基于插值法的潮汐預測問題研究

張曉勇

摘 要：該研究通過兩種數學插值方法對某一時間段的潮汐開展實證研究，以此為基礎利用插值函數對潮汐現象進行預測。然后，對潮汐數據進行仿真和模擬處理，構造函數曲線。結果發現：與其他的Lagrange插值法、New-ton插值法等的相比，雖然三次樣條插值方法的計算量是比較繁瑣且龐大的，但是由于它能提高擬合曲線的光滑度，在潮汐變化及預測的應用研究中的效果較好。

關鍵詞：潮汐 Lagrange插值 三次樣條插值

中圖分類號：P731.23 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2019）02（b）-0241-03

Abstract： This paper presents an empirical study of tidal time over a certain period of time using two mathematical interpolation methods， and uses this function as a basis to make predictions using interpolation functions. Then， the tidal data is simulated and simulated and the function curve is constructed. Using Lagrange interpolation and cubic spline interpolation in tidal numerical simulation and prediction， it is found that compared with other Lagrange interpolation methods， New-ton interpolation methods， etc.， although the calculation of cubic spline interpolation method is relatively tedious and Huge， but because it can improve the smoothness of the fitting curve， it works well in applied research of tidal changes and prediction.

Key Words： Tidal； Lagrange interpolation； Cubic spline interpolation

潮汐能是一種清潔、保護環節、對維護生態平衡有重要作用的可再生能源，在工業、農業和國防建設方面有著巨大作用。海岸河口更是有著人口密度大、經濟較為發達和開發程度較高的優勢。即使在現代的科技社會，捕魚、曬鹽仍要利用潮汐漲落的規律，海上的航行，更與潮汐、潮流緊密相關。許多港口大船要等高潮水深時才能夠進駐；航船無論是在海上航行或者是駛離碼頭，都要利用到潮汐的特性。建筑海港，更要考慮潮汐潮流長期的變化規律，使它既不會被淹沒淤塞，又能節約造價成本。這些都說明潮汐的預測和分析對河口海岸和相關的管理部門有著重大的意義。只有對其進行深入研究，我們才能對其更好地進行開發利用。

函數插值在實際生活中的應用非常廣泛，如人口預報問題、潮汐預測、土地勘測、地貌生成技術問題等，研究人員可以通過插值與擬合的基礎知識和計算方法來解決實際問題，運用科學的計算方法和MATLAB實驗來使人們的工作變得更加高效、科學。在現實生活的潮汐預測過程中，就常用到插值的方法。由于監測指標的監測點不可能密布整個潮汐發生區域，同時，區域監測點數量有限、分布不均，一般采用空間插值的手段建立潮汐擬合模型來解決，提高潮汐預測的科學及合理性。

從理論來說，通過對潮汐數據的插值方法的研究，去深入分析不同潮汐類型的物理過程和分潮組成，提出可以應用于不同類型的潮汐數據的插值新方法，具有一定的理論意義。在生活中的其他領域，通過對插值問題的性質與求解方法的研究，可以發現在許多實際問題的解決過程中，經常涉及到大量數據條件下，采取適當的數學方法給出擬合函數的情況。如今我們正身處數據時代之中，解決像這樣的大樣本數據插值問題已經成為時代發展的必經之路。

1 三次樣條插值

插值法能用一個“簡單函數”逼近被計算函數，然后用該簡單函數的函數值近似替代被計算函數的函數值。這是一種重要的數據處理方法，是離散數據的公式化。對于潮汐預測問題來說，由于監測指標的監測點不可能密布整個潮汐發生區域，同時，區域監測點數量有限、分布不均，所以利用多項式插值就可以較為簡便地建立一個潮汐擬合模型來解決，從而提高潮汐預測的科學及合理性。下面，該文把常見的三次樣條插值方法做一個簡單的介紹。

1.1 三次樣條函數的定義

在插值區間[a，b]上取n+1個插值結點

已知函數在這n+1個點的函數值為

則在[a，b]上函數的m次樣條插值函數滿足如下條件：

（1）在（a，b）上直到m-1階導數連續；

（2），k=0，1，2，…，n；

（3）在區間（k=0，1，2，…，n-1）上，是m次多項式。

1.2 三次樣條函數的推導與計算

在[a，b]上函數的三次樣條插值函數滿足：

（1）在（a，b）上0、1、2階導數連續，即：

，，（k=0，1，2，…，n-1）

（2），k=0，1，2，…，n；

（3）在區間（k=0，1，2，…，n-1）上，是三m次多項式。

由二階導數連續，設（k=0，1，2，…，n），mk是未知待定的數。因是分段三次多項式，則在每個區間內是分段一次多項式，記：

則

將上式在區間上積分兩次，并且由等式、可以確定積分常數。當時，

利用一階導數連續的性質，對上式求導可得：

在上式中，令，得：

將上式中的k換成k-1得在上的表達式，將代入，

而聯立上述兩式，得到關于m的方程：

整理可得：

上式中，等式左邊含未知量mk-1、mk、mk+1，等式右邊yk-1、yk、yk+1是已知的，令，

則得：

因為三次樣條插值方法將插值曲線的整體光滑度進行了提高，所以其應用廣泛，但從上述計算過程不難發現，它的計算量是比較繁瑣且龐大的。

2 基于插值方法的潮汐預測

2.1 數據收集及整理

根據中國海事網潮汐實時發布的數據，該課題采集了天津塘沽港口潮汐觀測站2018年4月15日的數據。這里需要說明的是，該研究采集數據的時間步長為1小時（h），超高的單位為厘米（cm）。該課題選取天津塘沽港，作為潮汐現象的試驗區與數據采集地。之所以選取天津塘沽港潮汐現象作為研究對象，主要有以下兩點原因：（1）天津塘沽港潮汐屬于不規則日潮，不規則日潮作為潮汐現象的一種類型具有較多的不確定性，當前的研究尚未明確其變化規律；（2）天津塘沽港潮汐地作為我國海潮的觀測站之一，數據易于采集。

2.2 基于插值方法的潮汐預測

2.2.1 Lagrange插值法

在上述分析的基礎上，該研究基于Lagrange插值法，利用MATLAB2014（b）編寫程序，對天津塘沽潮汐觀測站的數據進行插值計算與數值仿真，所得的仿真結果為：

2.2.2 三次樣條插值法

在上述分析的基礎上，該研究基于三次樣條法，利用MATLAB2012（b）編寫程序，對天津塘沽潮汐觀測站的數據進行插值計算與數值仿真，所得的仿真結果如圖1所示。

從上一節中可以看出，基于Lagrange插值法與三次樣條插值法的天津塘沽港口潮汐仿真與模擬效果存在著較大的差別，主要有以下兩點。

（1）Lagrange插值法的潮汐變化整體走勢基本符合要求，但是在非插值點存在較大的誤差，且在潮汐仿真的尾部出現嚴重的龍格現象，導致預測效果近乎失真；但是，這種的方程較為簡單，并且可以求解。

（2）三次樣條插值法的潮汐變化整體走勢符合要求，與原始的觀測數據幾乎吻合，效果較好；同時，在非插值點存在沒有較大的誤差，且在潮汐仿真的尾部沒有出現龍格現象。但是，三次樣條插值的方程過于復雜，難以用數值軟件進行處理。

2.3 潮汐結果預測

在上述研究結果的基礎上，該研究基于4月15日的觀測數據對4月16日的觀測數據進行了預測。這里由于基于Lagrange插值法的數值仿真效果失真（預測的結果如表1所示），故僅采用三次樣條插值法進行預測，預測結果如表2所示。

從表1與表2中可以看出：基于三次樣條插值法的天津塘沽潮汐預測結果與真實數據相差不大（數值相差不超過15CM），相對誤差的浮動率均在0～5%之間。而，朗格朗日插值法的誤差較大，數據失真（出現嚴重的龍格現象導致）。這一數據分析說明，三次樣條插值的效果相對較好，是一種研究潮汐變化相對較好的函數。

3 研究總結

通過上述研究過程的梳理，該研究主要得出如下一些結論：雖然三次樣條插值方法的計算量是比較繁瑣且龐大的，但是由于它能提高擬合曲線的光滑度，在潮汐變化及預測的研究中具有重要的作用。與其他的Lagrange插值法、New-ton插值法等相比，對潮汐變化數據的仿真與預測效果相對較好。

該研究的不足在于對天津塘沽潮汐變化數據的采集周期相對較短；三次樣條插值的方程難以計算。由于潮汐變化數據的整體變化規律近似于三角函數，基于傅里葉函數的變換與擬合方法，應該更適合于這項研究，但是由于傅里葉變換過程較為繁瑣，還需要數學、地理學、統計學等的專家與學者對傅里葉函數的變換與擬合在潮汐變化仿真與預測進行進一步的深入研究與分析。

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