對于水滴形狀的力學分析

董昊呈

摘 要：本文通過能量分析和受力分析兩個角度研究了水滴的形狀。從能量上說，越小的水滴形狀越接近于球，越大的水滴形狀越接近于扁平，這和日常生活中的觀察結(jié)果是相符合的。從受力平衡的角度出發(fā)，可以寫出來水滴的形狀所滿足的方程，通過該方程分析得到失重條件下水滴為球形，重力影響非常大時水珠接近于圓柱形，這和能量分析的結(jié)果相互補充解釋了水滴靜力學的相關(guān)現(xiàn)象。

關(guān)鍵詞：表面張力;表面能;壓力;水滴

中圖分類號：O352 文獻標識碼：A 文章編號：1671-2064（2019）06-0240-02

0 引言

生活中，我們經(jīng)常能在很多地方看到各種形狀的水滴，例如早晨的露珠，荷葉上的水珠，通過觀察生活中的這些水滴，可以看出經(jīng)常是小水滴（例如露珠以及荷葉上的小水珠，尺寸在1mm左右）更像球形，而大水滴（例如荷葉上的大水珠，尺寸在10mm左右）偏向扁平，宇航員在太空中做的試驗中，懸浮在飛船中的失重的水滴是一個標準的球形。水滴的形狀為什么會呈現(xiàn)出這種現(xiàn)象，和哪些因素有關(guān)，又滿足什么樣的力學關(guān)系。本文將從能量和靜力學兩個角度出發(fā)進行分析。

1 水滴的形狀與能量的關(guān)系

1.1 液體的表面張力和表面能

處于液體表面的分子與內(nèi)部的分子有所不同，它們將受到不平衡的分子力，體現(xiàn)為一個內(nèi)向的吸引力。這樣宏觀上看液體的表面就有收縮的趨勢，體現(xiàn)為液體的表面張力。由于有表面張力的存在，可以推出液體表面其實是儲存有一定能量的，這種能量被稱為表面能。表面能的大小和液體本身的性質(zhì)（也就是液體分子的作用力）有關(guān)，也與液體的表面積有關(guān)。液體表面能的公式為[1]：E=σS，其中，σ為表面張力系數(shù)，S為表面積。表面張力可以根據(jù)表面能的變化，利用功能關(guān)系推出。表面處的任意兩部分液體之間存在著相互吸引的力，大小為σl，其中l(wèi)為兩部分液體的接觸線長度。

1.2 利用表面能定性解釋水滴形狀的成因

自然狀態(tài)下，物體的能量越低越穩(wěn)定，所以物體總是趨于向能量最低的方向變化或保持能量最低的狀態(tài)來使自身盡量穩(wěn)定，利用這個原理，我們就可以解釋為什么小水滴形狀偏向球形，而大水滴偏向扁平[2]。為了簡化問題，對于一個靜止的水滴，我們僅考慮它的重力勢能和表面能。考慮水平面上的水，若只考慮重力勢能，則水必然攤開在水平面上，若只考慮表面能的影響，在同樣體積下，球的表面積最小，此時表面能最小，水滴應保持球形，這兩個因素共同決定了水滴的形狀。對于靜止在平面上的水滴，可以先簡單按照球形形狀估算重力勢能和表面能的量級：

EG=ρπR3gR，ES=4πσR2? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（1）

兩者之間的相對大小為=。當1時，表面能對于總能量的貢獻遠大于重力勢能，此時可以忽略重力勢能的影響，因此小水滴傾向于形成球形，代入σ=7.2×10-2 N/m，ρ=103kg/m3，g=9.8m/s2可得此時R≈5mm，因此這些小水滴的半徑通常遠小于5mm，這也和日常生活經(jīng)驗相符。當≈1，也即R≈5mm時，重力勢能的影響開始顯現(xiàn)，因此水滴偏離球形開始變得扁平以降低重力勢能。當1時，重力勢能對于總能量的貢獻遠大于表面能，因此很大的水滴傾向于形成非常扁平的形狀[3]。

4 結(jié)語

本文首先從能量的觀點出發(fā)，利用表面能和重力勢能相互競爭的機制解釋了小水滴接近球形，大水滴接近扁平的生活現(xiàn)象，其次通過受力分析得到了水滴的縱截面滿足的方程，通過分析該方程得到失重條件下水滴為球形，重力影響很小時，水滴接近于球形，重力影響很大時，水滴接近于圓柱形。通過這些分析我們解釋了生活中的現(xiàn)象，這體現(xiàn)了物理學在日常生活中的應用。

參考文獻

[1] 趙凱華，羅蔚茵.新概念物理教程：力學（第二版）[M].高等教育出版社，2004.

[2] 于鳳軍.帶電液滴的穩(wěn)定性和臨界電荷問題[J].大學物理，2018，37（7）：8-10.

[3] 苑志江，蔣曉剛，張志友，金良安.基于氣泡運動的液體表面張力系數(shù)測量方法研究[J].中國測試，2018，44（12）：46-50.