基于有界理性的非線性寡頭動態價格博弈

董 海, 任 鶴, 喬若真

(1. 沈陽大學 a. 應用技術學院, b. 機械學工程院, 遼寧 沈陽 110044;2. 東北大學 機械工程學院, 遼寧 沈陽 110819)

寡頭壟斷是壟斷與完全競爭之間的市場形態,市場對少數企業(寡頭壟斷者)具有支配性的影響.進入寡頭壟斷市場需要嚴格的條件,大部分市場份額被寡頭企業所占據,最終形成激烈的競爭局面和高度的相互依存關系[1].當為競爭關系時,隨著規模效應的產生,寡頭企業的生產成本就會呈現出非線性增長的特點[2].但在實際情況中,往往不能完全預測市場的變化情況,由于市場信息的復雜性,企業將無法掌握市場的全部信息,因此,寡頭企業采用有限理性進行決策,根據邊際利潤的變化來確定價格.近年來,雙寡頭博弈中兩者之間的利益沖突問題得到了廣泛研究.

法國經濟學家Antoine Augustin Cournot于1838年最早提出寡頭壟斷市場競爭數學模型,即Cournot模型[3].該模型描述了企業的生產決策相互影響機制,但卻沒有提出相應的協調策略,最早的納什均衡中的應用版本便是此模型.佟巖等[4]構建了一個基于博弈理論的技術創新激勵約束的博弈模型,采取不完全信息動態博弈方法,分析了在信息不完全和不對稱條件下各自追求自身效用最大化的行為對技術創新活動的影響.林劍修[5]對二期時滯的雙寡頭價格競爭模型進行復雜性研究,并建立了相應的價格博弈系統來幫助企業發展做出決策.文獻[6]通過對雙寡頭Cournot-Bertrand混合模型進行動力學研究,發現產量調整速度和價格調整速度過快都可以引起市場進入對兩寡頭都不利的混沌狀態.文獻[7]研究了具有有限理性的寡頭壟斷模型的一般公式,研究表明動態博弈會導致復雜的諸如周期和混亂行為.文獻[8-10]研究了具有非線性需求函數的有限理性雙寡頭博弈的復雜性問題,得出市場陷入混沌的主要原因是寡頭追求利潤最大化而調節自身產量策略.文獻[11]研究了時變時延離散網絡系統的穩定性問題,采用Lyapunov泛函數,并引入了松散變量技術,獲得新的基于線性矩陣不等式的穩定性條件.文獻[12]研究了對于連續切換模糊系統的靜態輸出反饋控制問題,提出了一種充分條件,該條件可以確保系統通過輸出反饋魯棒鎮定,并驗證了其有效性.

上述研究大多是致力于研究模型的復雜性,且大多采用線性的成本函數,但在實際市場上,提高每單位產量,價格往往進行非線性增長.本文以Bertrand模型為基礎,研究雙寡頭價格競爭的動態博弈模型,構建了基于有限理性的非線性離散系統,分析了納什均衡的存在性和穩定性.通過對該模擬系統進行動力學數值分析表明,調整控制參數可以有效調整系統的有序性和穩定性,實現混沌控制.

1 雙寡頭產品動態價格博弈模型

qi(t)=ai-bipi(t)+eipj(t).(1)

式中:ai,bi,ei>0,ai表示市場對產品i的最大需求量;bi為價格敏感系數;ei為差異化系數;i,j=1,2,i≠j.企業自身價格和交叉價格對市場需求的影響一般為0

式中,ci>0,i=1,2,ci為企業分別選擇的產品價格.

πi為第i家企業在第t期的稅前利潤,由此各寡頭企業的收益利潤函數表示如下:

企業i第t期的邊際利潤為

則企業各自的邊際利潤如下:

假設博弈雙方對上一期邊際利潤進行局部估算后再進行調整,即進行決策時采用有限理性預期.如果企業在第t期的利潤為正,便在第t+1期提高產品價格;反之則降低產品價格.由此可得企業i在第t+1期的產品價格為

式中vi(i=1,2)為正常量,是企業的調整速度,在此博弈過程中,博弈均衡的穩定性和博弈結果都會受到產品價格的調整速度的影響.因此,對于系統(7)的動態模擬過程進行研究非常必要.在系統(7)中,令pi(t+1)=pi(t),i=1,2,動態雙寡頭利用非線性代數系統求解出模型的4個均衡點為

1.3.2 觀察指標 SAP10-2模式偏差圖分為上半側、下半側和六個區域，每個區域均計算平均缺損（aMD上半側，aMD下半側，aMD鼻上，aMD上方，aMD顳上，aMD鼻下，aMD下方，aMD顳下）。因模式偏差圖的每位點數值單位dB為相對亮度單位，非線性，因此計算某區域視野平均缺損時需將模式偏差圖的每位點數值（單位為dB）轉換為反對數單位（1／L）后再求算術平均數。轉換單位的公式為平均缺損（MD）1／L＝10（0.1×MDdB）。MD1／L數值越小表示視野缺損越嚴重。統計模式偏差圖的68個位點中超過90%的SAP10-2異常受試者存在視野損害的位點編號與空間分布特點。

由式(8)和式(9)可以發現,調整速度v1、v2的變化不影響系統的納什均衡點,系統(7)中不動點局部穩定性的研究取決于其雅可比矩陣的特征值.系統(7)中任意點(p1,p2)的雅可比矩陣J的形式如下:

將E3代入式(10),其雅可比矩陣的特征方程為

式(11)中λ為雅克比矩陣特征值,Tr(J)和Det(J)分別是雅克比矩陣的跡和行列式,其表達式如下:

Tr(J)= 2+v1(ρ1-2p1b1(b1c1+1))+

v2(ρ2-2p2b2(b2c2+1));

由于(Tr(J))2-Det(J)>0,即該特征方程有2個實根.雅克比矩陣的特征根十分復雜,需要借助Routh-Hurwitz判據來判斷均衡解的穩定性,E3的局部穩定性的充要條件是其雅可比矩陣的特征值在復數平面內的單位圓上應同時滿足以下3個條件:

(12)

式(12)定義了調整速度平面中的穩定區域,該穩定區域如圖1所示.該區域是由具有正v1和v2的雙曲線部分限定.納什均衡點E3在穩定區域內穩定,然后通過倍周期分岔失去穩定性.

當參數取值為a1=2.3,a2=2.5,b1=1.2,b2=1.1,e1=0.4,e2=0.5,c1=0.15,c2=0.13.得出系統的納什均衡點為E3=(0.461 9,0.509 8),此時分岔曲線分別在點(0.630 8,0)和軸v1相交,在點(0,0.832 7)與軸v2相交.廠商往往通過增大調整速度來增加收益,為了保證系統的穩定狀態,兩廠商的調整參數都應在該穩定區域內,否則整個市場將處于混沌狀態.

圖1納什均衡點E3的穩定區域

Fig.1TheregionofstabilityoftheNashequilibriumE3

2 數值仿真

為了說明非線性雙寡頭博弈解的定性行為,對系統(7)動力學演化進行數值模擬分析,以此探明系統(7)的納什均衡的穩定性和倍周期分岔路徑對系統混沌的影響.在模擬中,將價格調整速度v2設為可控參數,其他參數值設為a1=2.3,a2=2.5,b1=1.2,b2=1.1,e1=0.4,e2=0.5,c1=0.15,c2=0.13,v1=0.3.圖2為調節速度v2的分岔圖.從圖2中可以看出,當v2較小時,系統穩定,當v2增加時,系統變得不穩定,出現分岔,甚至混沌.

圖2系統解的分岔圖

Fig.2Thebifurcationdiagramofthesolutionsofthesystem

a1=2.3,a2=2.5,b1=1.2,b2=1.1,e1=0.4,
e2=0.5,c1=0.15,c2=0.13,v1=0.3.

圖3～圖8顯示出與系統(7)中的參數有關的分岔圖.從圖3和圖4中可以看到納什均衡點E3對a1,a2為較小值時,系統(7)是局部穩定的.當a1,a2增大時,納什均衡點變得不穩定,發生復雜的動態行為,包括高階周期分岔和混沌.

圖3系統關于參數a1的分岔圖

圖4系統關于參數a2的分岔圖

Fig.4Thebifurcationdiagramofthesystemwithrespecttoa2

a1=2.3,b1=1.2,b2=1.1,e1=0.4,e2=0.5,
c1=0.15,c2=0.13,v1=0.09,v2=0.085.

圖5和圖6是關于參數b1和b2的分岔圖.可以看到,當b1和b2較小時,系統出現動力學特征;當b1和b2增加時,系統(7)經歷混沌和周期減半分岔.從圖7和圖8觀察到納什均衡點E3對于參數c1和c2為適當值時,系統(7)局部穩定.從納什均衡點來看,隨著c1和c2減小,存在周期減半分岔.當c1和c2從納什均衡點增加時,系統動力學是混沌的.

圖5 系統關于參數b1的分岔圖

圖6 系統關于參數b2的分岔圖

圖7 系統關于參數c1的分岔圖

圖8系統關于參數c2的分岔圖

Fig.8Thebifurcationdiagramofthesystemwithrespecttoc2

a1=1.5,a2=2.5,b1=1.2,b2=1.1,e1=0.4,
e2=0.5,c1=0.15,v1=0.09,v2=0.085.

奇異吸引子是系統混沌運動的主要內在特征,它反映了混沌狀態下復雜現象的內在規律.奇異吸引子具有不同屬性的內外2種方向,在其外的所有運動都趨向奇異吸引子,屬于相對穩定的方向;所有到達奇異吸引子內的運動都相互排斥,相對屬于不穩定方向.因此,當系統處于混沌狀態時,企業可以根據其內在規律預測短期內的市場價格是否為混亂競價,即只有當兩個企業的市場價格p1和p2不在奇異吸引子的軌道上時,市場的競價模式為穩定狀態;否則,整個市場將處于混亂競爭的局面.圖9～圖11分別表示系統(7)對于v1=0.3和v2為不同值時的奇異吸引子的變化情況,與圖2中系統(7)關于v2的單參分岔圖相對應.從圖9～圖11中可以看到分岔過程,隨著v2取值的不斷增大,分形結構變得清晰,當v2=0.3時系統是穩定的;圖10中,當v2=0.55時系統發生2倍周期分岔;從圖11可看出,當v2>0.75時系統完全進入混沌狀態.

吸引子的圖像也趨于完整.圖9中,

圖9 v2=0.3時系統的奇異吸引子Fig.9 The strange attractor for the system whenv2=0.3

圖10 v2=0.55時系統的奇異吸引子Fig.10 The strange attractor for the system whenv2=0.55

圖11v2=0.75時系統的奇異吸引子
Fig.11Thestrangeattractorforthesystemwhenv2=0.75

a1=2.3,a2=2.5,b1=1.2,b2=1.1,e1=0.4,
e2=0.5,c1=0.15,c2=0.13,v1=0.3,v2=0.75.

混沌系統的另一個內在特征是對初值條件的敏感程度,對價格的初值敏感性.圖12、圖13分別為v1=0.3,v2=0.69時,系統的初始價格p1為(0.461 9,0.462 0)和p2(0.509 8,0.509 9)時的價格的時間歷程圖.從圖12中可以看出,開始顯示每個變量的2個軌道之間是不可區分的,但經過一系列迭代之后,差異變得明顯.由此可知,價格初始值發生微小變化會對系統結果產生顯著影響.

可以通過系統時間歷程圖來檢驗系統

圖12 v1=0.3時系統對初值條件p1的敏感性

圖13v2=0.69時系統對初值條件p2的敏感性

Fig.13Sensitivedependenceofsystemoninitialconditionsp2whenv2=0.69

a1=2.3,a2=2.5,b1=1.2,b2=1.1,
e1=0.4,e2=0.5,c1=0.15,c2=0.13.

3 混沌控制

通過數值模擬,觀察到調整速度v1和v2極大地影響了系統(7)的穩定性.如果參數在穩定區域內無法定位,則系統的動態行為將非常復雜和混亂.混沌在經濟系統中的出現是不可預料的,甚至有害.在某種程度上,應該避免或控制系統混沌,使動態系統能夠更好地運行.

為了抑制原動態系統(7)混沌行為的發生,使用參數變化方法控制系統的混沌,使其恢復穩定狀態.將系統(7)添加控制參數u,即將其轉換成以下受控系統:

(13)

受控后系統(13)的雅克比矩陣J的形式如下:

令v1=0.7,v2=0.7,將參數a1=2.3,a2=2.5,b1=1.2,b2=1.1,e1=0.4,e2=0.5,c1=0.15,c2=0.13,ρ1=0.147 6,ρ2=0.059 9代入得:

該雅克比矩陣的特征方程為

λ2-Tr(J)+Det(J)=0,

式中Tr(J)和Det(J)的表達式分別為

根據Routh-Hurwitz判據可得:

(14)

式(14)保證了受控系統(13)納什均衡點的穩定性,解得u>1.659.圖14是受控系統(13)對混沌狀態添加控制參數u后,改變控制參數u的分岔圖.從圖14可以看出,隨著u增大,系統逐漸擺脫混沌,倍周期分岔逐漸消失,走向穩定趨勢.當控制參數u>1.659 時,完全呈現穩定狀態.這意味著當市場處于混亂競爭狀態時,企業可以使用改變參數變化的控制策略,通過改變控制參數來控制調整速度,從而使市場能快速的從混沌中恢復有序、穩定的競爭局面.

圖14系統控制參數u的分岔圖

Fig.14Thebifurcationdiagramofthesystemwithrespecttou

a1=2.3,a2=2.5,b1=1.2,b2=1.1,e1=0.4,
e2=0.5,c1=0.15,c2=0.13,v1=0.7,v2=0.7.

4 結 論

本文通過構建一個非線性雙寡頭動態價格博弈模型,研究基于有限理性預期的博弈雙方價格決策問題,分析了均衡點的穩定性、分岔和混沌行為,并對這些現象進行了數值仿真.

(1) 系統的穩定區域取決于各個參數的取值,在特定參數范圍內,為了保證市場的穩定性,產品價格的調整參數應處于穩定區域,否則市場價格將產生巨大波動.

(2) 同時考慮企業利潤和市場份額的情況下,在一定區域內,為了抑制產品價格的浮動,可以在邊際利潤大于0時,通過增大邊際需求,調整價格調整參數來提高系統穩定性。

(3) 對混沌狀態的系統使用參數變化控制表明,企業可以通過改變控制參數來控制調整速度,從而使市場恢復有序、穩定的競爭局面.