(9)

為了方便研究，我們可以將式(9)簡(jiǎn)化為：

YF=ADb+APb

(10)

令：f(x)=Cf,d(x),g(x)=Λτ,l(x),M=DL-1，得

AD=(f(0)g(0)XD，…，f(M)g(M)XD)

AP=(f(0)g(0)XP，…，f(M)g(M)XP)

b=(β[0,0]，…，β[L-1,D-1])T

(11)

設(shè)導(dǎo)頻的個(gè)數(shù)為Np，導(dǎo)頻的位置為P={p0,p1,…,pNP-1}，代入式(10)中：

(12)

Y=Ab+iD

(13)

2 算法設(shè)計(jì)

A*OMP算法是以A*搜索為基礎(chǔ) 的算法，是一個(gè)最佳優(yōu)先搜索的算法。A*OMP算法是在OMP算法中的每次迭代中將最佳路徑優(yōu)先擴(kuò)展，因此可以改善單一路徑搜索的缺陷。該算法是一種偽貪婪的算法。

A*OMP算法通過(guò)每次迭代將節(jié)點(diǎn)構(gòu)建成A*搜索樹，這些節(jié)點(diǎn)是字典的原子(列索引)。每一條從根節(jié)點(diǎn)到葉子結(jié)點(diǎn)的路徑表示字典原子的子集。如果一條路徑有K個(gè)節(jié)點(diǎn)(信號(hào)是K-稀疏)的話，那么就說(shuō)這條路徑是完整的，如果小于K則稱是部分路徑。A*搜索樹初始化時(shí)初始所有可能的單一路徑節(jié)點(diǎn)，每次迭代的時(shí)候選擇最有可能的路徑，并添加所有的子節(jié)點(diǎn)到搜索樹中。當(dāng)最有可能的路徑被找到后，迭代終止。

OMP算法受到RIP(有限等距性質(zhì))性質(zhì)所限制，但是對(duì)于A*OMP算法來(lái)說(shuō)能夠降低限制要求，增加找到最佳路徑的可能性，這條路徑不會(huì)因?yàn)樽值渚仃囍械木€性相關(guān)性所改變。理想情況下，為了正確地評(píng)估每一條路徑，輔助函數(shù)應(yīng)該模仿殘差衰減的趨勢(shì)，因此文獻(xiàn)[16，19]中給出了多種路徑評(píng)估模型。

在典型的A*搜索中，每次迭代時(shí)將樹的子節(jié)點(diǎn)添加至當(dāng)前最優(yōu)路徑中。但是在實(shí)際場(chǎng)景中，會(huì)導(dǎo)致搜索路徑太多，因?yàn)榭赡艿淖庸?jié)點(diǎn)太多了。令已被選取的部分路徑的長(zhǎng)度為l，則剩余子節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)是N-l個(gè)，由于l

(1) 路徑已搜索完畢，即達(dá)到了信號(hào)的最大稀疏度；

(2) 殘差足夠小。

由于A*OMP選擇了多條路徑來(lái)進(jìn)行分析，在實(shí)際的信道估計(jì)中，起到主要作用的只是某幾條路徑，所以過(guò)多的搜索以滿足殘差足夠小這一條件，不僅會(huì)造成資源的浪費(fèi)，同時(shí)也會(huì)帶來(lái)意想不到的錯(cuò)誤。因此在改進(jìn)此算法的時(shí)候，將貝葉斯信息準(zhǔn)則(BIC)[17]與A*OMP算法相結(jié)合,可以改善A*OMP算法的不足之處。基于BIC的A*OMP算法步驟見算法1。

算法1基于BIC的 A*OMP算法

輸入：字典矩陣A，觀測(cè)向量y。

定義：P為搜索路徑總數(shù)，I為初始化路徑數(shù)目，B為每次迭代擴(kuò)展的路徑，ri是第i條路徑的殘差，Ti是第i條路徑的索引集合。

算法步驟：

(1) 令：Ti=φ,ri=y,?i=1,2,…,P,b={1},p=0觀測(cè)向量與字典矩陣A中每一列進(jìn)行內(nèi)積運(yùn)算，并取出絕對(duì)值最大的I條列向量索引，即：

(2) 開始初始化L條路徑，求得每條路徑的殘差和路徑評(píng)估函數(shù)；

(3) 迭代開始，選擇第b條路徑開始擴(kuò)展，當(dāng)b=φ時(shí)，

(4) 擴(kuò)展B條路徑，迭代Fori=1 toB

求當(dāng)前估計(jì)值

更新殘差

式中：A是字典矩陣。

改進(jìn)之后，不僅可以使結(jié)果接近全局最優(yōu)解，同時(shí)又避免了過(guò)多的搜索造成的浪費(fèi)以及不可預(yù)知的錯(cuò)誤。

(5) 開始剪枝，如果當(dāng)前路徑的評(píng)估值小于評(píng)估值最大的路徑，那么將最大評(píng)估值的路徑替換掉，并重新更新評(píng)估值最大的路徑即：

(6) 在擴(kuò)展完B條路徑后選擇當(dāng)前評(píng)估值最小(即最佳路徑)再次進(jìn)行擴(kuò)展

(7) 直到滿足迭代停止條件，返回索引集合Tb

輸出：索引集合Tb。

3 仿真結(jié)果與分析

本文采用了WINNERⅡ信道模型，采用WINNERⅡ系統(tǒng)級(jí)別仿真。由于考慮到的是高速移動(dòng)場(chǎng)景下，OFDM系統(tǒng)的性能表現(xiàn)，因此選擇了WINNERⅡ信道模型中的D2a場(chǎng)景。

D2a有一種典型商用移動(dòng)通信系統(tǒng)布局場(chǎng)景：當(dāng)基站天線與軌道相距50 m左右，天線高度30 m，火車的高度(即移動(dòng)臺(tái)和中繼站的高度)為2.5 m。在仿真中我們考慮的是整個(gè)系統(tǒng)的性能即進(jìn)行的是系統(tǒng)級(jí)別的仿真，重點(diǎn)考慮數(shù)據(jù)傳輸?shù)馁|(zhì)量，仿真中用的OFDM系統(tǒng)的參數(shù)設(shè)置如表1所示。

表1 仿真主要參數(shù)設(shè)置

本文在分析NMSE指標(biāo)時(shí)，參照了文獻(xiàn)[18]定義了4個(gè)不同的NMSE：系統(tǒng)的總NMSE(NMSET)、錯(cuò)誤估計(jì)的NMSE(NMSEF)、遺漏估計(jì)的NMSE(NMSEL)、正確估計(jì)的NMSE(NMSED)。我們可以結(jié)合某一次信道估計(jì)仿真結(jié)果進(jìn)行說(shuō)明，如圖1所示。在圖中顯示的是壓縮感知方法估計(jì)的和WINNERⅡ信道真實(shí)的信道抽頭系數(shù)，可以較為明顯地看到三種不同的估計(jì)情形：(1) 估計(jì)的和真實(shí)的均存在，稱為正確估計(jì)；(2) 估計(jì)結(jié)果不存在抽頭系數(shù)，而實(shí)際存在的，稱為遺漏估計(jì)；(3) 估計(jì)結(jié)果存在抽頭系數(shù)，而實(shí)際不存在的，稱為錯(cuò)誤估計(jì)。那么NMSET可以用公式表示為：

(14)

圖1 OMP的信道估計(jì)方法估計(jì)結(jié)果示例

圖2是停止條件對(duì)A*OMP算法BER的影響，采用了BIC停止準(zhǔn)則之后，系統(tǒng)的性能有了極大的飛躍。當(dāng)信噪比大于12 dB時(shí)，原來(lái)的停止條件已經(jīng)不能夠使系統(tǒng)正確地估計(jì)出系統(tǒng)的信道系數(shù)，BER不減反增，導(dǎo)致性能極差，而使用BIC停止準(zhǔn)則，系統(tǒng)的BER隨著Eb/N0的增大而減小，并逐漸趨于穩(wěn)定。

圖2 停止條件對(duì)A*OMP算法BER的影響

在圖3中，可以看到，由于原來(lái)的停止準(zhǔn)則主要考慮到殘差，當(dāng)殘差足夠小或迭代次數(shù)達(dá)到稀疏度時(shí)迭代停止，這就導(dǎo)致了使用原來(lái)的停止準(zhǔn)則，估計(jì)出的信道系數(shù)比采用BIC停止準(zhǔn)則的多。在NMSEL的表現(xiàn)上，原來(lái)的停止準(zhǔn)則優(yōu)于采用BIC停止準(zhǔn)則；然而過(guò)多的估計(jì)會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤的估計(jì)，原停止準(zhǔn)則的NMSEF要大于BIC停止準(zhǔn)則；當(dāng)信噪比越來(lái)越大時(shí)，采用BIC準(zhǔn)則很快就能估計(jì)到主要路徑的信道系數(shù)，而原停止準(zhǔn)則下的算法還在為了使殘差變小而進(jìn)行運(yùn)算，導(dǎo)致了NMSED不增反減。綜合以上的分析，原停止準(zhǔn)則下的NMSET整體上不如BIC停止準(zhǔn)則下的，甚至在高信噪比情況下，不減反增。因此，在信道估計(jì)場(chǎng)景下，BIC停止準(zhǔn)則比原停止準(zhǔn)則更適合。

圖3 停止條件對(duì)A*OMP算法NMSE的影響

在確定了BIC停止準(zhǔn)則之后，我們將A*OMP算法與OMP算法相比較。由圖4可以看出，基于BIC停止準(zhǔn)則的A*OMP改進(jìn)信道估計(jì)算法在誤碼率上有了一定的降低，當(dāng)信噪比逐漸變大時(shí)，系統(tǒng)性能趨于穩(wěn)定，基于BIC停止準(zhǔn)則的A*OMP改進(jìn)信道估計(jì)算法的性能始終比OMP算法效果好，尤其是在低信噪比時(shí)，如圖5所示，誤碼率在10-1時(shí)有0.5 dB的提升。因?yàn)樵贐IC停止準(zhǔn)則的A*OMP改進(jìn)信道估計(jì)算法中，我們選取了多組字典矩陣中的列向量組合，尋找全局最優(yōu)解，這比每次尋找局部最優(yōu)解要精確得多，因此在BER表現(xiàn)上，基于BIC停止準(zhǔn)則的A*OMP改進(jìn)信道估計(jì)算優(yōu)于OMP的信道估計(jì)方法。

圖4 基于BIC停止準(zhǔn)則的A*OMP改進(jìn)信道估計(jì)算法BER對(duì)比圖(0～20 dB)

從圖6中可以看到，當(dāng)移動(dòng)速度越快時(shí)，系統(tǒng)的誤碼率隨之逐漸變高，但是基于BIC停止準(zhǔn)則的A*OMP改進(jìn)信道估計(jì)算法的性能隨著移動(dòng)臺(tái)的速度提高而變得更好。當(dāng)移動(dòng)臺(tái)速度變低時(shí)，系統(tǒng)只在較低信噪比時(shí)有一定的提升；當(dāng)移動(dòng)臺(tái)速度變高時(shí)，如350 km/h時(shí)，基于BIC停止準(zhǔn)則的A*OMP改進(jìn)信道估計(jì)算法對(duì)系統(tǒng)性能提升更為明顯。

圖6 移動(dòng)速度對(duì)基于A*OMP算法BER的影響

4 結(jié) 語(yǔ)

仿真結(jié)果表明，基于BIC停止準(zhǔn)則的A*OMP改進(jìn)信道估計(jì)算法更適合于信道估計(jì)場(chǎng)景，在信噪比大于12 dB時(shí)，原有停止準(zhǔn)則已經(jīng)不能夠有效進(jìn)行信道估計(jì)，并且錯(cuò)誤的估計(jì)越來(lái)越多。隨著移動(dòng)速度的提升，算法的性能越來(lái)越好，在350 km/h的場(chǎng)景下，與OMP算法相比，約有0.5 dB的性能提升。