基于項目網絡支配和擴散關系的研發項目組合選擇

鄒星琪，楊 青

(北京科技大學東凌經濟管理學院，北京 100083)

1 引言

在市場競爭日益激烈的環境下，企業為了保持其競爭力以實現可持續發展，必須不斷地投入大量的新產品開發項目[1]。在項目規劃階段，企業要識別各種因素所帶來的產品開發機會，并從這些機會中確定合理的項目組合選擇(project portfolio selection)。項目組合包含大量項目且項目間的關系錯綜復雜，一個項目的失敗會對其他項目產生一系列嚴重后果。因此，在項目眾多、依賴性高且資源有限的背景下，如何對項目組合進行評估以確定各研發項目的優先級排序，是決策者面臨的一個首要問題[2]。通過有效的項目組合評估，企業可以更有效地利用組織的資源，使企業的整體利益最大化。

研發項目組合選擇是指在評價準則的約束下，采用定性和定量的評價方法對擬開發項目的重要性進行排序。傳統的項目評估準則主要包括項目的經濟性、開發時間、產品質量等指標[2]，但忽視了從可持續的視角分析研發項目，并由此構建研發項目組合選擇的評價準則。另外，常用的項目評價方法包括概念篩選、概念評分、決策矩陣評估等級等方法[1]，這些方法簡單實用，但忽視了不同評價準則下項目間的相互作用，及其對項目排序的影響。從項目相關性出發分析項目選擇問題，可得到更完善的項目組合選擇模型[3]。同時，項目間交互作用也增加了項目組合選擇問題的復雜性[4]。目前，已有不少學者從項目間的相互作用關系出發研究項目組合的選擇問題。例如，Dickinson等通過量化分析項目間的交互作用，以此研究項目組合的選擇問題，但僅考慮了兩個項目之間相互作用[5]；Stummer等提出考慮多項目間交互作用的項目組合選擇模型，并在收益與資源消耗函數中增加表示項目交互作用程度的映射函數[6]；Stewart提出了基于參考點的多目標項目組合選擇，并運用遺傳算法進行了求解[7]。但是，它們主要采用數學規劃的方法進行建模，忽略了從支配和擴散的角度分析多項目間的交互作用，以及采用復雜網絡的排序方法進行多項目的優先級排序。

研發項目組合選擇需解決兩個關鍵的問題：1)如何確定研發項目評價的準則，并分析不同準則下項目之間的交互作用和依賴關系；2)如何依據這些依賴關系建立更全面、有效的項目評價方法。

新產品開發項目在規劃階段需考慮的因素包括[1]：競爭策略、產品平臺、技術曲線和市場細分等。對于研發項目組合來說，技術在不同項目間的擴散與轉移關系是至關重要的評價準則，有效地實現技術擴散是組織實現創新價值和可持續發展的重要途徑[8]，學者們對此開展了大量相關研究。例如，Wydra探討了技術擴散在提高企業生產率與經濟增長方面的重要性[9]，Jin探討了全球技術擴散和研發協同問題[10]，周汶霏和寧繼鳴采用社會網絡方法分析了創新項目的技術擴散[11]。此外，與技術擴散類似，設計和管理團隊在某一項目中所積累的知識和經驗，也可以擴散到其他的類似項目[12]。項目之間的技術、知識和經驗擴散是使企業整體效益最大化的重要途徑。傳統的項目評價方法忽視了項目之間的擴散關系，以及擴散傳播效應對項目優先級排序的影響。再者，傳統項目評價方法關注的是項目在某準則下指標絕對值的大小(如經濟性、項目開發時間等)，但忽略了不同屬性下項目之間的相對優劣性，這種相對優劣關系表現為項目之間的支配關系[13]。傳統的評估方法通常需要已知每個準則的權重，權重反映了決策者的偏好，而采用支配關系進行項目間比較分析的優點是無需決策者的偏好信息，該方法是無偏好的默認排序方法(Default rankings)。默認排序方法不依賴于決策者的偏好信息，可用于非個性化的排序[13]。

因此，研發項目組合中的各項目之間通過擴散和支配關系構成了一個相互聯系的網絡，該網絡中的“節點”表示項目，網絡中的“邊”表示項目之間的支配和擴散關系。進一步，可采用復雜網絡的相關理論方法，通過對節點和邊的屬性分析，對節點的重要性進行評價。傳統的項目評估方法主要是基于項目在各準則方面的得分值對項目進行排序，實質上從網絡的角度來說，傳統方法關注的是節點屬性，而忽略了網絡節點之間的關聯。對于研發項目組合評價，項目組合網絡中的支配和擴散關系屬性對項目排序有重要的影響。

近年，網絡節點重要性排序研究受到廣泛的關注[14]，不僅因為其重大的理論研究意義，更因為其廣泛的實際應用價值。復雜網絡的節點排序方法包括[14]：基于節點近鄰的排序方法(如度中心性、半局部中心性、k-shell分解等)、基于路徑的排序方法、基于特征向量的排序方法、基于節點轉移和收縮的排序方法。Kitsak于2011年提出的K-shell分解法主要針對無向無權網絡，它通過計算網絡節點的K-shell值進行排序，在此基礎上，Garas等[15]提出了適用于加權網絡的改進K-shell分解法，綜合考慮了節點的度值和節點間的邊權，該方法相較于度值等指標可以更好地反映復雜網絡的特征[15]。

另外，由Google創始人Brin和Page提出的網頁排序算法——PageRank算法可以較好地反映網絡中的轉移特性對排序的影響[16]，2012年，Agryzkov等[17]提出了改進的PageRank算法，由于其綜合了網絡的節點屬性和節點間關系屬性，該方法在網絡節點重要性排序中得到了廣泛的應用，如，Scholz等[13]提出了基于PageRank的產品中心性(優先級)排序算法，但是，該方法將支配關系得到的鄰接矩陣作為轉移矩陣，并認為各節點的屬性值是一樣的。

再者，現有復雜網絡方法的主要不足是不能夠以可視化的方法清晰地展示系統中元素之間的依賴關系。設計結構矩陣(Design Structure Matrix, DSM)是一種描述復雜系統中不同元素間相互依賴關系的可視化工具，自1981年Steward提出DSM方法后，該方法在研發項目管理、復雜系統建模、工程管理等領域得到廣泛的應用，成為一種主流的系統分析工具[18]。DSM主要分為流程、產品和組織DSM[19]，采用這些不同類型的DSM，可以清晰地展示、分析復雜系統中元素間的相互依賴關系。為此，本文采用DSM描述項目支配和擴散網絡。

綜上，本文提出從項目間的支配和擴散關系角度出發，在構建項目支配網絡和擴散網絡的基礎上，開展項目組合的選擇問題研究。本文采用網絡節點的重要度評價方法對研發項目組合選擇問題進行研究，將Scholz等[13]提出的產品中心性(優先級)排序方法拓展到研發項目管理領域，提出了基于復雜網絡的項目優先級排序方法(project priority ranking method，PPRM)，通過構建研發項目組合的支配和擴散網絡，基于DSM方法建立相關的模型，進而采用改進的PageRank算法對項目組合中的各項目進行優先級排序。

與現有方法相比，本文的創新點為：1)從項目間的支配和擴散關系出發研究項目組合的選擇問題，提出了基于復雜網絡的項目優先級排序方法(PPRM)；2)構建了多準則約束下項目的支配關系模型，并采用DSM和K-shell方法建立基于支配網絡的項目影響力模型，該方法更適用于分析項目數量多、項目間相互作用復雜情況下的項目組合選擇問題；3)傳統項目評價方法難以評估項目間的擴散效應，本文建立了考慮項目間多次擴散傳播的綜合擴散概率模型，并綜合項目節點影響力和擴散關系，采用PageRank算法構建了項目優先級排序模型。

2 研發項目組合的評價準則及其相互關系

2.1 研發項目組合的多屬性評價準則

首先，本文構建研發項目組合的多屬性評價準則，既包括通常的項目評價準則(如戰略一致性、經濟性和開發時間等)，也包括研發項目(新產品開發項目)所特有的評價準則(如技術擴散/轉移能力、技術性能的演化和可持續開發等)。

(1)戰略一致性(strategic alignment)。項目組合管理是實現組織戰略的重要途徑，戰略一致性是指項目目標與組織戰略相匹配的程度，可以用項目的目標支持組織的愿景、目標和計劃的程度來測度?；趹鹇砸恢滦缘男庐a品開發項目組合選擇，是組織提升競爭力和可持續發展的重要手段[20]。

(2)經濟性。新產品開發項目的經濟性由研發成本和產品的制造成本等因素決定。研發成本指項目在研發過程中的花費；產品成本決定了企業以特定的銷售量和銷售價格所能夠獲得的利潤多少。為了獲得合理的投資回報，新產品開發項目必須既能夠吸引消費者，開發和生產成本又相對低廉。

(3)開發時間。開發時間決定了企業如何對外部競爭和技術發展做出響應，以及企業能夠多快從研發團隊的努力中獲得經濟回報。

(4)項目間的技術、知識/經驗的擴散(diffusion)效應。技術擴散關系是指某些關鍵技術或組織過程資產，在相關項目之間的轉化、轉移過程。新產品開發項目包括：全新產品、平臺產品(項目)與衍生品。平臺產品是指由一系列產品共享的一整套資產(如可共享的部件/組件)，一個有效的平臺可以更快更容易地制造出許多衍生品，每種衍生產品提供一個特定細分市場所需要的特點和功能[1]。由于平臺開發項目在時間和資金上的消耗是衍生品的數倍，企業不可能使每個項目都成為平臺開發項目。圖1(a)顯示了有效產品平臺的杠桿作用，即在不同階段，項目將從現有平臺還是從全新平臺開發衍生品。產品的技術擴散可分為兩種：1)從平臺產品到衍生品的技術擴散(如平臺B到項目C)；2)不同平臺產品之間的技術擴散(如平臺A與平臺B之間)。

與項目間的技術擴散類似，某一項目在研發過程中所積累的知識和經驗也可擴散到其他項目，進而實現項目的可持續發展[21]。知識/經驗是指組織在項目研發過程中吸取的教訓和學到的知識。根據以往的產品開發項目經驗，團隊和企業能夠更好地開發未來的產品。通過一個個研發項目，可以不斷提高企業的研發能力，開發能力是企業的一項重要組織資產，它使企業可以在未來更高效、更經濟地開發新產品。

圖1 研發項目評價與技術性能相關的特征

(5)技術性能的演化(evolution of technical performance)。技術性能的演化是指隨著時間的推進，項目可獲得技術性能的變化趨勢[1]。如圖1(b)所示，技術性能演化可采用S曲線來描述[22]，S曲線橫軸是時間，縱軸是任何一種重要的性能參數(或性能/成本)。S曲線顯示了一個基本且重要的事實：技術在剛出現時性能相對較低，發展到一定時間之后會快速成長，最后受到一些自然的技術性限制達到成熟，并接近其極限。S曲線捕捉了這種動態的變化，因此，盡管從目前來看，圖1(b)中B項目的技術表現劣于A項目，但從技術性能演化和未來的趨勢來看，B項目優于A項目(即B項目對A項目有支配關系)。

(6)可持續開發(Sustainable development)?？沙掷m開發是指在研發過程中集成環境、社會和經濟方面的因素，通過不斷地考察項目的能力，以傳遞可持續的結果[23]?？沙掷m性包括社會可持續性和環境可持續性，社會可持續性主要關注外部的價值、提升產業鏈的質量、實現社會責任；環境可持續性要求在保護環境資源有效利用的前提下，確保研發項目在執行過程中以可持續的方式使用能源和其他資源。

2.2 項目組合中的支配和擴散關系

在分析項目組合中各項目之間的關系時，可將上述研發項目的評價準則劃分為兩類，即：支配(優劣)關系和擴散關系。

(1)項目之間的支配(優劣)關系

對于研發項目的戰略一致性、可持續開發和技術性能的演化等評價準則，通常可以評估出每個項目在這些方面的具體值，并可直接比較項目間的優劣性，這種優劣關系也稱為支配關系[13]。例如，若項目P1的經濟性優于項目P2，則表明在經濟性方面P1對P2具有支配關系，進一步，由所有項目在經濟性準則下的支配關系構建支配關系網絡，最后，集成各評價準則下的支配關系圖，可構建多準則約束下的項目支配圖(詳見3.1節)。

(2)項目之間的擴散關系

項目組合評價中，項目間的擴散效應包括兩種類型：技術擴散和知識/經驗擴散。技術等方面的擴散關系是研發項目組合的重要特征，擴散是組織實現創新價值和可持續發展的重要途徑。但是，傳統項目評價方法難以評估項目間的擴散效應。為此，本文建立擴散網絡分析項目間的擴散關系(詳見4.1節)。

進一步，本文采用支配網絡和擴散網絡分別描述項目間的支配關系和擴散關系。

3 項目支配網絡建模和基于K-shell的節點重要度評價

3.1 項目支配網絡建模

如前所述，項目組合中不同項目間在戰略一致性、經濟性、開發時間、技術性能演化和可持續開發等方面所表現出的差異，體現了節點間的優劣關系，可采用支配關系來描述。項目支配圖(project domination graph)是以項目為節點、項目間的支配(優劣)關系為“邊”構造的有向加權圖，“邊”的方向體現了項目間的支配方向，“權重”體現了項目間的支配強度。例如圖2(a)，針對項目的經濟性準則，項目組合網絡中的節點屬性值為該項目的收益值，若P1項目的收益水平大于P2項目，這表明在該準則下P1優于P2，稱為P1對P2有支配(domination)關系，則存在一個由P1指向P2的有向邊。

類似地，對戰略一致性、開發時間等評價準則，可構建單一準則下的項目支配圖(圖2(b)和(c))，疊加圖2(a)-(c)，得到多準則下的項目支配圖(見圖2(d))。

圖2 多準則約束下研發項目支配關系圖例

因此，項目支配圖的構造過程為：1)確定項目組合選擇的評價準則A={a1,…,ak,…aM}；2)確定各準則約束下不同項目的得分值，在準則ak下，項目pi和pj的得分值分別記為xk(i)、xk(j)；3)采用式(1)計算偏好函數P(xk(j),xk(i))，在準則ak下，若xk(j)優于xk(i)，記為P(xk(i),xk(j))=1，反之，則為0；4)繪制項目支配圖，若P(xk(i),xk(j))=1，則在項目支配圖中存在一條由pj指向pi的有向邊；反之，則存在一條由pi指向pj的有向邊，由此繪制各準則約束下的項目支配圖(見圖2(a)-(c))，進一步，將這些圖疊加，可得到多準則約束下的項目支配圖(見圖2(d))。

(1)

進一步，得到圖3(a)所示的項目支配圖，其反映了項目間的支配方向和數量。本文假定對不同準則的相對重要度暫不做區分。圖3(a)所示的支配網絡可由圖3(b)所示的DSM矩陣表示。采用DSM法的優點是：其可以簡單、直觀地描述支配網絡中節點之間的關系，如圖3(b)和(d)所示，DSM是一種用來表示系統中元素及其相互作用的結構化建模工具[18-19]，它是一個N×N的方陣(N為系統中的元素個數)，可以直觀地對復雜項目進行可視化分析。

在支配關系DSM中，某項目所在的“列”表示該項目對其他項目的支配關系(即優于其他項目)、“行”表示該項目受到來自其他項目的支配關系(即“劣于”其他項目)。支配關系DSM和支配強度DSM中非對角線的數字，分別表示某項目優于其他項目的準則個數和強度。DSM(i,j)表示矩陣中第i行、第j列的值，例如圖3(b)所示的支配關系DSM，該矩陣第2行1列的DSM(2,1)=2，表示P1在2個評價準則方面優于(支配)P2；該矩陣第1行2列DSM(1,2)=1，表示P1在1個評價準則方面劣于P2。

圖3 支配網絡及相關的設計結構矩陣DSM

進一步，可采用節點的關聯強度(Tie Strength,TS)來測度項目的支配強度，關聯強度可以用從節點i與j之間的依賴關系占節點i所有發送及接受關系的比例來度量[24]。依據支配網絡的特點，本文將節點j對節點i的直接支配強度定義為：節點i被節點j支配關系的個數占節點i與所有關聯節點(即支配與被支配關系)的支配總數量之比。

(2)

式中，N為項目組合中的項目數(即網絡的節點數)，DSM(i,j)表示支配關系DSM中的數值。

項目支配網絡中，任意兩節點之間除了存在直接支配關系外，還有可能通過中間節點pq存在間接支配關系。如圖4所示，節點pj對pi的關聯強度，還需要考慮它們通過共同的節點pq而產生的間接關聯強度，間接關聯體現了復雜網絡中兩節點間的二元嵌入性(dyadic embeddedness)或結構嵌入(structural embeddedness)[24]。Sosa提出了發送源(source)pj對接受者(recipient)pi通過共同的第三方pq而產生的間接關聯測度模型[24]，它等于pj對pq的關聯乘以pq對pi的關聯。

圖4 節點間的間接關聯分析

因此，本文采用DSM構建pj對pi的間接支配強度為：

(3)

上式間接支配強度的計算過程為：如圖3(c)所示，首先，在直接支配強度DSM中pj所在的列，找到其對每一個中間節點pq的支配強度TS(q,j)；然后，找到pq對pi的支配強度TS(i,q)，求TS(q,j)與TS(i,q)之積；對所有節點pq重復上述過程并求累計值，即得到pj對pi的間接支配強度。由直接和間接支配強度，得到pj對pi的綜合支配強度(Combined Tie Strength, CTS)：

(4)

3.2 基于K-shell的網絡節點重要度評價

通常，人們采用“入度中心性”等指標評價網絡中的節點影響力[25]，本文采用“K-shell值”分析項目的影響力。由K-shell法計算得到的節點Ks值，反映了網絡位置對項目節點重要度的影響[14,21]，即如果一個節點在網絡中處于核心位置，則其具有較大的影響力。在此基礎上，Garas等提出了一種針對加權網絡的K-shell分解法，該方法通過同時考慮網絡的權重和度計算節點的加權度值，進而再進行分解計算各個節點的Ks值(等級值)[15]。Garas等提出的加權網絡的加權度值計算公式為：

(5)

式中，K(i)表示第i個節點的度值，wij表示節點i與其鄰接節點j之間連接的權重值，γ和μ為可調參數。

本文的項目支配網絡模型為有向加權網絡，即項目節點之間不僅有支配方向還存在支配強度。與支配方向相關的節點出度和入度反映了其在網絡中的影響力，節點pi的出度表示其指向所有鄰居節點的支配數量，節點pi的入度表示所有鄰居節點指向它的支配數量。以圖3(b)中P1為例，該節點出度(即所在列之和)為6、入度(即所在行之和)為4。因此，項目支配網絡中節點pi的出度KO(i)和入度KI(i)可分別由式(6)和(7)計算得到：

(6)

(7)

類似地，節點的影響力也與節點間的輸出支配強度和輸入支配強度相關。另外，由于項目的收益是項目組合選擇時重要的考慮因素，因此，將其作為K-shell評價時的節點指標。

總之，本文以式(4)得到的節點間綜合支配強度作為支配網絡的邊權，綜合考慮出度、入度、支配強度、被支配強度及經濟性對節點重要度的影響，基于K-shell構建支配網絡中節點重要度計算模型：

(8)

采用K-shell分解法計算網絡節點的Ks值，基本原理[15]為：1)由式(8)計算網絡中所有節點的C(pi)；2)去除項目網絡中C(pi)取值最小的節點，被去除的節點Ks值即為C(pi)中的最小值；3)對剩余節點構成的新網絡重復上述步驟，直至全部節點分解完畢。

上述K-shell分解法得到的Ks值，反映了項目組合網絡中的支配關系對項目排序的影響。進一步，我們分析項目組合網絡的擴散關系，并采用可以綜合反映節點屬性和擴散屬性的PageRank算法對項目組合進行排序分析。

4 項目擴散網絡建模和基于PageRank算法的項目組合排序

4.1 項目擴散網絡建模

如前所述，擴散是指項目的核心技術、知識/經驗在項目組合中不同項目之間的傳播。通常，技術擴散包括從平臺產品到衍生品的技術擴散，以及不同(平臺)產品之間的技術擴散，即技術(或知識/經驗)會從績效高的項目擴散到績效低的項目。通過分析項目之間發生擴散的方向和可能性，可構建項目的擴散網絡。如圖5(a)所示，擴散網絡是有向加權圖，“邊”的方向體現了項目間發生擴散的方向，“邊”的數值(即“權重”)表示技術擴散的概率。與支配關系DSM矩陣類似，由擴散網絡可建立擴散DSM矩陣(見圖5(b))，該矩陣中某項目所在的“列”表示該項目對其他項目的擴散影響(即輸出的技術擴散)、“行”表示該項目受到其他項目的技術擴散影響(即輸入的技術擴散)，非對角線的數字表示項目之間技術擴散的概率。例如，圖5(b)中DSM(2,1)=0.8，表示P1對P2的直接擴散概率為0.8。

圖5 項目之間的技術擴散網絡和DSM矩陣

研發項目組合中的擴散效應不僅可能發生在有著直接聯系的項目之間，也會因為“中介”的存在發生多次擴散，即擴散的傳播[26]。例如圖5(a)中，項目P1的技術以0.5的概率直接擴散到項目P4，而項目P4又以0.3的概率擴散到P2，則表明由于擴散傳播效應，P1經過P4以0.5×0.3的概率間接擴散到P2。因此，在分析項目之間的擴散關系時，需綜合度量直接和間接影響。

圖6 多次擴散傳播下的技術擴散概率DSM

以圖5和圖6所示的技術擴散為例，說明考慮多次擴散傳播時項目間擴散概率的計算原理。圖5(b)為項目間的一次擴散(即直接擴散)概率DSM。本文假定多于三次的擴散傳播對項目之間擴散概率沒有顯著影響[26]，因此，僅考慮二次和三次擴散傳播概率。

(1)二次擴散傳播下，項目間的擴散概率

如圖6(a)所示，技術從項目pj通過中間項目pm擴散到項目pi的二次擴散傳播概率為：

(9)

(2)三次擴散傳播下，項目間的擴散概率

如圖6(b)和(c)所示，p1到p2的三次擴散有兩種路徑，即：無循環的擴散(p1→p4→p3→p2)和有循環的擴散(p1→p2→p4→p2)，因此，項目pj通過任意兩個中間項目pm和pn擴散到項目pi的三次技術擴散傳播概率為：

(10)

(3)項目間的集成擴散概率

同時考慮多次擴散傳播時，項目間的集成擴散概率(STP)為項目pj通過各種可能路徑擴散到pi的概率(見圖6(d))。考慮多次擴散傳播時，從pj到pi集成的擴散概率STP1(pi,pj)為：

(11)

式中，z=1,2,3分別項目之間技術的一次、二次和三次擴散。

同理，由式(11)-(13)，也可得到在考慮多次擴散傳播時，項目間知識/經驗的集成擴散概率STP2(Pi,Pj)。

因此，在技術和知識/經驗擴散的雙重作用下，項目pj到pi的綜合擴散概率T為：

(12)

式中，l表示項目之間可能發生的兩種類型擴散。

4.2 基于PageRank的研發項目優先級排序

在項目節點屬性和擴散關系屬性分析的基礎上，為綜合反映兩者對項目優先級排序的影響，本文采用改進的PageRank算法構建項目組合中的項目優先級排序模型，以評價多準則約束下研發項目的相對重要性。

(1)PageRank算法

經典的針對網頁的PageRank排序算法主要關注網絡中節點之間的轉移關系：

(13)

式中，p1,p2,…,pN表示考慮的網頁，M(pi)表示與pi鏈接的網頁集，L(pj)表示與pj鏈接的網頁數量，N是總的網頁數量，d為阻尼系數，通常取0.85。

由式(13)可見，PageRank算法通常由節點屬性和轉移關系屬性兩部分所組成，在Scholz 等提出基于PageRank算法的產品節點重要度計算模型中[13]，將節點間的支配關系描述為轉移關系，而將節點的屬性關系用1/N計算，該模型的主要不足是：一方面，該模型簡化了節點的屬性，另外，也忽略了真正的轉移關系。

實際上，在項目組合網絡中，擴散關系可以更好地體現節點間的轉移關系，支配關系能夠更好地反映節點屬性，因此，本文以改進的PageRank算法為基礎，依據前述對研發項目組合優先級排序問題的分析，綜合考慮項目間的支配關系(節點影響力)和擴散關系，構建研發項目的優先級矩陣：

M=(1-α)×T+α×C

(14)

式中，T表示由擴散網絡得到的項目綜合擴散矩陣(見式(14))，C表示由支配網絡得到的項目節點影響力矩陣，該矩陣由式(8)得到的C(pi)按列重復N次得到[27]，上述兩個矩陣需對其按“列”做歸一化處理。本文取α=0.15。

(2)項目優先級排序

從項目優先級矩陣M的構造可知，該矩陣為非負矩陣，且列和為1，因此矩陣M又稱為列隨機矩陣。由Perron-Frobenius定理[13,27]，可知矩陣M需滿足以下性質：1)M的最大特征值λ*有且僅有一個對應的特征向量；2)最大特征值λ*所對應的特征向量R的元素均為正實數。

因此，項目優先級排序向量可由式(15)計算得到[13]，即求優先級矩陣M最大特征值λ*對應的特征向量R*:

MR*=λ*R*

(15)

各項目在排序向量R*中的PageRank值體現了項目在組合網絡中被選擇的可能性，即依據本文構建的擴散關系和支配關系模型，項目組合中各項目被選擇的概率。

5 案例分析

以某航空航天企業的新產品開發項目組合為例，驗證本文所提出的模型。該項目組合包含3大系列共8種武器裝備型號的研發，分別用A1、A2、A3、B1、B2、B3、C1和C2表示，其中，A系列為戰略性研發項目，代表了企業未來的發展方向；B系列為戰術性研發項目，是企業現階段的發展方向；C系列中的項目主要是給企業帶來日常的現金流。A1和B1分別為A系列和B系列的平臺產品，A2、A3、B2和B3為其衍生產品。如前所述，該研發項目組合評估時，5個支配關系準則為：戰略一致性、經濟性和開發時間、技術性能的演化和可持續開發；2個擴散關系準則為：項目間的技術擴散、知識/經驗擴散。

首先，構建這些研發項目之間的支配和擴散關系DSM(見圖7)。其中，支配關系DSM反映了在多準則約束下，項目之間的支配關系(優劣性)，例如，A1作為戰略性項目的平臺產品，在戰略一致性和可持續性2個準則方面優于B1，但B1作為現階段正在快速發展的戰術性項目，其經濟性、開發時間和技術表現3個準則方面優于A1，即在支配關系DSM中，DSM(4,1)=2，DSM(1,4)=3。此外，該矩陣也表明A1和B1所在列的數值都比較大，即它們在大多數方面優于其他項目；相反，C2所在列的數值都比較小，表明在大多數方面C2劣于其他項目。各項目的經濟性值分別為(80,120,100,130,90,90,210,40)，其中的數字表示各項目每年的收益額(萬元/年)。式(8)中，γ1=μ1=γ2=μ2=1，ω1=0.2,ω2=0.8，即本文強調出度對節點影響力的影響。

圖7 該項目初始的支配與擴散關系DSM

由式(2)-(4)，得到支配強度DSM，進一步，由式(6)-(8)，得到各項目節點的“K-shell”值，并由此構建各項目的影響力DSM矩陣。

其次，建立初始的(即直接的)技術和知識/經驗擴散DSM(見圖7(b)和(c))。進一步，由式(9)-(12)，得到考慮直接擴散和擴散傳播(即間接擴散)的項目的綜合擴散DSM。最后，在上述節點影響力DSM和項目綜合擴散DSM的基礎上，采用改進的PageRank算法，得到各項目的優先級排序矩陣M，求矩陣M最大特征值對應的特征向量，即可得到該項目組合的優先級排序向量：

R*=(A1,A2,A3,B1,B2,B3,C1,C2)T=(0.584, 0.304, 0.311, 0.569, 0.284, 0.243, 0.077, 0.021)T

可見：1)A1的優先級最高(PageRank值為0.584)，由圖7可知，A1在支配關系和擴散關系方面均較優，分析支配和擴散關系DSM的構造過程可知，A1在戰略一致性和可持續性方面優于所有其他項目；同時，A1有著較強的擴散效應，擴散到其他項目(A系列中的其他項目和其他系列)的概率均較高，因此，A1的優先級最高；2)B1的優先級次之(PageRank值為0.569)，分析支配和擴散關系DSM的構造過程可知，B1在技術表現和項目經濟性方面均優于其他項目，開發時間方面優于A系列，同時，B1的擴散概率劣于A系列但優于C系列。因此，作為該企業現階段的重點發展項目，應在保證B1技術性能的基礎上挖掘其衍生品的研發(提高擴散到其他系列項目的概率)；3)C系列項目的優先序最低，以C1為例，分析其支配和擴散關系DSM可知，C1在戰略一致性、可持續性、技術表現均劣于其他系列，但其在項目經濟性和開發時間部分優于其他系列，同時，C1的擴散能力較差，主要依賴于吸收其他產品的技術、知識/經驗。

本文采用K-shell算法，由項目間的支配關系計算節點影響力；然后，采用PageRank算法，依據擴散關系得到的轉移矩陣，以及K-shell算法得到的影響力矩陣，計算綜合的節點重要度。因此，我們比較兩種方法的項目選擇排序結果，即方法1：僅采用K-shell方法得到的節點影響力，該排序結果也可理解為不考慮擴散傳播情況下的節點重要度；方法2：采用PageRank得到的考慮支配和擴散關系的項目節點綜合影響力。計算結果見圖8。

圖8 K-shell方法與PageRank方法的比較

圖8表明，當僅采用K-shell算法，其強調的是支配關系對節點重要度的影響，例如，對于C1項目，它對其他項目的支配關系比較強，因此僅采用K-shell算法時得到的排序較高(第2)，但是，由于它對其他項目的擴散關系比較弱，因此采用PageRank算法時得到的排序較低(第7)；對于A1項目，由于它對其他項目的擴散關系非常強，因此與僅采用K-shell相比，采用PageRank算法時得到的排序明顯提升。可見，與傳統的僅基于節點重要度的評價方法相比，采用本文提出的項目優先級排序方法(PPRM)，可以更好地反映項目節點的綜合影響力。

為分析不同情況對項目組合排序的影響，開展參數的敏感性分析。首先，分析擴散關系和支配關系對項目排序的影響。式(14)中，不同的α值反映了項目擴散關系(關系屬性)和影響力(節點屬性)對項目優先級排序的影響，基準狀態取α=0.5。由圖9(a)可見，當α取不同值時，某些項目的PageRank值發生了較大變動，例如，當α取值增大時，A系列項目的PageRank值降低，說明擴散關系是影響其排序的主要因素。而對于B1和C1而言，當α取值不斷增加時，其PageRank值不斷增加，說明節點影響力是影響其排序的主要因素。

進一步，式(14)中的α分別取0、0.5和1，它們分別表示項目優先級排序模型構造的三種極端情況：情況1：僅考慮擴散關系；情況2：同時考慮支配和擴散關系；情況3：僅考慮支配關系(即節點影響力)。在三種情況下分別計算項目的PageRank值，排序結果如圖9(b)所示。例如對于C1項目，當僅考慮擴散關系時，其PageRank值很??；當僅考慮支配關系時，其PageRank值相對較高，由此表明，不能僅通過支配或擴散關系進行項目的優先級排序。而傳統項目排序方法主要關注節點的屬性，因此，得到的排序結果不能反映研發項目中的技術和知識/經驗擴散對項目排序的影響。

其次，分析擴散概率對項目優先級排序的影響(α=0.5)，以C1為例，當其概率值比基準值分別提高20%、50%時，各項目的PageRank值的變化見圖9(c)，可見，提高C1的擴散概率會導致其PageRank值增加(同時其他項目的PageRank值降低)，當C1概率增加50%時，其PageRank值超過了A1。因此，若提升C1在項目組合中的擴散效應，可提升其優先序。

圖9 敏感性分析

最后，分析項目支配關系的變化對優先級排序的影響(α=0.5)，以A1為例，當其對其他項目的支配關系分別增加1和增加到5(達到最大值)時，得到項目優先級排序的變動見圖9(d)，可見，若增強項目在組合中的支配能力，可提升其優先序，由此進一步驗證了前面分析中得到的結論(應同時基于支配和擴散關系進行項目優先級排序)。

總之，項目間的支配和擴散關系對項目的優先級排序均有著重要影響。原有方法僅通過節點的重要性指標(如入度中心性)進行項目排序，無法反映擴散關系對項目排序的影響。案例說明采用本文提出的項目優先級排序方法(PPRM)，更能揭示項目間的本質屬性，對實際項目組合選擇有著更強的指導意義。

6 結語

研發項目組合選擇是企業一項重要的戰略決策，如何準確、全面地評價項目組合中各項目的重要性是企業關注的重要問題。本文提出了一種新的項目優先級排序方法(PPRM)，可以更好地反映項目組合網絡中支配和擴散關系對項目排序的影響。PPRM是一種多屬性默認評價方法，可以不依賴于決策者的偏好信息進行優先級排序。該方法分為三步：1)構建體現項目支配關系和強度的項目支配圖，采用DSM和K-shell算法建立項目的節點影響力模型；2)構建項目間技術等方面的擴散網絡，計算考慮多次擴散傳播情況下項目間的綜合擴散概率；3)綜合項目節點影響力和擴散關系，構建基于改進PageRank算法的研發項目優先級排序模型，對項目的優先級進行排序。最后，本文以某航空航天企業的新產品開發項目組合為例，驗證了模型和算法的有效性。

由案例分析可知：1)傳統項目排序方法主要關注節點的屬性，得到的排序結果不能反映研發項目中的技術和知識/經驗擴散對項目排序的影響，本文提出的基于PageRank算法的研發項目優先級排序方法(PPRM)，可更好地反映項目組合中各項目的綜合影響力；2)項目間的支配和擴散關系對項目的優先級排序均有重要的影響，在實際中，項目經理應綜合考慮支配和擴散關系進行項目的選擇；3)提高某一項目在項目組合中的支配或擴散能力，均可提升其優先序，因此，項目經理應首先識別影響優先級變動的主要因素，進而對項目組合進行權衡分析。

在未來的研究中，應進一步從可持續開發的角度構建研發項目評價準則，并由此分析項目之間的關聯；另外，研發項目之間其他類型的擴散(如技術創新的擴散)傳播，也值得做深入的研究。