具有不確定參數的新混沌系統的參數辨識與自適應同步

鄭 莉, 孫常春

(沈陽建筑大學 理學院, 遼寧 沈陽 110168)

系統的混沌運動,產生于非線性,具有對初態的敏感依賴性、系統內的隨機性、局部不穩定而整體穩定性.混沌行為廣泛存在于工程、生物、經濟、通訊等許多學科中.目前,學術界開始有越來越多的學者,提出了很多新混沌系統[1],譬如共存式系統[2],具有蝴蝶形混沌吸引子的類洛倫茲混沌系統,具有無窮多平衡點的混沌系統[3],具有二次曲面平衡點的四維混沌系統[4],等等.混沌廣泛地應用于保密通信,數據加密、流體力學以及工程當中.1990年,美國海軍實驗室的T. L. Carrol等專家成功地讓兩個混沌系統實現了同步,而應用的方法便是驅動-響應法[5].目前,混沌控制和同步在許多領域有著極大的應用前景,如醫學、通信、生物工程等.許多學者針對不同的混沌系統提出了不同的混沌同步方法[6],如不確定參數的自適應同步[7]、分數階超混沌系統的完全狀態投影同步[8]、基于主動自適應滑模控制的超混沌系統同步[9]、切換系統的控制及同步[10]、四維超混沌系統的計算機仿真及同步控制[11]、異結構混沌系統的混沌同步[12]等.本文提出了一個全新的三維自治系統,并利用非線性動力學的方法,研究了該系統的基本動力學特性,用MATLAB數學軟件畫出隨時間t變化的相圖、計算出系統平衡點隨時間t變化的Lyapunov指數譜,驗證了系統是混沌的.基于本文所給出的新混沌系統,參考自適應控制器的設計方法,驗證了在本文設計的自適應控制器的作用下,驅動響應系統能達到漸近同步.并能準確地識別出響應系統的參數,通過數值仿真,進一步證明了控制器的有效性.

1 提出新的三參數的三維二次混沌系統

給出新的二次混沌系統,其參數為三個:

(1)

系統(1)的參數為a1,b1,c1,而對應的狀態變量則為x1,x2,x3.在此系統中,非線性和線性項數量分別為6個和4個.若a1=15,b1=10,c1=8,那么該系統存在混沌吸引子,具體可參見圖1.

2 新系統的動力學分析

2.1 耗散性

圖1 當a1=15,b1=10,c1=8時,系統的混沌吸引子Fig.1 Chaotic attractor of the system with a1=15,b1=10,c1=8(a)—x1x2x3空間相圖; (b)—x1x2平面相圖; (c)—x1x3平面相圖; (d)—x2x3平面相圖.

2.2 Lyapunov指數譜

用MATLAB仿真得到該混沌系統當a1=15,b1=10,c1=8時的Lyapunov指數譜,如圖2所示.可以看出系統的Lyapunov指數,LE1>0,LE2=0,LE3<0,且LE1+LE2+LE3<0,系統混沌.

圖2Lyapunov指數譜
Fig.2Lyapunovexponentspectrum

3 自適應控制器的設計

設系統(1)為驅動混沌系統,系統(2)

(2)

為響應系統.在u1=0,u2=0,u3=0時,即系統(1)未加控制器的情況下,選取驅動混沌系統的初始值為x0=(1,2,3),選取響應系統的初始值為y0=(1.1,2.1,3.1),這兩個時間序列有細微的差別,但經過幾次迭代后,系統軌道會迅速分離,走入完全不同的軌道,如圖3所示.

a2,b2,c2為系統(2)中的未知參數,u1,u2,u3為控制器,e1=y1-x1,e2=y2-x2,e3=y3-x3為誤差變量,則誤差系統為

(3)

自適應控制器為

(4)

圖3 未加控制時驅動系統和響應從不同的初始點出發的軌道隨時間的變化

(5)

定理新提出的驅動混沌系統(1)與響應混沌系統(2)在選取了式(4)為控制器,式(5)為更新規則時,從任意初始值出發,軌道均可達到同步.

4 數值仿真

選取系統(1)和系統(2)中的初始點分別為:x0=(1,2,3)和y0=(3,6,9),由此可得系統(3)的初值:e0=(2,4,6),取a1=15,b1=10,c1=8,此時系統(1)的狀態為混沌態,將系統(2)的初始參數設置為a2=0.01,b2=0.01,c2=0.01,接著通過管控裝置(4)和相應的更新規則(5),對系統(1)和系統(2)的同步過程加以模擬,可以看出驅動系統與響應系統的軌線很快重合,也就是說,這兩個系統實現了漸近同步,具體可參見圖4、圖5.

響應系統的參數本是未知的,在編程中將a2、b2、c2設為變量,在加入控制器后,用計算機模擬出a2、b2、c2隨時間t變化的軌線,如圖6,a2、b2、c2漸近地穩定在15、10和8,這與a1、b1、c1的取值完全相同,即在控制器的作用下,參數能被準確地識別出來.

圖4 控制器作用下驅動系統及響應系統隨時間變化相圖Fig.4 Phase diagram of driving system and response system with time when controller is added(a)—控制器作用下x1及y1隨時間變化相圖; (b)—控制器作用下x2及y2隨時間變化相圖;(c)—控制器作用下x3及y3隨時間變化相圖.

圖5 控制器作用下響應系統和驅動系統的同步誤差曲線Fig.5 Synchronization error curve of response system and drive system under the action of controller(a)—控制器作用下x1及y1的同步誤差曲線; (b)—控制器作用下x2及y2的同步誤差曲線;(c)—控制器作用下x3及y3的同步誤差曲線.

圖6 控制器作用下的參數辨識過程Fig.6 Parameter identification under the action of controller(a)—控制器作用下a2的辨識過程; (b)—控制器作用下b2的辨識過程; (c)—控制器作用下c2的辨識過程.

5 結 論

本文提出了一個新的三維混沌系統,對該系統展開了相應的動力學分析,驗證了系統的混沌性,設計了誤差系統控制器,比較了加入控制器前后系統(1)、(2)軌線的不同性態,明確了參數更新規則,在理論上和仿真試驗中都證明了控制器的有效性.