例談用直線參數方程解決一類弦長問題時的易錯點

侯斐斐

摘 要：參數方程的內容，在高考全國卷Ⅱ中以選作題的形式，出現在第22題中，而直線的參數方程更是常考的考點，如果題目涉及直線的參數方程，則會考查直線參數方程中參數的幾何意義，以例題展開，以糾偏的方式讓學生掌握直線參數方程的應用。

關鍵詞：直線；參數方程；弦長問題；韋達定理

運用直線的參數方程解決問題時，如果不注意參數的幾何意義，就會出現錯誤，本文從例題（臨夏中學高三年級2018—2019學年度第一學期期中考試理科卷22題）展開分析直線的參數方程，讓同學們從另一個角度去認識直線參數方程在解決弦長問題中的應用，以更好地理解和掌握直線參數方程的本質.

例題：在平面直角坐標系xoy中，曲線C1的參數方程為x=-ty=1+ t（t為參數）.以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρ=2sinθ-2 cosθ.

（1）求曲線C1的普通方程與曲線C2的直角坐標方程；

（2）若曲線C1與曲線C2相交于A，B兩點，求AB.

解法一：（1）將曲線C1的參數方程化為普通方程為y=-1- x，即 x+y+1=0.

C2：ρ=2sinθ-2 ρcosθ，因為ρ2=x2+y2，ρ=sinθ=y，ρcosθ=x.

所以C2的極坐標方程化為直角方程為x2+2 x+y2-2y=0.

（3）由（1）可知曲線C2直角坐標方程為x2+2 x+y2-2y=0，故C2是圓心坐標為（- ，1），半徑為2的圓.

因為點（- ，1）到直線 x+y+1=0的距離為d= =

所以AB=2 =2 = .

解法二：聯立方程，用兩點間的距離公式或弦長公式求得AB.此解法省略，因為本文中主要討論的是直線的參數方程中參數的幾何意義.

解法三（錯解）：將x=-ty=-1+ t代入得x2+2 x+y2-2y=0得 （-t）2+2 （-t）+（-1+ t）2-2（-1+ t）=0，整理得4t2-6 t+3=0，

由韋達定理得t1+t2= ，t1·t2= .

所以，AB=t1-t2= = = .

解法四（正解）：由y=-1- x得tanα=- ，所以sinα= ，cosα=- ，又因為C1過（0，-1），所以C1的參數方程的標準形式為x=- -ty=-1+ t（t為參數）.

將x=- ty=-1+ t代入x2+2 x+y2-2y=0

得（- t）2+2 （- t）+（-1+ t）2-2（-1+ t）=0，

整理得t2-3 t+3=0，由韋達定理得，t1+t2=3 ，t1·t2=3.

所以，AB=t1-t2= = = .

解題回顧與反思

由（1）可知，C1表示直線，C2表示圓，而（2）求AB，即直線與圓相交的弦長問題，出現的最多的解法是解法一，也出現了少數解法三（錯解）的形式，在試卷講評中，筆者引導學生將上述解法一、解法二、解法三（錯解）和解法四（正解），在課堂上逐一做了講評，讓學生對直線參數方程的認識逐漸成熟起來.

解法三（錯解）是用參數解決弦長問題，看起來，過程推理嚴密，但是解題過程所用的參數方程不是標準形式，這里的參數沒有幾何意義，導致整個解題過程是錯誤的.

解法四（正解）是選用參數解決弦長問題，在這里先求參數方程的標準形式，讓參數方程中的參數有它的幾何意義，才使得整個解題過程朝一個正確的方向進行.

顯然，學生在應用的時候易犯形如解法三（錯解）的錯誤，不考慮直線的參數方程是否為標準形式，直接求解.

反思1：在文中提到的兩種解法中，顯然解法一更簡潔，更易懂.對于圓與直線相交時的弦長問題，是學生熟知的題目，解法一也是這一類題目最常規最簡單的解法.

反思2：既然解法一是學生孰知的題型，那么緊跟解法三（錯解）的結果和解法一不一樣時，學生就會自然而然地質疑解法三（錯解），并尋找錯誤的原因，會自己發現直線的參數方程不是標準形式，找出錯誤的根本原因是將其當作標準形式直接求解，才導致錯解，在尋找問題、自主糾偏后，就會順其自然地得到解法四（正解）.這一過程不但夯實了學生的解題基礎，還會防止學生在后續學習中遇到類似問題時出現類似錯誤.

反思3：在自主糾偏后，學生會對直線參數方程的標準形式，以及標準形式中參數的幾何意義有再認知的過程，對于用直線的參數來求弦長問題有了更好的把握.

羅增儒教授說：“平時解題是一種認識活動，是對知識（概念、定理）的繼續學習，是對方程的繼續熟練，是在發生數學和掌握數學”，而這道題的解法四（正解）出現在這里，讓學生對直線參數方程中參數的幾何意義有繼續學習、再認知的價值.

反思4：在解法四（正解）完成后，可以更改題目中的條件，若將題目中做改動，將圓改成橢圓或者雙曲線，這時候，學生就會發現解法一是行不通的，而解法四中的參數方程的思想用在這里，思路是可以打通的，這時候解題思路就會在學生大腦中初步形成.

反思5：學生經歷的解題體驗更為寶貴，對于圓和直線相交的弦長問題的解決方法、一般的圓錐曲線與直線相交的弦長問題的解決方法以及直線的參數方程應用不當（非標準形式）會導致錯解，這一系列的方法與問題會在學生的大腦中構成記憶存儲，也會培養學生的解題經驗感，以備學生在后續學習中再遇到這種題型時，迅速地做出模式識別以及解題策略以及多易錯點的防范.解題主要靠經驗因素（經驗題感），在長期的解題時間中通過長期的積累，都能形成可借鑒作用的經驗或磨石，解題經驗就好像是建筑上的預制構件，遇到合適的場合，可以原封不動地把它用上模式識別.

本文以一道考題展開，先是給出最簡潔的方法（解法一），后將題目中條件通過改變（將圓的方程變為橢圓或者雙曲線），引導學生得出更普遍的方法，即解法二和解法三，目的是讓學生更好地認識直線參數方程中參數的幾何意義，更好地理解和掌握直線參數方程的本質，并能正確地應用直線的參數方程解決問題.

參考文獻：

羅增儒，孟祥禮.高考數學萬能解題法[M].哈爾濱工業大學出版社，2015-09.

編輯 杜元元