基于半參數模型的水準網平差

雷前坤，張俊

(貴州大學礦業學院，貴州 貴陽 550025)

1 引 言

在水準測量中，受觀測條件的影響，觀測值中常常含有系統誤差。當系統誤差小于或至多等于偶然誤差的量級時，通常不考慮系統誤差對觀測值的影響[1]。目前主要采用經典最小二乘對水準網進行平差處理，利用該方法進行水準網平差時只能顧及偶然誤差對觀測值平差結果的影響，而無法顧及系統誤差的影響。當系統誤差較大時，繼續采用經典最小二乘進行平差，將得不到可靠的參數估值，甚至會產生錯誤結論[2]。半參數模型是統計學界在20世紀80年代提出的，并被引用到測量領域進行測量數據處理，在模型精化、系統誤差分離和減弱方面得到了廣泛應用[3]。文獻[2～7]對半參數模型從多個方面進行了討論，證明了半參數模型在某些測量數據處理方面相對于經典最小二乘具有更高的理論精度。本文嘗試利用半參數模型來對水準網進行平差，并將平差結果與經典最小二乘的平差結果進行對比分析，得出有益結論。

2 半參數平差模型的原理及解算過程

2.1 半參數平差模型的原理

半參數平差模型可以表示為[2]：

L=BX+S+△

(1)

半參數平差模型中既含有參數分量，又含有非參數分量，參數分量用以表示參數與觀測值之間確定的函數關系，而非參數分量則表示系統誤差或模型誤差與觀測值之間不確定的函數關系。若系數矩陣B=0，則半參數平差模型變為非參數模型；若模型誤差S=0，則半參數平差模型變為線性參數模型。因此，半參數平差模型是參數模型與非參數模型的混合模型[4，5]。

根據式(1)可以寫出半參數平差模型的誤差方程：

(2)

根據最小二乘原理有

(3)

式中，P為正定方陣，是觀測值L的權陣；R是一個適當給定的正定矩陣，稱為正規化矩陣，R的選擇與具體問題有關；α是一個給定的純量因子，稱為平滑因子(或稱平滑參數)，極小化過程中在S和V之間起到平滑的作用。

根據式(2)、式(3)通過構造拉格朗日函數解算可得半參數平差模型的法方程：

(4)

將法方程式(4)寫成下列形式

(5)

(6)

令N=BTPB，由于N可逆，于是有

(7)

將式(7)代入式(6)經過整理得：

(8)

令M=P+αR-PBN-1BTP，則可得到

(9)

(10)

式中，H(α)=s+(I-s)B[BTP(I-s)B]-1BTP(I-s)，其中s=(P+αR)-1P。

從上述半參數平差模型的解算過程中不難看出，解算半參數平差模型的關鍵和核心是如何合理的構造正規化矩陣R和選擇平滑因子α。正規化矩陣R的構造方法歸納起來主要有構造矩陣法、樣條函數法和時間序列法等，平滑因子α的選擇方法主要有廣義交叉核實分值函數法、信噪比值法、L-曲線法等[7]。本文中正規化矩陣R采用時間序列法來構造，平滑因子α采用L-曲線法中的最小距離法來求解。

2.2 正規化矩陣R的構造

(11)

則可?。?/p>

R=GTG

(12)

2.3 平滑因子α的求解

NN(α)=VT(α)PV(α)

從上列兩加權范數可以看出，當平滑因子α取不同的值時，可以得到不同的SN(α)和NN(α)，以SN(α)為橫坐標，NN(α)為縱坐標畫圖，可以得到許多不同的點對(SN(α)，NN(α))。將這些點進行曲線擬合，可以得到一條形狀像“L”的光滑曲線，稱之為“L-曲線”。用該曲線來求解平滑因子α的方法叫作“L-曲線法”。用“L-曲線法”來求解平滑因子有兩種方法，最短距離法和最大曲率法，即曲線上曲率最大的點所對應的α或曲線上到坐標原點最近的點所對應的α即為所要求的平滑因子的值，本文中采用最小距離法來求解平滑因子α。用最短距離法求解平滑因子α的步驟如下：

(1)通過黃金搜索法來確定平滑因子α的取值范圍；

(2)在平滑因子α的取值范圍內，每取一個α值，進行一次平差計算，求出一組(SN(α)，NN(α))，通過取不同的α值，分別進行一次平差計算，得到許多組(SN(α)，NN(α))，將這些點進行曲線擬合，則曲線上距離原點最近的點對應的α即確定為最終的平滑因子。

3 算例分析

圖1 水準網

水準路線觀測值 表1

采用經典最小二乘和半參數模型對高差觀測值進行平差。

(1)列誤差方程

(2)計算各高差觀測值的權

取10 km的觀測高差為單位權觀測，即按：

定權，得觀測值的權陣為：

經典最小二乘平差的計算結果：

半參數平差模型的計算結果：

精度統計 表2

4 結 語

文中針對經典最小二乘平差無法顧及水準網中系統誤差這一問題，采用半參數模型來對水準網進行平差并獲得了優于經典最小二乘的平差結果。半參數模型中含有描述系統誤差的非參數分量，在平差過程中顧及到了系統誤差對觀測值平差結果的影響，因此所得平差結果的精度要優于經典最小二乘平差。