從向心力的供需關系看衛星的運行及變軌

李滿堂

《萬有引力與航天》是物理必修2的重要章節，其中衛星運行及其變軌是該章的重點，也是高考考查的高頻知識點。大部分學生對該知識點掌握不夠系統，理解不夠深刻，部分資料教輔對衛星變軌問題涉及的物理量有一些錯誤認識。本文試圖從向心力的供需角度幫助學生梳理衛星的運行及變軌問題。

一、衛星的運行及變軌

衛星之所以能長期運行在它的軌道上，正是因為地球給它的引力恰好提供了它繞圓周運行所需要的向心力，即供等于需（GMmr2=mv2r）。

思考：如果衛星速度突然增大了，它會怎么運轉呢？

當衛星速度突然增大時，它所需要的向心力就突然增大，地球給它的引力就不足以提供它做圓周運動需要的向心力了，那么它就會做遠離圓心的運動——離心運動。

如圖：在圓軌道I上以速度v1運行的衛星，萬有引力恰好提供向心力，即供等于需（GMmr21=mv21r1）。如果在A點讓它速度突然增大到v2，它所需的向心力就會突然增大，萬有引力就不足以提供它做圓周運動的向心力，即供小于需（GMmr21v23ρ2），ρ2 為橢圓軌道B點處的曲率半徑）。此后，衛星將會做向心運動，地球引力會將它拉回到A點，這個過程中地球引力對它做正功，它的速度又會逐漸增大，回到A點時，它的速度又到達v2。這樣衛星就會在橢圓軌道II上不斷的運轉，在近地點A時速度最大，在遠地點B時速度最小。值得注意的是，圓軌道上運行的衛星，在A點速度突然增大得越多，它的橢圓軌道半長軸將越長，也就是軌道將橢得越厲害。

怎樣才能讓衛星變軌到更高的圓軌道呢？

上面講到衛星沿橢圓運動到遠地點B點后，它之所以又會在地球引力作用下回到近地點A點，是因為在B點時它的速度已經很小，導致它所需要的向心力小于地球給它提供的引力了。如果在衛星運行到B點的時候，讓它速度突然增大，如果增大到某一值v4而且此時它所需要的向心力恰好等于地球提供給它的引力，即供等于需（GMmr22=mv24r2），它還會做向心運動嗎？當然不會。衛星將繞地球做圓周運動，它此時的圓軌道經過B點，如圖所示的圓軌道II，與開始經過A點的圓軌道比，它的圓軌道就變高了。

二、衛星運行及變軌中速度和加速度比較

上面衛星運行及變軌中涉及的速度有v1、v2、v3、v4等4個速度，它們的大小關系如何？由上可知v2是由v1增大得到的，故有v2>v1，又有v4是由v3增大得的，故有v4>v3，又衛星從A運動到B是減速的，則v2>v3;現在我們來通過計算比較一下v1和v4的大小，在圓軌道上運行的衛星萬有引力提供向心力有GMmr2=mv2r，可得v=GMr，由此知道半徑越大，衛星運行速度越小即v4v1>v4>v3。

現在我們來看一下加速度大小比較：在圓軌道I上運行的衛星，所受地球引力為F1=GMmr21，由牛頓第二定律知此時衛星加速度為a1=GMr21。衛星在橢圓軌道運行時，由于距離地心距離不斷變化，所受地球引力在不斷變化，由牛頓第二定律知加速度大小也在不斷變化，經過A點時加速度為a1=GMr21最大，與圓軌道I上的加速度大小相同，從A點運動到B點過程中由于地心越來越遠，受到地球引力越來越小，加速度越來越小，到B點時加速度為a2=GMr22，是最小的，且與衛星在圓軌道II上加速度一樣大。由此可知：經過同一點的衛星，不管是它運行的軌道是怎樣的，加速度都一樣。

上面說的是加速度，現在我們看看向心加速度。在圓軌道I上以速度v1運行的衛星，萬有引力恰好提供向心力，由牛頓第二定律及向心加速度公式得此時衛星向心加速度a1向=v21r1=GMr21。同理在圓軌道II上以速度v4運行的衛星向心加速度a2向=v24r2=GMr22。衛星在橢圓軌道上運行經過A點時的向心加速度為aA向=v22ρ1>GMr21）（ρ1為橢圓在A點處的曲率半徑），在橢圓軌道上運行經過B點時的向心加速度為aB向=v23ρ2a1向>a2向>aB向。

由此可知衛星在運行及變軌過程中，衛星的加速度和向心加速度是有區別的。在圓軌道上運行時，衛星的向心加速度就是它的加速度。如果是橢圓軌道上運行的衛星加速度與向心加速度是完全不同的。