泛函積分Cauchy中值定理“中間點”的漸近性

張樹義, 張芯語, 叢培根

(渤海大學 數理學院, 遼寧 錦州 121013)

Azpeitja[1]研究了Taylor公式“中間點”的漸近性質. 同時, Jacobson[2]建立積分中值定理的類似的結果. 在這之后, 一些作者研究各種中值定理“中間點”的漸近性質, 見文獻[3-20]. 其中文獻[4-6]研究了幾類泛函中值定理“中間點”的漸近性.文獻[7-18]使用比較函數研究了包括泛函Taylor公式在內的幾種中值定理“中間點”的漸近性與可微性. 本文的目的是使用比較函數研究泛函積分Cauchy中值定理“中間點”的漸近性,獲得的結果推廣和改進了文獻[6]以及有關文獻中的相應結果.

1 預備知識

定義1[21]設X,Y是賦范線性空間,Ω?X是開集, 映射f:Ω→Y. 如 果 存 在有界線性算子A∈L(X,Y), 使得當h∈X,x0+h∈Ω, 有

則稱f在x0處Frechet可微,簡稱F可微, 稱A為f在x0處的F導數．

定義2[6]設X是賦范線性空間,Ω?X是凸開集,f:Ω→L(X,Y)(有界線性算子空間),對x0∈Ω,h∈X,對Ω中的任何線段L={x0+th|0≤t≤1}定義沿L積分為

泛函積分Cauchy中值定理[6]設f(x),g(x)是L={x0+th|0≤t≤1}上的連續泛函,對x0∈Ω,h∈X,g(x)≠0,則存在ξ=x0+τh∈L,τ∈(0,1),使

定義4[7]設ψ定義在L={x0+th|0≤t≤1}上的泛函,在半開區間(0, 1]上存在m(m≥1)階導數的實值函數φ(t)被稱為在L上關于泛函ψ(x0+th)的比較函數, 如果滿足下列條件:

注1 定義3中若f是L上的連續泛函且D(α)f(x0,h)非零, 則φ(t)=tα是關于f(x0+th)-f(x0)的比較函數.

引理1[8]設x>0,φ(x)=xα,α為實數,α>-1,n≥1,Γ(·)為Gamma函數, 則

其中

2 主要結果

式(1)等號左邊

式(1)等號右邊

由式(1)與式(2)立得

在定理1中取φ(x)=xα,ψ(x)=xβ,并應用引理1有

于是可得如下推論1.

推論1 設X是賦范線性空間,Ω是X中凸開集,?x0∈Ω,h∈X,f與g是L={x0+th|0≤t≤1}上的連續泛函且在L上n-1階F可微, 存在常數k,m滿足n≥m≥1,且f(i)(x0)h(i)=g(i)(x0)h(i)=0(0≤i

其中x=x0+th∈L,A,B是非零常數,α,β是實數α>0,β≥0.n+α≠m+β.

在推論1中取k=0,并設f與g在L上分別n-1階與m-1階F可微,則可得推論2.

推論2 設X是賦范線性空間,Ω是X中凸開集,?x0∈Ω,h∈X,f與g是L={x0+th|0≤t≤1}上的連續泛函且在L上分別n-1階與m-1階F可微,

其中x=x0+th∈L,A,B是非零常數,α,β是實數α>0,β≥0.

注2 推論2比文獻[6]中的定理4簡潔.

如果n=m,α=β,則推論2不再成立,可用推論3.

推論3 在推論2的條件下若n=m,α=β,再設

其中D是非零常數,γ是實數γ>0.

證明 在推論1中取k=A/B,由推論1可得推論3. 證畢.