考慮中心距變化的船用人字齒輪嚙合動力學特性分析

魏 維，郭文勇，吳新躍，吳啟豪

(海軍工程大學 動力工程學院，湖北 武漢 430033)

0 引 言

人字齒輪憑借其承載力大、軸向力相互抵消以及傳動平穩等特點，在船舶傳動系統中得到了廣泛的應用，而其動態特性是衡量設計優劣的重要指標之一[1]。在實際傳動過程中，人字齒輪很難達到理想嚙合條件而會造成嚙合沖擊的出現，影響因素有制造和安裝誤差、輪齒承載間隙以及熱變形等[4]。其中，由于制造和安裝誤差以及齒輪軸頸渦動導致的嚙合中心距的改變，也會影響齒側間隙的改變，進而產生嚙合沖擊[5]。因而開展人字齒輪嚙合響應的分析研究，對降低齒輪噪聲、提高系統疲勞壽命有著積極的意義。

已有的研究雖然對造成齒輪嚙合沖擊的因素進行了較為深入的探討，但有關考慮中心距變化對嚙合沖擊造成影響的研究相對較少。為此，本文主要研究齒輪嚙合中心距變化的影響，在不考慮嚙合誤差和彈流潤滑的情況下，建立齒輪系統的動力學模型，并通過動力學仿真軟件ADAMS得到中心距變化對齒輪副動力學特性的影響，為合理選擇軸承配合公差，進一步改善艦船用齒輪傳動系統動態特性提供參考。

1 齒輪嚙合動力學模型

在不考慮輪齒承載變形以及加工誤差的條件下，輪齒嚙合過程中，由于齒輪副的中心距改變，使輪齒嚙合產生基節誤差，如圖1所示，圖1（a）中齒輪處于標準嚙合狀態，中心距等于兩齒輪分度圓半徑之和，齒輪能夠平穩傳動。圖1（b）中，實際中心距大于標準中心距，當輪齒進入嚙合時，實際嚙合起始點偏離理論嚙合起始點，引起嚙入沖擊，同理在嚙出時也會產生嚙出沖擊。齒輪嚙合產生的沖擊激勵是齒輪傳動系統的內部激勵源之一[8]。

圖 1 齒輪嚙合狀態示意圖Fig. 1 Schematic diagram of gear meshing

分析齒輪嚙合沖擊時，可以把嚙合齒輪對簡化為一振動模型，如圖2所示。這種模型不考慮齒輪的橫向振動，只考慮齒輪副的扭轉振動。該模型中，為嚙合齒輪對等效質量，阻尼系數為，齒輪系統嚙合剛度為，定義相對位移為，振動加速度、速度和位移分別為，定義齒輪綜合誤差，包括齒形誤差和基節誤差為，外部系統載荷為，則其非線性嚙合動力學方程可表示為：

改寫方程，同時忽略相對位移后有：

圖 2 齒輪嚙合振動模型Fig. 2 Gear meshing vibration model

2 考慮中心距變化的人字齒輪嚙合剛度分析

為方便問題的討論，在分析時引入一些假設：認為齒輪是剛體；無彈流潤滑作用；齒輪制造沒有誤差。雖然假設會對分析結果帶來一定的局限性，但其能對理論分析和仿真進行簡化，使得系統動力特性的闡述簡單明了。

2.1 人字齒輪嚙合剛度激勵

由于在齒輪傳動過程中，同時參與嚙合的輪齒對數隨著時間而周期變化，因而引起了輪齒嚙合剛度的周期變化，從而引起嚙合力的周期變化[9]。與此同時，當嚙合齒輪副的中心距發生變化時，也會導致嚙合剛度的變化。由嚙合剛度變化而引起的動態激勵稱之為剛度激勵[3]。

本文主要研究中心距對嚙合剛度的影響，因此先忽略齒輪傳動中由于嚙合齒輪對不同造成的嚙合剛度的變化，此時理論單齒剛度計算公式為[10]：

斜齒輪的重合度由2部分組成：

圖 3 斜齒輪端面嚙合幾何模型Fig. 3 Geometric model of helical gear end face meshing

結合式（4）、式（5）可整理得到斜齒輪嚙合剛度與嚙合中心距的關系為：

人字齒輪由1組螺旋角旋向相反其他參數相同的斜齒輪組合而成，因而人字齒輪與相對應的斜齒輪的嚙合剛度、重合度的關系為:

2.2 中心距對嚙合剛度、重合度的影響

由于加工誤差、齒輪軸頸渦動等原因，齒輪副的實際中心距會變化。受制于齒輪的設計參數，標準斜齒輪中心距的最小值等于標準嚙合值，計算公式為：

結合式（9）可得：

表1為某型船用齒輪箱人字齒輪副參數。將表中的數據代入式（14）可得：mm，又根據式（12）計算得標準嚙合中心距mm。

表 1 某型船用齒輪箱嚙合齒輪副參數Tab. 1 A certain type of marine gearbox meshing gear pair parameters

由上述計算可知，為保證齒輪能夠連續嚙合，齒輪的中心距范圍是。分別根據齒輪中心距與嚙合剛度及重合度的函數關系繪制曲線如圖4和圖5所示。

由圖中曲線可以看出，隨著中心距的增加，齒輪的重合度和嚙合剛度都在減小，特別是中心距從580 mm減小到580.6 mm時剛度和重合度減小的速度較快，因此在齒輪嚙合傳動時，實際中心距在標準中心距的基礎上有微小的變化就會造成嚙合剛度的迅速變化，進而產生較大的嚙合沖擊。

3 嚙合沖擊動力學仿真計算

圖 4 人字齒輪嚙合剛度與中心距的關系Fig. 4 Relationship between meshing stiffness of herringbone gear and center distance

圖 5 人字齒輪重合度與中心距的關系Fig. 5 The relationship between the coincidence degree of herringbone gear and the center distance

根據表1中的參數利用SolidWorks構建人字齒輪的三維仿真模型，文中對齒輪進行了適當簡化，建模時沒有建立齒輪軸。將齒輪模型導入多體動力學分析軟件ADAMS中，進行人字齒輪的嚙合動力學仿真。齒輪動力學仿真模型如圖6所示，其中小齒輪為主動齒輪，大齒輪為從動齒輪。

圖 6 人字齒輪副動力學仿真模型Fig. 6 Herringbone gear pair dynamics simulation model

3.1 仿真參數設置

在利用ADAMS軟件進行仿真之前需要對模型進行約束定義，確定齒輪間的相對運動關系。圖中的人字齒輪副主要約束設置如下：

1）兩人字齒輪與地面間設置為旋轉副；

2）兩齒輪間采用實體-實體接觸約束，模擬齒輪傳動過程中的接觸碰撞；

3）小齒輪作為主動輪，在其旋轉副上添加轉速激勵；

4）大齒輪作為從動輪，在其旋轉副上添加負載力矩。

3.2 仿真結果分析

1）圖7為從動輪（大齒輪）的角速度和角加速度曲線，由曲線可以看出去除初始沖擊，大齒輪角速度和角加速度波動比較平穩。仿真得到的平均角速度為280.54 °/s，傳動比為 0.311 7，理論設計的傳動比為0.311 6，誤差為0.032%，滿足傳動比要求，證明了模型的正確性。

圖 7 大齒輪角速度及角加速度（d=580 mm）Fig. 7 Large gear angular velocity and angular acceleration（d=580 mm）

2）分別設置仿真模型中齒輪的中心距參數為580 mm，580.2 mm，580.4 mm，580.6 mm，580.8 mm 和 581 mm，得到齒輪接觸力的時域和頻域曲線，如圖8（a）～8（f）所示。圖8（a）是在標準嚙合狀態下得到的嚙合力曲線，由時域曲線可以看出嚙合力波動較為平穩，從頻域曲線分析，嚙合具有一定的周期變化，周期是單個輪齒嚙合所需的時間，但周期性此時并不明顯。隨著嚙合中心距的不斷增加，由圖8（b）～8（f）中的時域曲線可以看出嚙合沖擊波動逐漸加劇，通過第1節和第2節的分析可知，齒輪的嚙合剛度、嚙合重合度隨著中心距的增加而減小，會造成嚙合沖擊波動的增加。

3）圖9為齒輪副一階嚙合頻率對應的嚙合力與中心距的關系。由曲線可以看出，中心距由580 mm增加到580.2 mm時，嚙合力從1 886 N迅速增加到了10 700 N，隨后嚙合力隨中心距增加而增加的趨勢逐漸放緩，仿真結果與2.2節中對剛度與中心距關系的分析結論基本一致，驗證了仿真結果的有效性。

4 結 語

圖 8 齒輪接觸力時域及頻域曲線Fig. 8 Gear contact force time domain and frequency domain curve

圖 9 一階嚙合頻率嚙合力與中心距的關系Fig. 9 The relationship between the first-order meshing frequency meshing force and the center distance

本文在齒輪嚙合振動模型的基礎上，理論分析了人字齒輪嚙合剛度、重合度與嚙合中心距的關系，并利用仿真軟件ADAMS進行了齒輪嚙合動力學仿真，得到了齒輪副在不同中心距時的嚙合力時域與頻域曲線。通過對比分析，在不考慮嚙合剛度和彈流潤滑的情況下，可以得到以下結論：

1）嚙合剛度和嚙合重合度會受到嚙合中心距的影響，隨著中心距的增加而減小，且中心距在標準值附近的微小變化會造成嚙合剛度和重合度的較大波動；

2）齒輪嚙合力隨著中心距的增加而增加，從頻域的角度來看，中心距的增加會導致嚙合頻率諧波分量的增加，這會增加系統發生共振的風險，在設計時需要引起注意。

3）中心距在標準值處發生微小變化時，齒輪的1階嚙合頻率嚙合力會發生較大變化，這與嚙合剛度、重合度的變化規律相一致。因此根據本文的分析結果，應從齒輪的設計、加工、安裝等多個方面保證中心距的精度。

4）本文所建立的模型是對真實齒輪副的部分簡化，所建立的模型為剛體，沒有考慮齒輪的彈流潤滑特性以及齒輪的加工誤差，以齒輪副的中心距為影響振動特性的唯一變量進行仿真分析，所得結果與理論分析相一致且符合實際經驗，因此具有一定的參考意義。