八光子糾纏態(tài)制備方案

李婷玉，李 暉

（沈陽工業(yè)大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院,沈陽110870）

1 引言

量子通信是量子力學(xué)與經(jīng)典信息科學(xué)的交叉學(xué)科，是量子物理與計(jì)算機(jī)科學(xué)相結(jié)合的新研究領(lǐng)域。作為量子信息學(xué)的核心部分，量子糾纏更是廣泛的應(yīng)用于量子信息處理中。糾纏態(tài)實(shí)質(zhì)上就是多子系量子體系中的一種不可分離的態(tài)[1]，揭示了量子力學(xué)的非局域性。作為量子通信中的量子信息傳輸通道，也廣泛被研究于糾纏態(tài)的制備、糾纏源的分配以及糾纏態(tài)的操縱等方面。幾十年來量子通信領(lǐng)域?qū)τ诩m纏態(tài)的制備進(jìn)行了大量的研究，通過不斷的實(shí)驗(yàn)和應(yīng)用，產(chǎn)生了很多簡便、高效的制備方法。潘建偉小組首次在實(shí)驗(yàn)上完成三光子GHZ態(tài)的制備[2]，在該方案中使用了兩對糾纏光子對，得到兩種情況的三光子糾纏態(tài)，把這兩種情況相干疊加，得到三光子GHZ態(tài)。Walther P等在實(shí)驗(yàn)上首次制備出了四光子簇態(tài)，并利用它對one-way量子計(jì)算方法進(jìn)行了驗(yàn)證[3]，這在光量子信息處理上是非常有意義的。丁東等提出了一個(gè)用三對糾纏光子制備六光子超糾纏態(tài)制備方案[4]，實(shí)現(xiàn)了對包含偏振糾纏和空間糾纏的六光子超糾纏態(tài)的制備。徐憑對傳統(tǒng)的兩光子極化糾纏態(tài)的制備過程加以改進(jìn)，并成功地利用八個(gè)光子的極化態(tài)制備了八量子比特GHZ態(tài)[5]。

隨著糾纏光子數(shù)的增多，糾纏態(tài)的制備難度呈指數(shù)增加。目前，在離子阱、原子-光腔、自發(fā)參量下轉(zhuǎn)換等多種體系中都已經(jīng)實(shí)現(xiàn)了實(shí)驗(yàn)上的糾纏制備，其中以自發(fā)參量下轉(zhuǎn)換體系中產(chǎn)生光子糾纏態(tài)的方案較為簡單易行。自發(fā)參量下轉(zhuǎn)換是一種非線性光學(xué)過程，是指一束短脈沖紫外光子入射到非線性晶體BBO（Beta-Barium Borate）上產(chǎn)生兩個(gè)糾纏光子的現(xiàn)象[6-8]，對應(yīng)的這兩個(gè)光子分別稱為信號光子和休閑光子。該方案的優(yōu)點(diǎn)在于操縱簡易，但也同時(shí)存在著效率不高的缺點(diǎn)，不適合用于高亮度的糾纏態(tài)。自發(fā)參量下轉(zhuǎn)換過程分為兩類，第一類中產(chǎn)生的信號光子和休閑光子的偏振方向相同，在第二類中產(chǎn)生的信號光子和休閑光子的偏振方向互相垂直。

故此考慮由二型自發(fā)參量下轉(zhuǎn)換源產(chǎn)生四個(gè)獨(dú)立的雙光子糾纏態(tài)的情況，通過使用由幾組偏振分束器、半波片等線性器件組成的量子線路演化雙光子糾纏態(tài)，提出了一種八光子糾纏態(tài)的制備模型，不僅體現(xiàn)了對八光子糾纏態(tài)的觀察，而且對八光子糾纏態(tài)的保真度進(jìn)行表征，得到八光子量子態(tài)保真度與信道系數(shù)比之間的關(guān)系。

2 八光子糾纏態(tài)的制備

在本方案中，由一個(gè)來自鎖模的鈦藍(lán)寶石激光器的短（約200fs）紫外光脈沖通過一個(gè)光學(xué)非線性晶體（BBO）產(chǎn)生成對的糾纏光子。在每個(gè)脈沖中產(chǎn)生糾纏光子對的概率很低，約為10-4量級。在此情況下產(chǎn)生的糾纏光子對的偏振糾纏態(tài)為：

這種狀態(tài)表明同時(shí)存在著光路a1中的光子水平極化及光路b1中的光子垂直極化的可能性為相反的可能性為，減號表示兩種可能性之間存在固定的相位差為π。

對于我們的糾纏態(tài)實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ?，這個(gè)相位因子允許具有任何值，只要它對所有制備的糾纏對都是固定的。

這種設(shè)定使得在光路a1中的光子繼續(xù)朝向偏振分束器，其中H光子沿著e1，V光子將始終以10-5誤差率被反射沿著光路E1傳輸。與此同時(shí)，將激光器入射后未被轉(zhuǎn)化的激光使用凸透鏡進(jìn)行增強(qiáng)，并由平面鏡反射至第二塊BBO晶體，使得光路在a3中傳輸，并繼續(xù)朝向偏振分束器，其中垂直（V）光子沿著e2，水平（H）光子朝向光路E2傳輸并與E1中的光子一起被引至偏振分束器，調(diào)整每個(gè)粒子的路徑長度，使它們同時(shí)到達(dá)。本方案中，在所有的輸出光路中使用八個(gè)光纖耦合單光子計(jì)數(shù)器（D1,D2,D3,D4,D5,D6,D7,D8）計(jì)數(shù)，光子的總收集和探測概率約為10%。濾波過程的相干時(shí)間要遠(yuǎn)大于泵浦脈沖持續(xù)時(shí)間，這樣可有效消除根據(jù)它們的到達(dá)時(shí)間區(qū)分兩個(gè)光子而導(dǎo)致干擾的任何可能性。在相關(guān)電路中只提取所有八個(gè)檢測器在幾ns的小時(shí)間窗內(nèi)記錄光子的符合事件。此舉的必要性在于排除泵浦脈沖在某一側(cè)泵浦晶體中產(chǎn)生一對或兩對糾纏光子，而在其它側(cè)泵浦中卻沒有產(chǎn)生光子的情況。

3 理論推導(dǎo)

本方案的研究是基于二型自發(fā)參量下轉(zhuǎn)換過程制備八光子糾纏態(tài)的方案。制備原理如圖1所示。

圖1 八光子糾纏態(tài)的制備原理圖

考慮一個(gè)短脈沖紫外光通過BBO晶體，使用四個(gè)獨(dú)立創(chuàng)建的光子對。再兩兩一組分別組合在一起，每一組中的兩個(gè)獨(dú)立創(chuàng)建的糾纏光子對各提供一個(gè)糾纏的粒子對。偏振分束器再各自提取一個(gè)粒子組合在一起。在其輸出端口中檢測到的兩個(gè)光子都是H（水平）或者都是V（垂直）偏振[9]，從而將獲得完整的四光子糾纏態(tài)，再與另一組中獲得的四光子糾纏態(tài)重復(fù)上述操作，即可獲得完整的八光子糾纏態(tài)。

假設(shè)在第一步反應(yīng)中四對糾纏光子處于如下狀態(tài)：

這8個(gè)粒子分別為兩個(gè)極化糾纏光子對的張量積，其中H(V)表示水平（垂直）偏振光子狀態(tài)。每對中的一個(gè)光子被引導(dǎo)到偏振分束器（PBS）的兩個(gè)輸入端。由于PBS的特性是水平偏振的光投射，而垂直偏振的光反射，所以意味著兩個(gè)PBS輸出端的結(jié)果a1和a2要么都是水平偏振的，要么都是垂直偏振的；同理，光子a3和a4都是水平偏振或者都是垂直偏振的。因此將公式(2)、(3)表示的量子態(tài)投影到了一個(gè)二維子空間上：

在四對糾纏光子對分別經(jīng)過兩塊PBS以后的狀態(tài)為：

此時(shí)，這是一個(gè)四個(gè)粒子的GHZ狀態(tài)，再將制備得到的兩對四粒子GHZ態(tài)經(jīng)過PBS后，得到狀態(tài)為：

此時(shí)產(chǎn)生一個(gè)八粒子GHZ態(tài)，根據(jù)GHZ定理，它可以表現(xiàn)為非局域行為。

4 八光子糾纏態(tài)保真度

為方便起見，將公式(6)表示的要傳輸?shù)陌斯庾蛹m纏對表示為：

傳送八粒子的EPR信道分別由粒子組成，且信道表示為：

式中Xi、Yi為信道系數(shù)，其幅度滿足：

式中，i表示第i對EPR信道；下角標(biāo)Ci1、Ci2分別表示組成第i個(gè)信道的糾纏粒子對中的第1個(gè)粒子和第2個(gè)粒子。

信道系數(shù)幅度滿足：

總的量子系統(tǒng)表示為：

對八光子糾纏態(tài)進(jìn)行Bell測量，在測量結(jié)束后，由糾纏特性得到傳輸后的量子態(tài)，該量子態(tài)的密度矩陣為：

經(jīng)過幺正變換后量子態(tài)的密度矩陣為：

將式（12）帶入保真度的數(shù)學(xué)模型為：

當(dāng)k1=k2=k3=k4=k5=k6=k7=k8=1時(shí)，保真度最大，即F=1，表明此演化推導(dǎo)方式是正確的。同樣可對保真度與糾纏信道系數(shù)取值之間的關(guān)系進(jìn)行定量分析，經(jīng)典信道所能達(dá)到的最大保真度臨界值為0.6700[10]，所以當(dāng)保真度大于0.6700時(shí)，八光子量子態(tài)的隱形傳輸成功，否則隱形傳輸過程失敗。

由式(14)可知，信道系數(shù)幅度比k1和k4、k5、k8對保真度以及信道整體的影響是相同的。同理，信道系數(shù)幅度比k2和k3、k6、k7對保真度以及信道整體的影響也是相同的。故此用K1來表征k1k4k5k8的變化趨勢，用K2來表征k2k3k6k7的變化趨勢，得到八光子量子態(tài)傳輸時(shí)保真度隨信道系數(shù)幅度比的變化曲線，如圖2所示。與信道系數(shù)幅度比之間的關(guān)系進(jìn)行討論。在不久的將來，應(yīng)該有可能制備出更高數(shù)量級的量子糾纏源，人們能夠借此使用糾纏態(tài)和線性光學(xué)來實(shí)現(xiàn)一些量子計(jì)算算法，并利用更復(fù)雜的糾纏純化協(xié)議和多階段高保真隱形傳送，使建設(shè)量子中繼器成為可能。

圖2 保真度與信道系數(shù)比之間的關(guān)系

圖中，水平實(shí)直線為保真度臨界值0.6700，信道保真度從1.0000開始隨著信道系數(shù)幅度比K1的增大而減小;而當(dāng)K2增大時(shí)，F(xiàn)隨K1變化的值也隨之增大。當(dāng)K2=1時(shí)，保真度F＞0.6700的K1臨界值為K1=1.4048，即當(dāng)K1＜1.4048時(shí)信道能夠正確傳送量子信息。同理，當(dāng)K2=1.2和K2=1.4時(shí)，保真度F＞0.6700的K1臨界值分別為K1=1.6887和K1=1.9790，即分別當(dāng)K1＜1.6887和K1＜1.9790時(shí)信道才能夠正確傳送量子信息。

5 結(jié)束語

基于傳統(tǒng)的兩光子極化糾纏態(tài)的制備，給出了一種八光子糾纏態(tài)的制備方案。此方案不需要區(qū)分八個(gè)糾纏光子所處的狀態(tài)，因此在實(shí)驗(yàn)中更容易實(shí)現(xiàn)，提高了制備效率。在未來隨著人們所考慮光子數(shù)的不斷增多，在實(shí)驗(yàn)上還需注意對實(shí)驗(yàn)參數(shù)進(jìn)行控制，因此對以EPR為信道的八光子糾纏態(tài)保真度