基于響應面法和遺傳算法的多自由度微陀螺性能優化*

郝淑英,孟 思,張琪昌,張昆鵬,馮晶晶*

(1.天津理工大學,天津市先進機電系統設計與控制重點實驗室,天津 300384;2.機電工程國家級實驗教學示范中心,天津 300384; 3.天津大學,天津市非線性動力學與控制重點實驗室,天津 300072)

如今絕大多數陀螺處于中低精度狀態,其性能優化則顯著格外重要[1]。微陀螺的靈敏度和帶寬是體現其整體性能的兩個重要指標,通常兩者是相互制約的,如何在靈敏度和帶寬之間取得適當折衷是當前MEMS微機械陀螺儀技術提升所面臨的巨大挑戰[2]。唐海林等[3]基于Coventorware系統模型對一種振動板式微陀螺進行了特征頻率分析和結構參數優化,提高了靈敏度,使其在設計上達到性能最優化。王浩旭[4]對一種新型石英微陀螺進行有限元分析,獲得了尺寸參數與模態頻率之間的關系,以此進行優化設計,實現了驅動頻率和檢測頻率的相互匹配。陳李等[5]建立了電磁式微機械振動環陀螺的數學模型,得到了影響陀螺靈敏度的因素,據此對陀螺參數進行了優化設計。曹慧亮等[6]在對雙質量硅微機械陀螺的檢測模態深入分析的基礎上,提出了偶極子原理補償法,成功將帶寬拓展了五倍以上。后續又提出了傳感閉環控制器[7],將陀螺儀的帶寬從13 Hz拓展至102 Hz,并可在寬溫度范圍內(-40 ℃～60 ℃)穩定工作。

Jian Cui等[8]提出了一種多目標微陀螺儀檢測模態的力再平衡控制設計方法和配置系統參數的定量方法對微陀螺的性能進行優化,使得再平衡回路中的比例因子和非線性比開環回路提高了一個數量級,并將帶寬從30 Hz拓寬至98 Hz。張正福[9]和李燕斌[10]分別將正交試驗法和遺傳算法引入了單自由度微陀螺結構參數的優化設計中,為陀螺優化提供了新方法。從現有研究工作來看,有關多自由度微陀螺的性能優化報導相對較少。Payal Verma[11]提出了一種雙驅動單檢測微陀螺,通過解耦框架的附加微梁實現了在不會降低驅動檢測質量比的前提下降低驅動帶寬,實現了在高操作頻率下工作的要求。Ankush Jain[12]設計了一種雙驅動雙檢測微陀螺,驅動和檢測模態均通過動態放大獲得較大增益,并通過大帶寬提升了魯棒性。Esmaeili[13]采用序列二次規劃方法(SQP)對單驅動雙檢測微陀螺的靈敏度及魯棒性進行了優化,獲得了上千赫茲的寬帶寬。Dunzhu Xia[14]等提出了一種新型的全解耦三軸式振動陀螺儀,采用粒子群算法(PSO)優化微梁的結構尺寸,實現了模態高度匹配,提高了其靈敏度。多自由度微陀螺由于自由度數的增多及解耦模塊的加入使得結構參數成倍增加,如何將眾多的結構參數進行最佳匹配以獲得最優的靈敏度和帶寬是提升多自由度微陀螺性能必須解決的關鍵問題。

針對多自由度微陀螺眾多結構參數的優化設計,應建立高精度的優化模型,確定高真實性的尋優算法。目前,被廣泛應用的響應面法是綜合試驗分析和數學建模的最經濟、最佳化設計方法[15-16]。針對微陀螺靈敏度與帶寬目標函數無法準確建模的困難,引入響應面法可有效解決這一問題,提高優化效率。遺傳算法是基于模仿生物進化的自然選擇和遺傳學進化思想的具有高適應度的自適應搜索算法[17],將基于遺傳算法的多目標優化算法引入微陀螺的優化可兼顧靈敏度與帶寬的同時優化。因此,本文以雙驅動雙檢測微陀螺為研究對象,基于特征提取確定約束條件,通過響應面法建立靈敏度和帶寬的二階響應面近似模型,采用多目標遺傳算法對近似模型進行優化,尋找可用于指導優化多自由度微陀螺性能的方法。

1 雙驅動雙檢測微陀螺

1.1 工作原理與結構

本文以一個典型的雙驅動雙檢測四自由度微機械陀螺[18]為研究對象,其結構示意圖如圖1所示。

圖1 四自由度微陀螺的結構示意圖

圖1中,x方向為驅動方向,y方向為檢測方向,Ωz為垂直于x-y平面的輸入角速度。解耦質量mf和轉換質量m2形成雙極解耦結構,起到隔離驅動模態和檢測模態的作用。微陀螺工作時,驅動質量m1在驅動電極產生的驅動力Fd的作用下沿x方向振動,解耦質量mf由于梁k2的作用也沿x方向振動,同時轉換質量m2在梁k4的作用下隨解耦質量一起沿x方向振動;當系統有垂直于x-y平面的角速度Ωz輸入時,轉換質量m2與檢測質量m3在梁k4、k5和k6的約束下沿y方向振動。通過檢測質量m3內的電極進行檢測,可以反映出科氏力Fc的大小,進而測定角速度Ωz。

圖2 簡化動力學模型

當微陀螺在x-y平面內以恒定的角速度轉動時,考慮到彈性微梁的質量遠遠小于振動質量塊的質量,可以忽略不計,因此可采用簡化動力學模型描述微陀螺的振動,如圖2所示。

由圖2可建立微陀螺驅動方向和檢測方向的動力學方程,如式(1)、式(2)所示。

(1)

(2)

通過復指數法對檢測方向動力學方程計算求得y2幅值,為使振幅y2獨立于科氏力,通過變換可得:

(3)

式中:

a0=m2m3

a1=m3c4+m2c5+m3c5+m2c6

a2=m3k4+m2k5+m3k5+m2k6+c4c5+c4c6+c5c6

a3=c4k5+c5k4+c4k6+c6k4+c5k6+c6k5

a4=k4k5+k4k6+k5k6

1.2 靈敏度和帶寬的定義

在本文研究的雙檢測雙驅動微陀螺中,靈敏度定義為操作頻率下沿檢測方向的檢測質量的振動幅值:

(4)

若在操作頻率下,檢測模態的振幅不會隨著各個參數的變化而大幅變化,則稱陀螺儀是穩健的。當振幅的變化小于3 dB時,定義此區間為帶寬如式(3),式中ω與ω0的差值即為帶寬:

|S(ω)-S(ω0)|=3

(5)

1.3 優化流程

微陀螺的靈敏度和帶寬是體現其整體性能的兩個重要指標,而本文所研究模型的靈敏度與帶寬是相互矛盾的,需要采用多目標優化方法找到其平衡點。因此,以獲得高增益和寬帶寬為優化目的,通過特征提取的動力學規律指導約束條件的確定,利用響應面法建立雙驅動雙檢測微陀螺性能指標的二階響應面近似模型,以微陀螺檢測系統的結構參數為設計變量,靈敏度與帶寬為設計目標,采用多目標遺傳算法對響應面近似模型進行優化,具體流程如圖3所示。

圖3 多自由度微陀螺優化分析流程

2 動力學特征提取

2.1 無量綱化處理

對式(3)進行無量綱化得

(6)

式中:

式中:μ代表的是檢測模態振子質量比,α代表的是振子結構頻率比,λ是激振力頻率和系統固有頻率之比,ε是彈性梁剛度系數比,ξ1、ξ2、ξ3分別是檢測方向的結構阻尼比。

圖4 結構參數對微陀螺動力學特性的影響

2.2 基于特征提取確定約束條件

通過計算機代數語言MATHEMATICA對式(6)進行計算,求得質量比μ、阻尼比ξ1對微陀螺性能的影響規律如圖4所示。由圖4(a)可知質量比對微陀螺的增益及帶寬均影響較大。隨著質量比的減小,頻率響應的帶寬減小、增益增大,且增益的敏感度隨質量比的減小而增大。圖4(b)為檢測方向的阻尼比ξ1變化時對幅頻響應曲線的影響規律。隨著阻尼比的增加,模態頻率附近的響應幅值在降低,但對帶寬影響很小。由于阻尼比只影響模態頻率附近的響應幅值,對峰值間平坦區幅值大小無影響,即該區域對阻尼比有很好的魯棒性,因此可忽略阻尼比對靈敏度、帶寬的影響。阻尼比ξ2、ξ3對增益和帶寬的影響與ξ1相同,這里不再復述。

同理也可得結構頻率比和剛度系數比對系統性能的影響規律。結構頻率比主要影響帶寬的大小和模態頻率處響應的峰值,對增益的影響不大。剛度系數比對靈敏度及帶寬的影響都較大,隨著剛度系數比的增加,頻率響應的帶寬減小、增益增大。該影響規律可用于指導獲得不同性能的微陀螺的結構設計。

綜合上述特征分析并參考以往文獻相關參數的取值情況,本文將質量比的約束條件取為0.2～0.4;頻率比的約束條件取為0.99～1.01;剛度系數比的約束條件取為6～8。

3 響應面模型構建與精度分析

在微陀螺的優化過程中,優化目標和設計變量之間的函數關系很復雜,為提高優化效率,采用響應面法尋求優化目標和設計變量之間真實函數關系的一個合適的逼近式[19]。因此采用BBD試驗設計方法獲得所需試驗點,結合最小二乘法構建靈敏度和帶寬的二階響應面模型。

二階響應面模型的一般數學表達式為:

(7)

式中:Y為響應值,Xi、Xj為設計變量,β0為系數的估計值,βii為二次項系數,βij為交互項系數,ε為隨機誤差。

建立響應面模型的一般步驟為:①采用試驗設計確定試驗點;②對試驗數據進行擬合,建立響應面模型;③對響應面模型的精度進行分析驗證。

3.1 試驗設計

本文研究的微陀螺為雙驅動雙檢測微陀螺,根據文獻[18]選擇了微機械陀螺儀的參數,如表1所示。

表1 微陀螺結構參數

為建立精確可靠的響應面模型,需在樣本空間內合理選擇試驗點,保證設計變量的均布性,因此采用BBD對試驗點進行選擇。根據微陀螺動力學特征提取的影響規律,分別選取檢測方向二自由度振動系統的振子質量比μ、結構頻率比α以及彈性梁剛度系數比ε為設計變量,選取設計變量水平如表2所示。

表2 實驗設計變量與水平取值

系統的靈敏度S和帶寬R為優化目標,利用計算機代數語言MATHEMATICA得到相對應的響應結果,如表3所示。

表3 響應面試驗設計和結果

3.2 模型構建與精度分析

應用最小二乘法對表3的數據進行回歸分析,得出響應值(S、R)與設計變量(μ、α和ε)的響應面模型如下:

S=f1(μ,α,ε)=-1 671.812 43-26.665 5μ+
3 311.61α-7.017 13ε-30.55μα+
0.828 5με+8.57αε+38.757 5μ2-
1 656.75α2-0.070 675ε2

(8)

R=f2(μ,α,ε)=56 990.958 63+3 342.303 75μ-
112 390α+7.872 25ε-1 027.75μα-116.465με-

160.55αε-802.212 5μ2+56 183.75α2+8.343 62ε2

(9)

對已得到的微陀螺靈敏度和帶寬的響應面模型進行方差分析可得,兩模型的P值均小于0.000 1,表明模型達到了極顯著水平,擬合度較好;失擬項的p值均大于0.05,表明失擬不顯著,且模型R2分別為0.999 5和0.999 9,說明響應值與設計變量之間線性關系顯著,數據規律能被模型較好反映。故所構建響應面模型精度較高,能夠代替真實模型并用于后續的多目標尋優。

4 基于遺傳算法的多目標優化

4.1 優化問題描述

微陀螺的靈敏度和帶寬是相互制約的,其優化問題符合多目標優化問題的范疇。對于工程實際應用中遇到的多目標優化問題,大多數是屬于相互矛盾的,將這一類問題歸納總結得其數學模型如下:

(10)

式中:f1(x),f2(x),f3(x),…,fn(x)為待優化的多個目標函數,gi(x)、hj(x)分別為等式約束和不等式約束。

基于響應面法獲得雙驅動雙檢測微陀螺多目標優化的數學模型如下:

(11)

4.2 優化結果分析

采用MATLAB里基于遺傳算法的多目標優化算法對式(11)所示模型進行優化計算,設置的最優前端個體系數為0.5,種群大小為100,最大進化代數為200,停止代數為200,繪制Pareto最優解如圖5所示。

圖5 Pareto最優解

由圖5可知,兩個目標函數值是相互矛盾的,即當其中一個目標函數值減小時,另一個目標函數值會增大,這符合微陀螺靈敏度與帶寬的關系。由圖5 還可以看出,無論是設計變量還是目標函數值,都可為設計人員提供多種優化方案,設計人員可根據微陀螺的使用特點來決定其對靈敏度和帶寬的偏好,選擇合適的振子質量比、結構頻率比和微梁剛度系數比。基于偏好決策則大致分為3種情況:①若對靈敏度要求較高,則應選擇A區的點;②若對帶寬要求較高,則應選擇C區的點;③若綜合考慮靈敏度和帶寬,則應選擇B區的點。

3個區域的最高點與最低點分別用A1、A2、B1、B2、C1、C2代表,如表4所示。由表4可得,Pareto最優曲線中A、B區中的點所對應的靈敏度及帶寬相對于原設計均有不同程度的提升。結果表明,將響應面法和遺傳算法相結合的優化設計方法是高效可靠的,該方法可對結構參數進行有效優化,使多自由度微陀螺的性能得到明顯改善。

表4 不同優化方案結果對比

5 建模與仿真

5.1 電學模型的建立

本文建立了一種電學模型來模擬微陀螺的動力學模型,用電學參數等效陀螺的結構參數,運用這一模型仿真所優化微陀螺的性能,驗證優化設計結果。

微陀螺電學模型的建立主要是依據陀螺動力學方程和電學方程的等價性。根據方程的等價性原理由陀螺的動力學方程建立電學模型,如圖6所示。

圖6 四自由度微陀螺的等效電路模型

圖7 原結構檢測二的幅頻特性曲線

5.2 電學模型的仿真

對上述等效電學模型進行交流分析,可獲得微陀螺驅動及檢測模態的幅頻特性曲線,檢測二的幅頻特性曲線是對微陀螺性能最直觀的表現,因此將檢測二的電路仿真結果與理論結果進行對比。分別對優化前的原結構和優化方案A2進行電路仿真,所得結果如圖7、圖8所示。

圖8 優化方案A2檢測二的幅頻特性曲線

圖7、圖8分別表示微陀螺原結構檢測二和優化方案A2檢測二的幅頻特性曲線,仿真結果中的幅值單位ν與理論結果中的幅值單位m是相對應的。根據圖7、圖8對比可得,優化后微陀螺的靈敏度有明顯的提高,通過準確計算其靈敏度較原設計提升10.95%,3dB帶寬提升50.94%。

由圖7、圖8中關鍵點的標注可知仿真結果與理論結果的共振頻率與幅值的誤差微小,均在1%以內,仿真結果體現了微陀螺的真實性能,驗證了優化結果的正確性,體現了所提出優化設計方法的可行性。

6 結論

①通過特征分析可有效地減少設計變量的數量及確定約束條件的最佳取值范圍,有效提高優化結果和效率。

②將響應面法引入多自由度微陀螺的優化設計中,可獲得高精度的目標函數,解決了多自由度微陀螺靈敏度與帶寬目標函數的無法建模的困難,且該方法易于與遺傳算法相結合,顯著提高優化設計效率。

③以靈敏度和帶寬為優化目標,采用響應面法和多目標遺傳算法相結合的思想對近似模型進行優化,優化后的靈敏度及帶寬均得到不同幅度的提高,同時提供多種優化方案,可根據實際需要進行選擇。通過仿真結果與理論結果的對比,驗證了此方法的可行性,為多自由度微陀螺的結構設計與優化提供參考依據。