壓電陶瓷驅(qū)動器遲滯建模方法研究*

王艷艷,邊 焱,郭 海

(1.天津職業(yè)技術師范大學,天津市信息傳感與智能控制重點實驗室,天津 300222;2.國家海洋技術中心,天津 300112)

原子力顯微鏡(AFM)是一種高分辨率的納米級測試分析儀器,在材料、化學、生物、半導體制造等領域應用廣泛。AFM采用一端帶有探針的微懸臂梁作為敏感元件,當探針逐漸接近樣品時,探針原子與樣品表面原子之間的作用力使得微懸臂梁彎曲,該彎曲量經(jīng)光杠桿系統(tǒng)放大,并由光電探測器轉換為電信號,由計算機顯示。其中,探針在樣品表面的掃描運動由壓電陶瓷驅(qū)動器驅(qū)動。作為核心部件,壓電陶瓷驅(qū)動器在AFM的掃描成像過程中起著至關重要的作用,其掃描速度和定位精度直接影響成像的速度和精度。然而,壓電陶瓷本身具備非線性、滯后、爬行及振動等[1-2]缺點,在快速大范圍掃描過程中影響定位精度,造成掃描圖像的位置信息與高度信息不匹配,使得圖像失真[3-4],影響測試的精確性。

高速掃描時,壓電陶瓷的遲滯特性對AFM掃描成像的影響更為顯著,因此,許多研究均圍繞遲滯特性展開[5-12]。滯后特性可以通過如圖1所示的方法如改進驅(qū)動電源、建立遲滯逆模型和設計反饋控制器等方法得到改善。傳統(tǒng)的驅(qū)動電源一般為電壓源,而壓電陶瓷的驅(qū)動機理是驅(qū)動位移與電荷量成正比,所以許多電源改進方法均以設計電荷源為基礎,包括電流型、混合型和開關型[5]。但該方法造價較高,通用性較差。設計基于先進控制算法的反饋控制器是第2種常見方法,常見的反饋控制算法包括改進PI反饋[6]、自適應控制[7]、模糊控制算法[8-9]等。該方法通過對壓電陶瓷驅(qū)動器進行閉環(huán)反饋控制,提高其定位精確度。然而閉環(huán)反饋的增加會影響壓電陶瓷驅(qū)動器的響應速度。設計基于遲滯逆模型的前饋控制器是第3種常見方法[10-12],該方法以壓電陶瓷遲滯模型為基礎,通過前饋控制消除遲滯特性對PZT定位精度的影響,大大改善其定位精確度。該方法要求獲得準確的壓電陶瓷驅(qū)動器遲滯模型。由于壓電陶瓷遲滯特性的復雜性,對其建模仍然是近年研究的難點。

圖1 壓電陶瓷驅(qū)動器精密定位方法總結

國內(nèi)外許多研究學者針對壓電陶瓷的遲滯性展開了研究,建立了許多關于遲滯特性的模型[13-21],這些方法可總結如下:①通過分析壓電陶瓷內(nèi)部機理,從理論上解釋遲滯現(xiàn)象,如微觀極化機理、機電耦合效應等,但該方法理論模型復雜,實現(xiàn)較困難;②利用各種遲滯算子描述遲滯模型,如PI算子[13]、Preisach算子[14]、Hammerstein算子[15]、Bouc-Wen算子[16]和梯形算子[17]。哈爾濱工業(yè)大學的于志亮等人提出改進型PI算子[13],描述壓電陶瓷的遲滯性,動態(tài)遲滯性建模效果較好。北京理工大學李黎等人[14]基于Preisach算子設計自適應滑模控制律,描述壓電陶瓷驅(qū)動器的遲滯性,取得了較好的結果。中南大學的徐運揚等人[15]提出Hammerstein模型以描述壓電陶瓷驅(qū)動器的靜態(tài)和動態(tài)遲滯特性,提高了模型精度等。總的來講,這種算子建模方法能夠較好的重現(xiàn)遲滯現(xiàn)象,難點在于模型參數(shù)辨識求解復雜,逆模型的求解完全依賴于建模方法,對輸入數(shù)據(jù)有較強依賴性,這影響對逆模型的求解;③通過擬合遲滯曲線描述遲滯現(xiàn)象,神經(jīng)網(wǎng)絡算法[18-19]、多項式擬合[20-22]是常用的擬合方法,如中國計量大學的許素安等人利用神經(jīng)網(wǎng)絡算法建模[18-19],較好的描述了壓電陶瓷的遲滯特性,哈爾濱工業(yè)大學的孫立寧等人[21]采用多項式逼近模型描述壓電陶瓷的遲滯現(xiàn)象,取得較好的結果,這類方法便于求取逆模型。但該擬合方法對輸入數(shù)據(jù)依賴性較大,靈活性差。

壓電陶瓷的遲滯性較復雜,很難建立精確的數(shù)學模型。目前,國內(nèi)外學者主要采用PI模型,但該模型計算量較大,逆模型求取較難,算子數(shù)量影響模型的精確性,是目前研究的難點。相較而言,多項式擬合算法計算量小,擬合精度較高,逆模型求取較簡單。但當輸入信號頻率發(fā)生變化時,多項式擬合模型無法精確描述遲滯性。為此,本文設計基于動態(tài)多項式擬合的算法,使得擬合模型可隨輸入信號頻率的變化而動態(tài)變化,提高對大范圍壓電陶瓷遲滯性模型描述的精確性,為后續(xù)設計基于遲滯逆模型的控制算法提供一種思路。

1 改進型多項式擬合算法

多項式擬合算法是常用的曲線回歸建模方法。對于壓電陶瓷的遲滯曲線,可采用多項式擬合的方法獲得其多項式模型。但由于遲滯曲線不僅與當前輸入信號有關,還與歷史輸入信號有關,因此,不同頻率的輸入信號引起的遲滯曲線是有區(qū)別的,而傳統(tǒng)的多項式擬合算法只能給出相同遲滯曲線的模型,使得遲滯建模存在較大誤差。為此,本文設計一種改進型多項式擬合算法,即可隨頻率變化的多項式擬合模型,提高遲滯模型的精度。

曲線擬合問題的提法是:已知一組二維數(shù)據(jù),即平面上的n個點(xi,yi),i=1,2,…n,xi互不相同,求解一個函數(shù)y=f(x),使得f(x)在某種準則(如最小二乘準則)下與所有數(shù)據(jù)點最為接近,即曲線擬合最好[23]。

傳統(tǒng)的多項式擬合方法獲得的系數(shù)是唯一確定的,而壓電陶瓷驅(qū)動器的遲滯曲線是動態(tài)變化的,隨輸入信號頻率的變化而變化。因此,采用傳統(tǒng)的多項式擬合方法必然會引入較大的擬合誤差,大大降低擬合的精度。為此,本文提出一種改進型多項式擬合算法,是基于本課題組在文獻[21]提出的動態(tài)多項式擬合算法,在其基礎上進一步提高壓電陶瓷驅(qū)動器的驅(qū)動范圍,從30 μm提高至100 μm,提高多項式擬合算法的應用范圍,同時,保證擬合的系數(shù)隨輸入信號頻率的變化不斷變化。主要實現(xiàn)步驟如下:

①學習階段:選擇不同頻率(10 Hz,50 Hz,100 Hz)的輸入信號,采集獲得壓電陶瓷驅(qū)動器在這些頻率處的遲滯曲線,用多項式擬合的方法對這些曲線分別進行擬合,獲得不同頻率對應的擬合系數(shù);

②建模階段:根據(jù)擬合系數(shù)與頻率之間的對應關系,建立不同的頻率與擬合系數(shù)之間的線性模型關系;

③驗證階段:根據(jù)頻率與擬合系數(shù)之間的模型關系,計算給定輸入信號(20 Hz)對應的擬合系數(shù),根據(jù)該擬合系數(shù)獲得該輸入信號對應的遲滯曲線的多項式模型,并與實際實驗結果對比,驗證該方法的擬合效果。

2 算法實現(xiàn)及實驗結果

為實現(xiàn)該算法,需首先獲得壓電陶瓷驅(qū)動器不同輸入頻率下的遲滯曲線。本文以壓電陶瓷驅(qū)動器為核心,搭建如圖2所示實驗系統(tǒng)。其中,驅(qū)動器采用德國PI公司的P-517.3CD柔性鉸鏈微位移臺,其X向和Y向的驅(qū)動范圍達到100 μm,Z向驅(qū)動范圍20 μm。本文主要對X向驅(qū)動,利用數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)(NI-PXI 6363)輸出不同頻率的三角波驅(qū)動壓電陶瓷伸縮,并采集壓電陶瓷驅(qū)動器的輸出遲滯曲線,傳輸給計算機顯示。

圖2 實驗系統(tǒng)圖

輸入信號的頻率分別設為10 Hz、50 Hz和100 Hz,記錄輸入電壓數(shù)據(jù)和輸出位移數(shù)據(jù),以電壓為橫軸,以位移為縱軸,繪制遲滯曲線圖。如圖3所示,可發(fā)現(xiàn)頻率越大,驅(qū)動范圍越大,遲滯性越顯著,這嚴重影響壓電陶瓷驅(qū)動器的定位精度。

圖3 不同頻率(10 Hz、50 Hz、100 Hz)下壓電陶瓷驅(qū)動器的遲滯曲線

分別針對上升曲線和下降曲線,利用多項式擬合的方法對不同頻率(10Hz、50Hz、100Hz)下的遲滯曲線進行擬合,采用的多項式模型為:

y=ax2+bx+c

(1)

擬合結果如圖4所示,按上升段與下降段區(qū)分,不同頻率下理想擬合的模型如下:

下降段:

10 Hz:y=0.002 0x2+0.44x-0.939

(2)

50 Hz:y=0.002 6x2+0.34x-1.16

(3)

100 Hz:y=0.003 4x2+0.22x+0.935

(4)

上升段:

10 Hz:y=-0.002 2x2+1.041x+1.738

(5)

50 Hz:y=-0.003 0x2+1.12x+4.626

(6)

100 Hz:y=-0.003 5x2+1.176x+9.706

(7)

圖4 不同頻率下遲滯曲線的理想擬合結果

根據(jù)以上不同頻率下的擬合模型分析多項式擬合參數(shù)與對應頻率的關系可知:①上升段與下降段的遲滯曲線擬合參數(shù)中常數(shù)項c與輸入信號的頻率為非線性關系;②上升段與下降段的遲滯曲線擬合參數(shù)中一次項系數(shù)a、b與輸入信號的頻率基本成線性關系;③多項式擬合系數(shù)中的二次項系數(shù)a的大小對擬合結果的影響最為顯著,b其次,c的影響最弱。

為此,本文結合以上3個特點,提出一種改進型的多項式擬合算法。首先選擇多項式擬合參數(shù)中的二次項系數(shù)a和一次項系數(shù)b,按照頻率與二次項、一次項系數(shù)線性的關系選擇a和b,再根據(jù)不同頻率對應的輸入信號與輸出信號的最大值確定c的大小。

本文按照以上原則,根據(jù)式(2)～式(7)中的一次項系數(shù)和二次項系數(shù)分別計算下降段和上升段新的擬合系數(shù),選用線性模型,所得模型如下:

下降段二次項系數(shù)a的模型:

y=1.549e-5x+0.001 87

下降段一次項系數(shù)b的模型:

y=-0.002 2x+0.458

上升段二次項系數(shù)a的模型:

y=-1.549e-5x-0.002 07

上升段一次項系數(shù)b的模型:

y=0.001 44x+1.029

確定a和b后,根據(jù)最值確定c的大小。利用以上模型計算得到10 Hz、50 Hz和100 Hz的信號對應的新的多項式系數(shù),后重新進行擬合,通過分析擬合殘余誤差驗證擬合效果。擬合模型如下:

圖6 擬合殘差結果

下降段:

10 Hz:y=0.002 0x2+0.44x-0.939

(8)

50 Hz:y=0.002 7x2+0.34x-1.7314

(9)

100 Hz:y=0.003 4x2+0.24x-1.1785

(10)

上升段:

10 Hz:y=-0.002 2x2+1.041x+1.738

(11)

50 Hz:y=-0.002 9x2+1.106x+4.648

(12)

100 Hz:y=-0.003 6x2+1.171x+10.373

(13)

根據(jù)式(8)～式(13)擬合模型對10 Hz、50 Hz、100 Hz不同頻率下壓電陶瓷驅(qū)動器的遲滯特性曲線重新擬合,擬合結果見圖5所示。圖6所示為各頻率下擬合殘差結果,小于1.5 μm,因此擬合效果較好。

圖5 改進型多項式擬合方法擬合結果

同時,本文選擇20 Hz的輸入信號驅(qū)動壓電陶瓷進一步驗證該方法。利用圖2所示實驗系統(tǒng),輸出20 Hz的信號,驅(qū)動壓電陶瓷驅(qū)動器X向伸縮,利用采集卡采集輸入輸出數(shù)據(jù),并應用改進型多項式擬合方法計算擬合系數(shù),得到如下擬合模型:

下降段:

20 Hz:y=0.002 2x2+0.41x-0.32

(14)

上升段:

20 Hz:y=-0.003 1x2+1.058x+4.1

(15)

利用式(14)和式(15)多項式模型對20 Hz的輸入-輸出數(shù)據(jù)進行擬合,其中,驅(qū)動器X向驅(qū)動范圍達到100 μm。為驗證該方法的可重復性,采用兩次不同的輸入信號,通過記錄上升段的擬合殘差結果,觀察擬合效果,如圖7所示。

(a)、(c)分別為輸入兩種不同的輸入信號獲得的擬合效果圖;(b)、(d)分別為兩種不同輸入信號下的擬合殘差結果圖7 改進型多項式對輸入信號為20 Hz時擬合效果圖

由圖7可知,擬合殘差控制在1.5 μm內(nèi),說明該改進型多項式擬合模型能較好的描述大范圍壓電陶瓷驅(qū)動器的遲滯特性,同時該方法具有較好的重復性。

為提高壓電陶瓷驅(qū)動器的線性度,計算20 Hz頻率下遲滯模型的逆模型,并設計基于該逆模型的前饋控制器,應用于此壓電陶瓷驅(qū)動器,分析其線性度。

逆模型如下:

下降段:

20 Hz:y=-0.092x2-0.38x-1.59

上升段:

20 Hz:y=0.058x2-0.21x+0.75

利用數(shù)據(jù)采集卡采集20 Hz三角波信號驅(qū)動下的輸入信號和輸出信號,如圖8所示,計算得到壓電陶瓷驅(qū)動器的線性度達到1.5%,驗證該方法具備較高的精確度。

綜上所述,本文提出一種新穎的改進型多項式擬合算法,描述大范圍壓電陶瓷驅(qū)動器的遲滯性。該方法通過對壓電陶瓷驅(qū)動器3種不同頻率下遲滯性能的學習,建立了遲滯系數(shù)與頻率的關系,得到不同頻率輸入信號下的遲滯模型。實驗證明該模型能較好的描述壓電陶瓷驅(qū)動器的遲滯性能,應用該方法后,對于驅(qū)動范圍在100 μm的壓電陶瓷驅(qū)動器,可提高其線性度至1.5%,該方法可應用于AFM驅(qū)動器,用以提高大范圍高速掃描時橫向的定位精度,后續(xù)工作將圍繞該方法在AFM中的應用展開。

圖8 當輸入信號為20Hz時,無前饋控制器和應用基于逆模型的前饋控制器輸出結果對比

3 結論

本文提出一種改進型多項式擬合算法,描述大范圍壓電陶瓷驅(qū)動器的遲滯特性,為后續(xù)基于遲滯模型設計控制算法提供了一種思路。該方法通過對壓電陶瓷驅(qū)動器3種不同頻率下遲滯性能的學習,建立遲滯系數(shù)與頻率的關系,得到不同頻率輸入信號下的遲滯模型。利用20 Hz的輸入信號驗證得知該方法能有效描述大范圍壓電陶瓷驅(qū)動器的遲滯特性,使得驅(qū)動范圍在100 μm的壓電陶瓷驅(qū)動器的線性度達到1.5%。后續(xù)工作將圍繞如何將該方法應用于AFM系統(tǒng)中展開,通過高速測試較大范圍的標準樣品驗證該方法的有效性。