基于摩爾-庫倫準則的巖石材料加(卸)載分區破壞特征

張國軍，張 勇,3

(1.中國礦業大學(北京) 能源與礦業學院，北京 100083; 2.中國礦業大學(北京) 共伴生能源精準開采北京市重點實驗室，北京 100083; 3.中國礦業大學(北京) 煤炭安全開采與地質保障國家級實驗教學示范中心，北京 100083)

摩爾圓是用來表征空間內一點應力、應變狀態的幾何方法[1]，在同一坐標系內由一系列的極限摩爾圓包絡線構成了庫倫包絡線[2]，摩爾圓與庫倫包絡線兩者有機結合形成了如今的摩爾-庫倫破壞準則，作為一種判別巖石材料破壞與否標準[3]，并被廣泛的應用于解決各種工程問題[4]。

眾多學者基于摩爾-庫倫破壞準則進行了深入的研究:WOO等[5]建立了砂巖臨界塑性破壞模型;BARSANESCU等[6-7]進一步擴展了摩爾-庫倫理論，建立了延性巖石材料破壞理論;梅畢祥等[8]根據滲流理論對球形孔擴張問題進行了深入分析;PUJOL等[9]基于摩爾-庫倫強度準則對62組鋼筋混凝土立柱的進行了抗剪強度分析;ROBERT[10]采用修正摩爾-庫倫強度準則對不飽和土中管道破壞現象進行了研究;GALINDO等[11]應用修正摩爾-庫倫強度準則對巖體的極限承載強度進行了研究;SHAFIQ等[12]對高應力下陶瓷穩定性和準靜態和動態加載過成進行了系統分析，獲得了加載率與材料強度之間的關系;PAPANASTASIOU等[13]對摩爾-庫倫材料單一裂紋尖端塑性場進行了研究;MAKHNENKO等[14]基于Paul-Mohr-Coulomb破壞準則對脆性巖石材料的破壞過程進行了深入的研究;孫路路等[15]基于摩爾-庫倫準則建立含瓦斯煤層平動突出模型，推導了巷幫塑性區寬度的解析式;張詩淮等[16]采用PFC3D進行了真三軸數值模擬實驗，提出了一種修正摩爾-庫倫準則形狀函數的方法。摩爾-庫倫破壞準則正廣泛的應用于巖石力學、巖石工程以及巖石材料力學各個領域，大部分問題都可以以此為基礎進行研究，隨著科技的進步，眾多學者對摩爾-庫倫破壞準則進行了不斷的修正和擴展，使其具有更加廣泛的適用性。除此之外，眾多學者還對加卸載與煤巖材料的力學響應特征[17-20]、分形特征[21]、非均勻變形[22]、聲發射特征[23-24]、滲透率[25-27]等進行了大量的研究。

然而，巖石材料所處的應力狀態以及不同應力狀態之間的相互轉化直接影響巖石材料的穩定性，對于巖石材料是否發生破壞取決于摩爾應力圓是否與庫倫包絡線相交。巖石材料由穩定到破壞的過程可以看成是2種應力狀態之間的相互轉換，而轉換過程可以用加(卸)載來進行表述，應力狀態之間的變換速度可以用加(卸)載速度來表示，需要說明的是，本文中的加(卸)載速度并不是狹義的單位時間應力增加減小的數值，而是廣義的加(卸)載速度，這里的加(卸)載速度可以表示為巖石材料所受的應力在單位時間、單位長度、單位深度以及單位溫度等的變化量。因此，本文將從巖石材加(卸)載過程、加(卸)載速率、加(卸)載速率之比等3個方面進行研究。

1 石材料內一點應力狀態描述

試驗表明，當所有主應力均為壓應力時，摩爾庫倫破壞準則比較適用于巖石材料，尤其是巖石材料的單軸抗壓強度遠大于單軸抗拉強度時更為適用。

巖石材料外載荷的變化直接影響應力的變化，在應力空間中一點的應力狀態的應力點將會發生移動，應力點的移動軌跡稱為應力路徑，這一過程稱為應力歷史[28]。巖石材料內一點的應力狀態改變的過程可以看成是其外在載荷的變化過程，可以用加載或卸載表示，如圖1所示。

圖1 一點應力狀態的變化過程Fig.1 Change process of stress-states at a point

(1)

圖2 不同加(卸)載條件下一點應力狀態變化Fig.2 Change process of stress-states at a point under different loading or unloading conditions

當巖石材料的2個方向所受的載荷變化均為加載，則F(t)，f(t)均為正值。當F(t)=f(t)時，摩爾應力圓在σ-τ直角坐標系內的變換形式僅為“平移”;當F(t)>f(t)>0時，摩爾應力圓在σ-τ直角坐標系內的變換形式為“平移”+“半徑擴大”，如圖2(a)所示。當F(t)∈(f(t)+σ3-σ1，f(t))時，摩爾應力圓在σ-τ直角坐標系內的變換形式為“平移”和“半徑縮小”;當F(t)=f(t)+σ3-σ1時，此時摩爾應力圓縮小成坐標軸上的一個點;當F(t)

當巖石材料的2個方向所受的載荷變化均為卸載時，則F(t)，f(t)均為負值，可以看成是加載過程的逆過程，可以將圖2(a)和圖2(b)中的B點看成是初始狀態，A點看成經過卸載后的應力狀態。

當巖石材料的2個方向所受的載荷一個方向為加載，另一個方向為卸載時，則F(t)f(t)<0。當F(t)>0時，摩爾應力圓在σ-τ直角坐標系內的變換形式主要是以“半徑擴大”為主，同時還有可能伴隨著摩爾應力圓的“平移”，如圖2(c)所示;當F(t)<0時，摩爾應力圓在σ-τ直角坐標系內的變換形式主要是以“半徑縮小”為主，同時還有可能伴隨著摩爾應力圓的“平移”、“翻轉”和“半徑擴大”，如圖2(d)所示。

2 加(卸)載與巖石材料的破壞

2.1 摩爾應力圓與加卸載

摩爾-庫倫破壞準則是在不考慮巖石材料中間主應力條件下的一組線性方程，可以用來判別巖石材料是否發生破壞[29]。摩爾-庫倫強度理論在總結各種應力狀態下巖石材料破壞實驗結果的基礎上，建立的具有一定經驗性的強度理論，認為巖石材料的破壞是由作用在滑移面上的正應力和剪應力共同決定的，其函數表達形式[30]為

τ=c+σtanφ

(2)

式中，τ為剪應力;σ為法向正應力;c為黏聚力;φ為內摩擦角。

巖石材料加載過程中的力學本質是摩爾應力圓在σ-τ直角坐標系內的一系列的變換，巖石材料經過一定的加卸載變換后是否處于穩定狀態，其實質是σ-τ直角坐標系內摩爾應力圓是否與式(2)相交，若相交則巖石材料發生破壞。因此需要對巖石材料某一點經過加(卸)載變換后，摩爾應力圓的直徑與其圓心到摩爾庫倫強度曲線的距離進行比較分析。

由圖2中的幾何關系可知，巖石材料某一點經過加(卸)載前后的摩爾應力圓半徑分別可表示為

(3)

式中,R和R′分別為加(卸)載前后摩爾應力圓半徑。

巖石材料某一點經過加(卸)載后的摩爾應力圓圓心到摩爾庫倫強度曲線的距離可以表示為

(4)

研究巖石材料在經過加(卸)載后是否發生破壞的前提是巖石材料的初始狀態沒有發生破壞，則初始狀態下σ1,σ3需滿足:

(5)

(6)

2.2 巖石材料的臨界破壞

當巖石材料所受的最大主應力和最小主應力同為壓應力時，依據摩爾庫倫準則可以獲得在雙向受壓的條件下，巖石材料發生破壞的臨界方程:

(7)

由于摩爾-庫倫破壞準則是通過巖石壓縮實驗獲得的，該準則對于巖石材料處于壓縮狀態的表述較為準確，但是對處于拉伸狀態下的巖石材料存在著很大的誤差。眾多學者對巖石材料的抗拉強度進行了大量的研究，同時提出多種巖石強度準則和相關修正理論[31-32]，雖然各有所長，但都存在一定的局限性。作為力學基本定律之一的廣義胡克定律被廣泛認可，因此，本文從巖石材料受外力作用時，在不同方向上發生不同的應變，同時考慮到巖石的抗拉強度<抗剪強度<抗壓強度，并以最大拉應力強度準則為巖石材料破壞判斷標準，進一步研究巖石材料在單向受拉、一拉一壓和雙向受拉3種情況下的臨界破壞狀態。

巖石材料在破壞前，由于縱向載荷的作用，在其縱向和橫向上必然產生應變，2個方向上應變之比的絕對值就稱為泊松比ν，這是巖石材料的本質屬性之一[33]。通常來講，在巖石材料發生破壞前認為其泊松比和彈性模量不會發生改變，因此，當巖石材料一個方向上受到外力作用時，沿外力方向上一定會產生應變，同時與外力不同方向上也會產生應變，為了方便研究，選取2～3個正交的應變進行研究，以巖石的單軸壓縮(拉伸)實驗為例，軸向的應變必然會引起徑向上的應變，巖石材料的軸向壓縮和徑向拉伸可以相互轉換。由廣義胡克定律可以獲得巖石材料內部軸向和徑向的應力之比為-ν，因此，可以獲得巖石材料的單軸抗拉強度與巖石材料的單軸抗拉強度之間的關系:

(8)

式中，ν為泊松比;σt為單軸抗拉強度;σu單軸抗壓強度。

同理，對于軸向和徑向均受外力作用的巖石材料，依據廣義胡克定律和應力疊加原理可以獲得巖石材料在“一拉一壓”狀態下的巖石材料發生破壞的臨界方程:

(9)

當巖石材料處于雙向受拉時，依據廣義胡克定律、應力疊加原理和合力計算與分配[34-35]相關理論，可得巖石材料發生雙向拉破壞的基本條件:

(10)

綜合以上研究結果，可以用數學方程及其對應曲線的形式來劃分巖石材料發生破壞的臨界狀態，如圖3所示。

圖3 巖石臨界破壞狀態關系曲線Fig.3 Critical material failure state relationship curve of rock materials

圖3中，直角坐標系中第一象限中的直線方程是巖石材料“雙向受壓”狀態的臨界方程，當巖石材料所受應力處于兩直線方程中間時，材料處于穩定狀態，當2個方向上的應力滿足式(7)時，巖石材料處于臨界破壞狀態，此時巖石材料的破壞主要為剪切破壞;直角坐標系中第2象限和第4象限中的直線方程是巖石材料“一拉一壓”狀態的臨界方程，當巖石材料所受應力處于兩直線方程中間時，材料處于穩定狀態，當2個方向上的應力滿足式(9)時，巖石材料處于臨界破壞狀態，此時巖石材料的破壞主要為拉破壞;直角坐標系中第3象限中的曲線方程是巖石材料“雙向受拉”狀態的臨界方程，當巖石材料所受應力處于曲線方程內部時，材料處于穩定狀態，當2個方向上的應力滿足式(10)時，巖石材料處于臨界破壞狀態，此時巖石材料的破壞主要為拉破壞;坐標軸的正向表示材料單向受壓，與式(7)的交點為巖石材料的單軸抗壓強度;坐標軸的負向表示材料單向受拉，與式(9)，(10)的交點為巖石材料的單軸抗拉強度。

3 加(卸)載速率與巖石材料的破壞

3.1 最大主應力方向不變

(11)

巖石材料經過加(卸)載后發生破壞的臨界為

(12)

將式(12)兩端進行求導，可以獲得摩爾應力圓不翻轉條件下，巖石材料時間加權平均加(卸)載速率與巖石材料破壞的臨界關系為

(13)

通常巖石材料的加卸載過程不是一個穩定變化過程，即加(卸)載速率不是一個恒定不變的，巖石材料的加(卸)載速率時大時小、時正時負，而時間加權平均加(卸)載速率可以更好的說明巖石材料加(卸)載速率與巖石材料破壞過程的相互關系。

3.2 主應力方向改變

(14)

巖石材料經過加(卸)載后發生破壞的臨界為

(15)

將式(15)兩端進行求導，可以獲得摩爾應力圓翻轉條件下，巖石材料時間加權平均加(卸)載速率與巖石材料破壞的臨界關系為

(16)

3.3 加(卸)載速率與巖石材料穩定性分區

根據上文分析，可以獲得巖石材料加(卸)載速率和巖石材料穩定性之間的關系，如圖4所示。

圖4 加(卸)載速率和巖石材料穩定性分區Fig.4 Relationship between loading (unloading) rate and material stability Ⅰ—加載穩定區;Ⅱ—主應力方向不變破壞區;Ⅲ—卸載穩定區;Ⅳ— 主應力方向改變破壞區;Ⅴ—應力圓正方向移動半徑擴大破壞區;Ⅵ—應力圓負方向移動半徑縮小破壞區;Ⅶ—應力圓負方向移動半徑 先減小再增大破壞區;Ⅷ—應力圓正方向移動半徑先減小再增大破壞區

(1)當巖石材料2個方向的加(卸)載速率關系處于Ⅰ和Ⅲ區時，巖石材料2個主應力方向同時加載或卸載，巖石材料加(卸)載速率滿足Ⅰ和Ⅲ區的關系時，巖石材料會一直保持穩定，與加卸載時間無關。對于未受工程擾動的巖層，隨著埋藏深度的不斷加深，巖石所受的應力不斷加大，可以看成是加載過程，2個主應力方向上應力加載速率處于Ⅰ區，越向深部其2個方向的加載速率越是與Ⅰ吻合，這也能解釋深部巖體在未受工程擾動情況下仍然能夠保持穩定;反之，由深部向淺部的過程，巖石所受應力逐漸減小可以看成是卸載過程，該過程與Ⅲ區吻合。

(2)當巖石材料2個方向的加(卸)載速率關系處于Ⅱ區時，巖石材料的最大主應力方向和最小主應力方向不發生改變。當2個方向加(卸)載速率關系處于Ⅴ區時，摩爾應力圓在坐標軸表現的形式為摩爾圓半徑逐漸擴大且圓心正向移動，若時間足夠長時巖石材料必將發生破壞;當2個方向加(卸)載速率關系處于Ⅵ區時，摩爾應力圓在坐標軸表現的形式是，摩爾應力圓負方向移動同時摩爾圓直徑減小，此時最小主應力以卸載為主，巖石材料發生破壞的時間由初始應力狀態決定。

(3)當巖石材料2個方向的加(卸)載速率關系處于Ⅳ區時，巖石材料的最大主應力方向和最小主應力方向發生互換，摩爾應力圓在坐標軸上的變換方式變現為摩爾圓半徑逐漸減小至零，然后在進一步擴大。通常來講，在摩爾圓直徑減小到零的過程巖石材料不會發生破壞，只有當摩爾圓直徑由零進一步變大時巖石材料才會發生破壞，即摩爾圓在坐標系內發生“翻轉”前，巖石材料不會發生破壞，巖石材料的破壞主要發生在摩爾圓發生“翻轉”后。當2個方向加(卸)載速率關系處于Ⅶ區時，摩爾應力圓在坐標軸上向負方向移動，初始最大主應力一直處于卸載狀態，其卸載速度快于初始最小主應力方向上的加(卸)載速率，巖石材料發生破壞的時間與初始應力狀態有關;當2個方向加(卸)載速率關系處于Ⅷ區時，摩爾應力圓在坐標軸上向正方向移動，初始最小主應力方向上的應力一直處于加載狀態，其加載速度高于初始最大主應力方向上加(卸)載速率，此時巖石材料中的最大主應力與最小主應力之間的差值逐漸縮小，直至摩爾應力圓發生“翻轉”，在摩爾應力圓發生“翻轉”前巖石材料一直保持穩定狀態，當摩爾圓發生翻轉之后再經過足夠長的加(卸)載后，巖石材料才會發生破壞，此時巖石材料發生破壞的時間主要由2個主應力方向加(卸)載速率決定。

4 數值計算

4.1 常規三軸壓縮模擬

為了驗證上述關于巖石材料穩定性與巖石材料加卸載之間穩定性是否存在上述關系，因此采用FLAC3D數值模擬軟件對巖石材料在不同加(卸)載條件下發生破壞的臨界值。模型尺寸為φ50 mm×100 mm，單元個數為13 904，節點個數為16 336，軸向方向的應力變化與時間(此處的時間是廣義上的時間，與FLAC3D中的循環次數相對應)的關系為F(t)，徑向方向的應力變化與時間的關系為f(t)，初始應力σ1=σ3=0，如圖5所示。

圖5 數值模擬模型Fig.5 Numerical simulation model

采用摩爾-庫倫破壞準則作為數值計算的本構方程，模擬所采用巖石材料的主要力學參數見表1。

表1 主要力學參數Table 1 Primary mechanical parameters

采用自編的Fish語言分別模擬7種不同的軸向和徑向加載方式下的常規三軸數值模擬，如圖6所示。

圖6 軸向和徑向應力加載路徑Fig.6 Loading paths of axial and radial

模型初始平衡后，每運行一個循環，軸向和徑向應力增加同時100 Pa，當徑向應力達到所設定的數值(0，0.1，1.0,5.0，10.0,15.0，20.0 MPa)后，徑向應力數值固定，軸向應力繼續增加，直至材料發生破壞為止。同時對材料中心部位塊體的最大主應力進行監測，獲得材料發生破壞時最大主應力峰值，同時依據式(10)對以上7種加載方式下巖石材料發生破壞時最大主應力的理論值進行計算，并對數值模擬與理論計算結果進行統計，見表2。

表2 數值模擬與理論計算最大主應力峰值Table 2 Maximum principal stress peak of numerical simulation and theoretical calculation

注:偏差率=(數值模擬峰值-理論計算峰值)/理論計算峰值。

由表2可知，通過數值模擬獲得的巖石材料最大主應力峰值與經理論計算獲得的最大主應力峰值高度的吻合度;通過比較數值模擬和理論計算所獲得巖石材料最大主應力峰值變差率可知，2種計算方法的峰值偏差率在-1.73%～0.41%，因而，理論計算的準確率在98.27%～99.59%，進一步可以說明通過式(10)所計算的巖石材料最大主應力峰值具有較高的準確性，進一步驗證了巖石材料臨界破壞分區的正確性。

4.2 加載速率和加載速率之比

若巖石材料軸向和徑向的加載速率之比屬于圖4中的Ⅰ區和Ⅲ區，則材料保持穩定不會發生破壞;若巖石材料軸向和徑向加載速率之比處于圖4中的Ⅰ區和Ⅲ區以外區域時，同時加(卸)載的時間足夠長，則巖石材料必定發生破壞，除此之外，軸向和徑向加載速率之間的差別越大巖石材料發生破壞所用的時間越小，巖石材料發生破壞時最大主應和最小主應力之間的差值越小，反之，則越大。

為了充分說明加(卸)載速率之比與巖石材料是否發生屈服破壞之間的關系，同時根據表1假定材料的力學參數和式(13)和式(16)分別可以獲得巖石材料發生破壞的臨界加載速率之比分別為2.514和0.378，因此，若軸向和徑向加載速率之比在0.378～2.514時，隨著軸向和徑向壓力的增加，巖石材料不會發生破壞;若軸向和徑向的加載速率之比小于0.378或者大于2.514時，隨著軸向和徑向壓力的增加，巖石材料必然會發生破壞。因此，采用FLAC3D分別進行了軸向和徑向加載速率之比為0.1，0.2，0.4，1.0，2.5，5.0和10.0等7種加載速率之比的常規三軸數值模擬，同時還對加載速度(+100，+1 000，+10 000，+100 000 Pa/step)與材料的穩定狀態進行了研究，具體數值模擬方案如圖7所示。

圖7 不同加載速率、加載速率之比模擬方案Fig.7 Simulation scheme of different loading rates and loading rate ratio

通過以上28組常規三軸數值模擬分別對巖石材料中心部分最大主應力和最小主應力進行了監測，同時巖石材料發生破壞時最大主應力峰值和對應最小主應力進行了統計，見表3。

表3 最大主應力峰值及其最小主應力Table 3 Maximum principal stress peak and its minimum principal stress

注:“—”表示模擬過程中的主應力σ1和σ3的數值超過1 TPa。

5 結 論

(1)巖石材料的最終應力狀態決定巖石材料是否發生破壞，基于摩爾-庫倫破壞準則以及廣義胡克定律，最終獲得了巖石材料處于“雙向受壓”、“雙向受拉”和“一拉一壓”3種應力狀態下，巖石材料處于臨界破壞狀態時2個方向上應力之間的關系。

(2)通過對巖石材料處于臨界破壞狀態時2個方向上應力之間的關系，可以進一步獲得巖石材料破壞加(卸)載速率之間的關系，進而依據另一個方向上加卸載速率的不同，對巖石材料是否發生破壞以及破壞方式進行了分區。需要特別指出的是，加(卸)載速率并不是單純的單位時間內的應力差，而是廣義的由一個狀態到另一個狀態的變化過程，可以指單位時間、長度、深度等。

(4)采用FLAC3D分別從巖石材料加(卸)載過程、加(卸)載速率、加(卸)載速率之比3個方面進行了模擬，數值模擬計算結果與理論計算結果一致。