培養學生建立和運用數學模型的能力

徐燦根

摘 要：數學模型是一種重要的數學思想方法，經歷和建立數學模型既是一個不斷數學化的過程，更重要的是能提高學生解決問題的能力。那么如何在課堂教學中培養學生建立和運用數學模型的能力呢？這是每個數學教師要思考的問題。

關鍵詞：數學化；模型化；問題解決能力

在《義務教育數學課程標準》中，對數學模型思想進行了具體的描述。“模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數學關系和變化規律，求出結果并討論結果的意義。”

我們如何在課堂中有意識地滲透數學模型思想，培養學生建立模型和運用模型解決問題的能力呢？下面就以六年級“抽屜原理”為例，談談在這方面粗淺的認識。

一、現實問題數學化

現實問題有現實性和具體性，這類問題來自于生活，能夠提高學生的學習興趣。而數學來源于生活卻又高于生活，具有很大的概括性和抽象性。要讓學生建立數學模型，必須要把現實的問題數學化，這是建立數學模型的基礎。因此，在課前我為學生提供了大量的富有挑戰性的數學問題。

首先，為激發學生的學習興趣，我們做了一個小游戲。老師轉過身去，班上隨便站起三個學生來讓老師猜，老師一定能猜中。學生當然不信，于是老師就出示猜的結果：在這任意三個人中，至少有兩個人的性別是相同的。

這時，從學生的臉部表情看，一部分人非常肯定，而且有部分學生已經悟出了其中的奧秘。我要求學生用自己的方法來證明老師的猜測。從學生的反饋情況來看，主要有兩種，一種是用圖表示出了結果，我就引導學生用圖把各種現象都表示出來。另一種用語言來描述，他們認為，因為性別只有兩種，如果第一個站起來的是男的，第二個站起來的是女的，那么第三個站起來的肯定是前面兩個中的一個，所以至少有兩個人的性別是相同的。

接下來，我又給學生提供了研究的材料。4個蘋果放入3個盒子中，總能找到1個盒子至少放了兩個蘋果。這句話對嗎？為什么？這時，學生就按照剛才研究的方法，用畫圖舉例法，用語言描述等來證明結論的正確性。當然，在這里，我們就不能僅僅滿足于這些了，我們要通過兩個問題的解決，抽象地概括出數學的方法。于是，當一個學生說先每個盒子放1個，就放了3個，這時還剩1個，這個蘋果無論放入哪個盒子，都至少有兩個了的時候，我就問：“你們能把剛才這位學生描述的用數學的方法表示出來嗎？”于是學生就想到了這種方法就是以前學過的有余數的除法。

到此為止，我的第一個目標已經達成，即把剛才一些對現實問題各種各樣的解決方法，抽象成了用數學的方法來解決，讓學生感受到了數學方法的抽象性、方便性。

二、數學方法模型化

在學生形成數學方法后，我們還要對這些數學方法進行進一步的觀察、推測、歸納和驗證，在不斷猜測、肯定、否定的過程中建立正確的數學模型。

1.在學習了3個蘋果放入兩個抽屜，至少有幾個蘋果放在同一個抽屜里，5個7個、9個呢？學生通過觀察發現結果都是商加上余數。于是馬上有學生提出來了，只要商加上余數就行，大部分學生表示認同。為了讓學生驗證結論的正確性，我提出了如果5個蘋果放入3個抽屜，會有什么結果？這時馬上有兩種答案產生，一種是用商加余數，所以認為至少有3個。而另一種認為最后兩個不應該放入一個盒子，為了讓抽屜里的蘋果數盡可能的少，必須分開來放。經過討論，學生馬上認同了第二種答案。我又適時地問：“那么你們覺得剛才總結出來的方法對不對，可以怎樣修改？你自己舉例驗證一下。”于是，學生馬上想到了無論余數是多少，商只要加上1就行，因為剩下的蘋果必須分開來放，才能保證最少。

2.當然學生到這兒還遠沒有達到建立數學模型的程度。所謂

數學模型，就是要概括出這類問題的共同特征，從而提高學生分析和解決問題的能力，最后我就引導學生把具體的抽屜問題一般化。建立抽屜問題的數學模型，先要分析哪些是待分物品，有多少只抽屜，然后再用我們總結出的數學方法，即待分物品除以抽屜數，得到的商加上余數1就可以求出至少有幾個物品放入同一個抽屜。到此，學生對抽屜原理的數學模型也就完全地建立了。

三、運用數學模型解決實際問題

在學生經歷了數學模型，掌握了數學模型之后，最后的環節就是要靈活運用數學模型，解決實際問題。用所建的數學模型解決實際問題，讓學生體會到數學模型的實用價值，體驗到所用知識的用途和益處，進一步培養學生應用數學意識和數學知識解決實際問題的能力，讓學生體驗實際運用帶來的快樂。

于是，我選擇了一道課堂作業本上的作業：“六年級一班共有46位學生，大家做同一道題，做對得2分，不做得0分，做錯得-1分。問至少有幾個學生的得分是相同的？”這道題中就明顯地沒有了蘋果和抽屜的痕跡，這就需要學生運用建立的數學模型去分析什么是待分物品，什么是抽屜。學生經過分析，馬上找到了46位學生就是待分物品，2分、0分、-1分就是抽屜，共有三只抽屜。問題到這兒也就迎刃而解了。

在課的結束之際，為鞏固學生新建立的數學模型，我設計了一道開放題，讓學生也像課前老師做的游戲一樣，設計一個相似的游戲。

數學建模的過程，是一個抽象和概括的過程，是一個不斷數學化的過程。讓學生經歷這樣一個過程，收獲基本的數學思想方法，提高解決問題的能力，培養不斷創新的能力，讓學生體驗到成功的喜悅。

編輯 郭小琴