乘法公式與因式分解那些事

陳曉靚

在如今的數(shù)學(xué)課本中，乘法公式與因式分解的表達(dá)形式是非常簡潔美觀的，這種呈現(xiàn)形式得益于數(shù)學(xué)符號(hào)的引入。而在引入數(shù)學(xué)符號(hào)之前，歷史上偉大的數(shù)學(xué)家們就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了一些乘法規(guī)律。下面，我們就來說說歷史上與乘法公式、因式分解相關(guān)的人與事。

數(shù)學(xué)軼事1：不懂幾何者勿入

這句話是刻在希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得（公元前330年—公元前275年）在少年時(shí)期就讀學(xué)園的大門牌匾上的。這所學(xué)園的創(chuàng)立者是大名鼎鼎的柏拉圖（公元前427年—公元前347年）。他在大門上立這塊牌匾的目的是讓世人知道數(shù)學(xué)的重要性，更要能體會(huì)美妙的幾何世界。在柏拉圖數(shù)學(xué)思想的熏陶下，歐幾里得開始了對幾何原理的系統(tǒng)研究。他敏銳地察覺到數(shù)學(xué)公理化理論的發(fā)展趨勢。在隨后的歲月里，歐幾里得到處游學(xué)，收集和研究前輩大師們的專著與理論，最終，在公元前300年完成了那部偉大的《幾何原本》。同學(xué)們可能不知道，乘法公式并不是來源于代數(shù)學(xué)，準(zhǔn)確地說應(yīng)該源于幾何學(xué)。在這本注重?cái)?shù)形結(jié)合的著作中，歐幾里得給出了乘法公式的兩個(gè)例題。

（1）兩數(shù)和的平方公式：若任意兩分一條線段，則在整條線段上的正方形的面積等于各個(gè)小段上的正方形的面積之和加上由兩小線段構(gòu)成的長方形面積的2倍。

如圖1所示，S正方形ABCD=S正方形BHEI+S正方形EFDG+2S長方形AIEF。

即完全平方公式：（a+b）2=a2+b2+2ab

（2）如果把一條線段先分成兩條相等的線段，再分成兩條不相等的線段，那么，不相等的兩條線段構(gòu)成的長方形與兩個(gè)分點(diǎn)之間的距離形成的正方形的面積和，等于原線段一半上的正方形的面積。

如圖2所示，S正方形CEFB=S正方形LEON+S長方形AKND

即平方差公式：a2=（a+b）（a-b）+b2，即（a+b）（a-b）=a2-b2

可見，偉大的數(shù)學(xué)家歐幾里得用美妙的幾何證明法呈現(xiàn)了如今的乘法公式。

數(shù)學(xué)軼事2：英雄所見略同

在小學(xué)里，我們曾經(jīng)聽老師講過大數(shù)學(xué)家歐拉（公元1707年—公元1783年）小時(shí)候圍羊圈的故事，從這個(gè)故事中得知，周長相同的不同長方形，其面積是不同的，其中正方形的面積最大。你知道為什么嗎？具體來說，設(shè)正方形的邊長為a，周長為4a，面積為a2。將正方形的一邊增加b，將其鄰邊減少b（0≤b

無獨(dú)有偶，在公元3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖（公元246年—公元330年）在其《算術(shù)》一書中設(shè)置了以下問題：已知兩數(shù)的和為20，乘積為96，求這兩個(gè)數(shù)。丟番圖給出了這樣的解答：兩個(gè)數(shù)不能同時(shí)大于10，也不能同時(shí)小于10，必定一個(gè)大于10、一個(gè)小于10。如圖3所示，可設(shè)一個(gè)數(shù)為10+x，另一個(gè)數(shù)為10-x，得（10+x）（10-x）=96。

在解決上述問題時(shí)，兩位跨越時(shí)代的數(shù)學(xué)家不約而同地都應(yīng)用到了平方差公式，可見乘法公式在數(shù)學(xué)歷史長河中的重要地位。

數(shù)學(xué)軼事3：萊布尼茲的錯(cuò)誤

萊布尼茲（公元1646年—公元1716年）是德國的一位偉大數(shù)學(xué)家，他是微積分理論的創(chuàng)立者之一。他所處的那個(gè)時(shí)代，因式分解已經(jīng)非常成熟。在一次偶然的因式分解演算中，他發(fā)現(xiàn)：

若n是自然數(shù)，n3-n=n（n+1）（n-1）是3的倍數(shù);

n5-n=n（n2+1）（n2-1）=n（n+1）（n-1）（n2+1）是5的倍數(shù);

n7-n=n（n3+1）（n3-1）=n（n+1）（n-1）（n2+n+1）（n2-n+1）是7的倍數(shù)。

這一系列的演算結(jié)論讓萊布尼茲喜出望外，于是他迫不及待地對外宣布：對任意的正奇數(shù)k，nk-n恒是k的倍數(shù)。

同學(xué)們，你是否懷疑這個(gè)結(jié)論的正確性？果不其然，沒過多久就有人找到了反例：29-2=512-2=510。顯然，510不是9的倍數(shù)，輕而易舉地推翻了萊布尼茲的這個(gè)結(jié)論。可見，數(shù)學(xué)是非常嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模瑪?shù)學(xué)權(quán)威們有些時(shí)候也會(huì)犯科學(xué)性的錯(cuò)誤。同學(xué)們，我們都應(yīng)時(shí)刻保持質(zhì)疑的精神。

人類的進(jìn)化史就是數(shù)學(xué)的發(fā)展史，數(shù)學(xué)推動(dòng)了歷史的前進(jìn)，改變了人類思考與解決問題的方式。萬物變，唯數(shù)學(xué)永恒。

（作者單位：江蘇省無錫市梅里中學(xué)）